Theorem uzssz 12896

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 12878	. . . . 5 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2	1	ffvelcdmi 7102	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
3	2	elpwid 4613	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
4	1	fdmi 6747	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
5	3, 4	eleq2s 2856	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
6		ndmfv 6941	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7		0ss 4405	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℤ
8	6, 7	eqsstrdi 4049	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
9	5, 8	pm2.61i 182	1 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  𝒫 cpw 4604  dom cdm 5688  ‘cfv 6562  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570  df-ov 7433  df-neg 11492  df-z 12611  df-uz 12876

This theorem is referenced by:  uzssre  12897  uzwo  12950  uzwo2  12951  infssuzle  12970  infssuzcl  12971  uzsupss  12979  uzwo3  12982  uzsup  13899  cau3  15390  caubnd  15393  limsupgre  15513  rlimclim  15578  climz  15581  climaddc1  15667  climmulc2  15669  climsubc1  15670  climsubc2  15671  climlec2  15691  isercolllem1  15697  isercolllem2  15698  isercoll  15700  caurcvg  15709  caucvg  15711  iseraltlem1  15714  iseraltlem2  15715  iseraltlem3  15716  summolem2a  15747  summolem2  15748  zsum  15750  fsumcvg3  15761  climfsum  15852  divcnvshft  15887  clim2prod  15920  ntrivcvg  15929  ntrivcvgfvn0  15931  ntrivcvgtail  15932  ntrivcvgmullem  15933  ntrivcvgmul  15934  prodrblem  15961  prodmolem2a  15966  prodmolem2  15967  zprod  15969  4sqlem11  16988  gsumval3  19939  lmbrf  23283  lmres  23323  uzrest  23920  uzfbas  23921  lmflf  24028  lmmbrf  25309  iscau4  25326  iscauf  25327  caucfil  25330  lmclimf  25351  mbfsup  25712  mbflimsup  25714  ig1pdvds  26233  ulmval  26437  ulmpm  26440  2sqlem6  27481  ballotlemfc0  34473  ballotlemfcc  34474  ballotlemiex  34482  ballotlemsima  34496  ballotlemrv2  34502  breprexplemc  34625  erdszelem4  35178  erdszelem8  35182  caures  37746  diophin  42759  irrapxlem1  42809  monotuz  42929  hashnzfzclim  44317  uzmptshftfval  44341  uzct  45002  uzfissfz  45275  ssuzfz  45298  uzssre2  45356  uzssz2  45405  uzinico2  45514  fnlimfvre  45629  climleltrp  45631  limsupequzmpt2  45673  limsupequzlem  45677  liminfequzmpt2  45746  ioodvbdlimc1lem2  45887  ioodvbdlimc2lem  45889  sge0isum  46382  smflimlem1  46726  smflimlem2  46727  smflim  46732