Theorem uzssre2 44818

Description: An upper set of integers is a subset of the Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzssre2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzssre2	⊢ 𝑍 ⊆ ℝ

Proof of Theorem uzssre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzssre2.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		uzssz 12881	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
3		zssre 12603	. . 3 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
4	2, 3	sstri 3991	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
5	1, 4	eqsstri 4016	1 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1533   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6553  ℝcr 11145  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-neg 11485  df-z 12597  df-uz 12861

This theorem is referenced by:  limsupubuz2  45230