Theorem uzssz 12753

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 12735	. . . . 5 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2	1	ffvelcdmi 7016	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
3	2	elpwid 4556	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
4	1	fdmi 6662	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
5	3, 4	eleq2s 2849	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
6		ndmfv 6854	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7		0ss 4347	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℤ
8	6, 7	eqsstrdi 3974	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
9	5, 8	pm2.61i 182	1 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733

This theorem is referenced by:  uzssre  12754  uzwo  12809  uzwo2  12810  infssuzle  12829  infssuzcl  12830  uzsupss  12838  uzwo3  12841  uzsup  13767  cau3  15263  caubnd  15266  limsupgre  15388  rlimclim  15453  climz  15456  climaddc1  15542  climmulc2  15544  climsubc1  15545  climsubc2  15546  climlec2  15566  isercolllem1  15572  isercolllem2  15573  isercoll  15575  caurcvg  15584  caucvg  15586  iseraltlem1  15589  iseraltlem2  15590  iseraltlem3  15591  summolem2a  15622  summolem2  15623  zsum  15625  fsumcvg3  15636  climfsum  15727  divcnvshft  15762  clim2prod  15795  ntrivcvg  15804  ntrivcvgfvn0  15806  ntrivcvgtail  15807  ntrivcvgmullem  15808  ntrivcvgmul  15809  prodrblem  15836  prodmolem2a  15841  prodmolem2  15842  zprod  15844  4sqlem11  16867  gsumval3  19819  lmbrf  23175  lmres  23215  uzrest  23812  uzfbas  23813  lmflf  23920  lmmbrf  25189  iscau4  25206  iscauf  25207  caucfil  25210  lmclimf  25231  mbfsup  25592  mbflimsup  25594  ig1pdvds  26112  ulmval  26316  ulmpm  26319  2sqlem6  27361  ballotlemfc0  34506  ballotlemfcc  34507  ballotlemiex  34515  ballotlemsima  34529  ballotlemrv2  34535  breprexplemc  34645  erdszelem4  35238  erdszelem8  35242  caures  37810  diophin  42875  irrapxlem1  42925  monotuz  43044  hashnzfzclim  44425  uzmptshftfval  44449  uzct  45170  uzfissfz  45435  ssuzfz  45458  uzssre2  45515  uzssz2  45564  uzinico2  45671  fnlimfvre  45782  climleltrp  45784  limsupequzmpt2  45826  limsupequzlem  45830  liminfequzmpt2  45899  ioodvbdlimc1lem2  46040  ioodvbdlimc2lem  46042  sge0isum  46535  smflimlem1  46879  smflimlem2  46880  smflim  46885