MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzssz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzssz 11906
Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzssz (ℤ𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz
StepHypRef Expression
1 uzf 11889 . . . . 5 :ℤ⟶𝒫 ℤ
21ffvelrni 6548 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
32elpwid 4327 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ⊆ ℤ)
41fdmi 6233 . . 3 dom ℤ = ℤ
53, 4eleq2s 2862 . 2 (𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) ⊆ ℤ)
6 ndmfv 6405 . . 3 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
7 0ss 4134 . . 3 ∅ ⊆ ℤ
86, 7syl6eqss 3815 . 2 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) ⊆ ℤ)
95, 8pm2.61i 176 1 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2155  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315  dom cdm 5277  cfv 6068  cz 11624  cuz 11886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-fv 6076  df-ov 6845  df-neg 10523  df-z 11625  df-uz 11887
This theorem is referenced by:  uzwo  11952  uzwo2  11953  infssuzle  11972  infssuzcl  11973  uzsupss  11981  uzwo3  11984  fzof  12675  uzsup  12870  cau3  14382  caubnd  14385  limsupgre  14499  rlimclim  14564  climz  14567  climaddc1  14652  climmulc2  14654  climsubc1  14655  climsubc2  14656  climlec2  14676  isercolllem1  14682  isercolllem2  14683  isercoll  14685  caurcvg  14694  caucvg  14696  iseraltlem1  14699  iseraltlem2  14700  iseraltlem3  14701  summolem2a  14733  summolem2  14734  zsum  14736  fsumcvg3  14747  climfsum  14838  divcnvshft  14873  clim2prod  14905  ntrivcvg  14914  ntrivcvgfvn0  14916  ntrivcvgtail  14917  ntrivcvgmullem  14918  ntrivcvgmul  14919  prodrblem  14944  prodmolem2a  14949  prodmolem2  14950  zprod  14952  4sqlem11  15940  gsumval3  18574  lmbrf  21344  lmres  21384  uzrest  21980  uzfbas  21981  lmflf  22088  lmmbrf  23339  iscau4  23356  iscauf  23357  caucfil  23360  lmclimf  23381  mbfsup  23722  mbflimsup  23724  ig1pdvds  24227  ulmval  24425  ulmpm  24428  2sqlem6  25439  ballotlemfc0  30937  ballotlemfcc  30938  ballotlemiex  30946  ballotlemsdom  30956  ballotlemsima  30960  ballotlemrv2  30966  breprexplemc  31093  erdszelem4  31556  erdszelem8  31560  caures  33910  diophin  37946  irrapxlem1  37996  monotuz  38115  hashnzfzclim  39127  uzmptshftfval  39151  uzct  39815  uzfissfz  40112  ssuzfz  40135  uzssre  40189  uzssre2  40202  uzssz2  40254  uzinico2  40359  fnlimfvre  40476  climleltrp  40478  limsupequzmpt2  40520  limsupequzlem  40524  liminfequzmpt2  40593  ioodvbdlimc1lem2  40717  ioodvbdlimc2lem  40719  sge0isum  41213  smflimlem1  41551  smflimlem2  41552  smflim  41557
  Copyright terms: Public domain W3C validator