Theorem usgrres 29754

Description: A subgraph obtained by removing one vertex and all edges incident with this vertex from a simple graph (see uhgrspan1 29749) is a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.) (Revised by AV, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
upgrres.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
upgrres.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸 ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrres	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem usgrres

Dummy variables 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrres.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		upgrres.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	usgrf 29601	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
4		upgrres.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
5	4	ssrab3 4033	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ⊆ dom 𝐸
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹 ⊆ dom 𝐸)
7		f1ssres 6784	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ 𝐹 ⊆ dom 𝐸) → (𝐸 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
8	3, 6, 7	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
9		usgrumgr 29627	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
10	1, 2, 4	umgrreslem 29751	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
11	9, 10	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
12		f1ssr 6783	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}) → (𝐸 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
13	8, 11, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
14		ssdmres 6010	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ dom 𝐸 ↔ dom (𝐸 ↾ 𝐹) = 𝐹)
15	5, 14	mpbi 233	. . . 4 ⊢ dom (𝐸 ↾ 𝐹) = 𝐹
16		f1eq2 6771	. . . 4 ⊢ (dom (𝐸 ↾ 𝐹) = 𝐹 → ((𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ (𝐸 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ (𝐸 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
18	13, 17	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
19		upgrres.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸 ↾ 𝐹)⟩
20		opex 5443	. . . 4 ⊢ ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸 ↾ 𝐹)⟩ ∈ V
21	19, 20	eqeltri 2858	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ V
22	1, 2, 4, 19	uhgrspan1lem2 29747	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
23	22	eqcomi 2771	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
24	1, 2, 4, 19	uhgrspan1lem3 29748	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐸 ↾ 𝐹)
25	24	eqcomi 2771	. . . 4 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐹) = (iEdg‘𝑆)
26	23, 25	isusgrs 29602	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ USGraph ↔ (𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
27	21, 26	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ USGraph ↔ (𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
28	18, 27	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3063  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  ⟨cop 4593  dom cdm 5659  ran crn 5660   ↾ cres 5661  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537  2c2 12322  ♯chash 14396  Vtxcvtx 29439  iEdgciedg 29440  UMGraphcumgr 29524  USGraphcusgr 29595

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-hash 14397  df-vtx 29441  df-iedg 29442  df-uhgr 29501  df-upgr 29525  df-umgr 29526  df-usgr 29597

This theorem is used by: (None)