Theorem usgrres 29889

Description: A subgraph obtained by removing one vertex and all edges incident with this vertex from a simple graph (see uhgrspan1 29884) is a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.) (Revised by AV, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
upgrres.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
upgrres.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸 ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrres	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem usgrres

Dummy variables 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrres.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		upgrres.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	usgrf 29736	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
4		upgrres.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
5	4	ssrab3 4007	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ⊆ dom 𝐸
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹 ⊆ dom 𝐸)
7		f1ssres 6787	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ 𝐹 ⊆ dom 𝐸) → (𝐸 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
8	3, 6, 7	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
9		usgrumgr 29762	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
10	1, 2, 4	umgrreslem 29886	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
11	9, 10	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
12		f1ssr 6786	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}) → (𝐸 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
13	8, 11, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
14		ssdmres 6003	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ dom 𝐸 ↔ dom (𝐸 ↾ 𝐹) = 𝐹)
15	5, 14	mpbi 233	. . . 4 ⊢ dom (𝐸 ↾ 𝐹) = 𝐹
16		f1eq2 6774	. . . 4 ⊢ (dom (𝐸 ↾ 𝐹) = 𝐹 → ((𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ (𝐸 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ (𝐸 ↾ 𝐹):𝐹–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
18	13, 17	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
19		upgrres.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸 ↾ 𝐹)⟩
20		opex 5431	. . . 4 ⊢ ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸 ↾ 𝐹)⟩ ∈ V
21	19, 20	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ V
22	1, 2, 4, 19	uhgrspan1lem2 29882	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
23	22	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
24	1, 2, 4, 19	uhgrspan1lem3 29883	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐸 ↾ 𝐹)
25	24	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐹) = (iEdg‘𝑆)
26	23, 25	isusgrs 29737	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ USGraph ↔ (𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
27	21, 26	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ USGraph ↔ (𝐸 ↾ 𝐹):dom (𝐸 ↾ 𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
28	18, 27	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  ⟨cop 4589  dom cdm 5650  ran crn 5651   ↾ cres 5652  –1-1→wf1 6535  ‘cfv 6538  2c2 12397  ♯chash 14474  Vtxcvtx 29574  iEdgciedg 29575  UMGraphcumgr 29659  USGraphcusgr 29730

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-hash 14475  df-vtx 29576  df-iedg 29577  df-uhgr 29636  df-upgr 29660  df-umgr 29661  df-usgr 29732

This theorem is used by: (None)