MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrres 27089
Description: A subgraph obtained by removing one vertex and all edges incident with this vertex from a simple graph (see uhgrspan1 27084) is a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.) (Revised by AV, 19-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgrres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
upgrres.f 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
upgrres.s 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸𝐹)⟩
Assertion
Ref Expression
usgrres ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem usgrres
Dummy variables 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgrres.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 upgrres.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
31, 2usgrf 26939 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
4 upgrres.f . . . . . . 7 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
54ssrab3 4041 . . . . . 6 𝐹 ⊆ dom 𝐸
65a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝐹 ⊆ dom 𝐸)
7 f1ssres 6565 . . . . 5 ((𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ 𝐹 ⊆ dom 𝐸) → (𝐸𝐹):𝐹1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
83, 6, 7syl2an2r 684 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐹):𝐹1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
9 usgrumgr 26963 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
101, 2, 4umgrreslem 27086 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ran (𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
119, 10sylan 583 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → ran (𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
12 f1ssr 6564 . . . 4 (((𝐸𝐹):𝐹1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ ran (𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}) → (𝐸𝐹):𝐹1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
138, 11, 12syl2anc 587 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐹):𝐹1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
14 ssdmres 5859 . . . . 5 (𝐹 ⊆ dom 𝐸 ↔ dom (𝐸𝐹) = 𝐹)
155, 14mpbi 233 . . . 4 dom (𝐸𝐹) = 𝐹
16 f1eq2 6554 . . . 4 (dom (𝐸𝐹) = 𝐹 → ((𝐸𝐹):dom (𝐸𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ (𝐸𝐹):𝐹1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 ((𝐸𝐹):dom (𝐸𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ (𝐸𝐹):𝐹1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
1813, 17sylibr 237 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐹):dom (𝐸𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
19 upgrres.s . . . 4 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸𝐹)⟩
20 opex 5339 . . . 4 ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸𝐹)⟩ ∈ V
2119, 20eqeltri 2912 . . 3 𝑆 ∈ V
221, 2, 4, 19uhgrspan1lem2 27082 . . . . 5 (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
2322eqcomi 2833 . . . 4 (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
241, 2, 4, 19uhgrspan1lem3 27083 . . . . 5 (iEdg‘𝑆) = (𝐸𝐹)
2524eqcomi 2833 . . . 4 (𝐸𝐹) = (iEdg‘𝑆)
2623, 25isusgrs 26940 . . 3 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ USGraph ↔ (𝐸𝐹):dom (𝐸𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
2721, 26mp1i 13 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝑆 ∈ USGraph ↔ (𝐸𝐹):dom (𝐸𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
2818, 27mpbird 260 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wnel 3117  {crab 3136  Vcvv 3479  cdif 3915  wss 3918  c0 4274  𝒫 cpw 4520  {csn 4548  cop 4554  dom cdm 5538  ran crn 5539  cres 5540  1-1wf1 6335  cfv 6338  2c2 11680  chash 13686  Vtxcvtx 26780  iEdgciedg 26781  UMGraphcumgr 26865  USGraphcusgr 26933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-card 9354  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687  df-vtx 26782  df-iedg 26783  df-uhgr 26842  df-upgr 26866  df-umgr 26867  df-usgr 26935
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator