Theorem umgrres 29287

Description: A subgraph obtained by removing one vertex and all edges incident with this vertex from a multigraph (see uhgrspan1 29283) is a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Revised by AV, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
upgrres.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
upgrres.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸 ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
umgrres	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ UMGraph)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem umgrres

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgruhgr 29084	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		upgrres.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	2	uhgrfun 29046	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
4		funres 6528	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐸 → Fun (𝐸 ↾ 𝐹))
5	1, 3, 4	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → Fun (𝐸 ↾ 𝐹))
6	5	funfnd 6517	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐸 ↾ 𝐹) Fn dom (𝐸 ↾ 𝐹))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ↾ 𝐹) Fn dom (𝐸 ↾ 𝐹))
8		upgrres.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
9		upgrres.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
10	8, 2, 9	umgrreslem 29285	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
11		df-f 6490	. . 3 ⊢ ((𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ((𝐸 ↾ 𝐹) Fn dom (𝐸 ↾ 𝐹) ∧ ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
12	7, 10, 11	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
13		upgrres.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸 ↾ 𝐹)⟩
14		opex 5407	. . . 4 ⊢ ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸 ↾ 𝐹)⟩ ∈ V
15	13, 14	eqeltri 2829	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ V
16	8, 2, 9, 13	uhgrspan1lem2 29281	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
17	16	eqcomi 2742	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
18	8, 2, 9, 13	uhgrspan1lem3 29282	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐸 ↾ 𝐹)
19	18	eqcomi 2742	. . . 4 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐹) = (iEdg‘𝑆)
20	17, 19	isumgrs 29076	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ (𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
21	15, 20	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ (𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
22	12, 21	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ UMGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3033  {crab 3396  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4549  {csn 4575  ⟨cop 4581  dom cdm 5619  ran crn 5620   ↾ cres 5621  Fun wfun 6480   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  2c2 12187  ♯chash 14239  Vtxcvtx 28976  iEdgciedg 28977  UHGraphcuhgr 29036  UMGraphcumgr 29061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-hash 14240  df-vtx 28978  df-iedg 28979  df-uhgr 29038  df-upgr 29062  df-umgr 29063

This theorem is referenced by: (None)