Theorem uzssz 12603

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 12585	. . . . 5 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2	1	ffvelrni 6960	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
3	2	elpwid 4544	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
4	1	fdmi 6612	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
5	3, 4	eleq2s 2857	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
6		ndmfv 6804	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7		0ss 4330	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℤ
8	6, 7	eqsstrdi 3975	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
9	5, 8	pm2.61i 182	1 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12583

This theorem is referenced by:  uzssre  12604  uzwo  12651  uzwo2  12652  infssuzle  12671  infssuzcl  12672  uzsupss  12680  uzwo3  12683  uzsup  13583  cau3  15067  caubnd  15070  limsupgre  15190  rlimclim  15255  climz  15258  climaddc1  15344  climmulc2  15346  climsubc1  15347  climsubc2  15348  climlec2  15370  isercolllem1  15376  isercolllem2  15377  isercoll  15379  caurcvg  15388  caucvg  15390  iseraltlem1  15393  iseraltlem2  15394  iseraltlem3  15395  summolem2a  15427  summolem2  15428  zsum  15430  fsumcvg3  15441  climfsum  15532  divcnvshft  15567  clim2prod  15600  ntrivcvg  15609  ntrivcvgfvn0  15611  ntrivcvgtail  15612  ntrivcvgmullem  15613  ntrivcvgmul  15614  prodrblem  15639  prodmolem2a  15644  prodmolem2  15645  zprod  15647  4sqlem11  16656  gsumval3  19508  lmbrf  22411  lmres  22451  uzrest  23048  uzfbas  23049  lmflf  23156  lmmbrf  24426  iscau4  24443  iscauf  24444  caucfil  24447  lmclimf  24468  mbfsup  24828  mbflimsup  24830  ig1pdvds  25341  ulmval  25539  ulmpm  25542  2sqlem6  26571  ballotlemfc0  32459  ballotlemfcc  32460  ballotlemiex  32468  ballotlemsima  32482  ballotlemrv2  32488  breprexplemc  32612  erdszelem4  33156  erdszelem8  33160  caures  35918  diophin  40594  irrapxlem1  40644  monotuz  40763  hashnzfzclim  41940  uzmptshftfval  41964  uzct  42611  uzfissfz  42865  ssuzfz  42888  uzssre2  42947  uzssz2  42996  uzinico2  43100  fnlimfvre  43215  climleltrp  43217  limsupequzmpt2  43259  limsupequzlem  43263  liminfequzmpt2  43332  ioodvbdlimc1lem2  43473  ioodvbdlimc2lem  43475  sge0isum  43965  smflimlem1  44306  smflimlem2  44307  smflim  44312