Theorem umgrres 29694

Description: A subgraph obtained by removing one vertex and all edges incident with this vertex from a multigraph (see uhgrspan1 29690) is a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Revised by AV, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
upgrres.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
upgrres.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸 ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
umgrres	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ UMGraph)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem umgrres

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgruhgr 29491	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		upgrres.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	2	uhgrfun 29453	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
4		funres 6585	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐸 → Fun (𝐸 ↾ 𝐹))
5	1, 3, 4	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → Fun (𝐸 ↾ 𝐹))
6	5	funfnd 6574	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐸 ↾ 𝐹) Fn dom (𝐸 ↾ 𝐹))
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ↾ 𝐹) Fn dom (𝐸 ↾ 𝐹))
8		upgrres.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
9		upgrres.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
10	8, 2, 9	umgrreslem 29692	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
11		df-f 6547	. . 3 ⊢ ((𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ((𝐸 ↾ 𝐹) Fn dom (𝐸 ↾ 𝐹) ∧ ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
12	7, 10, 11	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
13		upgrres.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸 ↾ 𝐹)⟩
14		opex 5450	. . . 4 ⊢ ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸 ↾ 𝐹)⟩ ∈ V
15	13, 14	eqeltri 2862	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ V
16	8, 2, 9, 13	uhgrspan1lem2 29688	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
17	16	eqcomi 2775	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
18	8, 2, 9, 13	uhgrspan1lem3 29689	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐸 ↾ 𝐹)
19	18	eqcomi 2775	. . . 4 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐹) = (iEdg‘𝑆)
20	17, 19	isumgrs 29483	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ (𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
21	15, 20	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ (𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
22	12, 21	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ UMGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3067  {crab 3419  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4567  {csn 4594  ⟨cop 4600  dom cdm 5666  ran crn 5667   ↾ cres 5668  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  2c2 12313  ♯chash 14386  Vtxcvtx 29383  iEdgciedg 29384  UHGraphcuhgr 29443  UMGraphcumgr 29468

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387  df-vtx 29385  df-iedg 29386  df-uhgr 29445  df-upgr 29469  df-umgr 29470

This theorem is used by: (None)