Theorem uzssre2 46622

Description: An upper set of integers is a subset of the Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzssre2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzssre2	⊢ 𝑍 ⊆ ℝ

Proof of Theorem uzssre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzssre2.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		uzssz 13013	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
3		zssre 12727	. . 3 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
4	2, 3	sstri 3922	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
5	1, 4	eqsstri 3959	1 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6558  ℝcr 11226  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-ov 7446  df-neg 11571  df-z 12721  df-uz 12993

This theorem is used by:  limsupvaluz  46923  limsupubuz2  47028