Theorem uzssz 12924

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 12906	. . . . 5 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2	1	ffvelcdmi 7117	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
3	2	elpwid 4631	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
4	1	fdmi 6758	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
5	3, 4	eleq2s 2862	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
6		ndmfv 6955	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7		0ss 4423	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℤ
8	6, 7	eqsstrdi 4063	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
9	5, 8	pm2.61i 182	1 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  uzssre  12925  uzwo  12976  uzwo2  12977  infssuzle  12996  infssuzcl  12997  uzsupss  13005  uzwo3  13008  uzsup  13914  cau3  15404  caubnd  15407  limsupgre  15527  rlimclim  15592  climz  15595  climaddc1  15681  climmulc2  15683  climsubc1  15684  climsubc2  15685  climlec2  15707  isercolllem1  15713  isercolllem2  15714  isercoll  15716  caurcvg  15725  caucvg  15727  iseraltlem1  15730  iseraltlem2  15731  iseraltlem3  15732  summolem2a  15763  summolem2  15764  zsum  15766  fsumcvg3  15777  climfsum  15868  divcnvshft  15903  clim2prod  15936  ntrivcvg  15945  ntrivcvgfvn0  15947  ntrivcvgtail  15948  ntrivcvgmullem  15949  ntrivcvgmul  15950  prodrblem  15977  prodmolem2a  15982  prodmolem2  15983  zprod  15985  4sqlem11  17002  gsumval3  19949  lmbrf  23289  lmres  23329  uzrest  23926  uzfbas  23927  lmflf  24034  lmmbrf  25315  iscau4  25332  iscauf  25333  caucfil  25336  lmclimf  25357  mbfsup  25718  mbflimsup  25720  ig1pdvds  26239  ulmval  26441  ulmpm  26444  2sqlem6  27485  ballotlemfc0  34457  ballotlemfcc  34458  ballotlemiex  34466  ballotlemsima  34480  ballotlemrv2  34486  breprexplemc  34609  erdszelem4  35162  erdszelem8  35166  caures  37720  diophin  42728  irrapxlem1  42778  monotuz  42898  hashnzfzclim  44291  uzmptshftfval  44315  uzct  44965  uzfissfz  45241  ssuzfz  45264  uzssre2  45322  uzssz2  45371  uzinico2  45480  fnlimfvre  45595  climleltrp  45597  limsupequzmpt2  45639  limsupequzlem  45643  liminfequzmpt2  45712  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  sge0isum  46348  smflimlem1  46692  smflimlem2  46693  smflim  46698