Theorem uzssz 12840

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 12822	. . . . 5 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2	1	ffvelcdmi 7083	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
3	2	elpwid 4611	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
4	1	fdmi 6727	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
5	3, 4	eleq2s 2852	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
6		ndmfv 6924	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7		0ss 4396	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℤ
8	6, 7	eqsstrdi 4036	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
9	5, 8	pm2.61i 182	1 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  dom cdm 5676  ‘cfv 6541  ℤcz 12555  ℤ_≥cuz 12819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549  df-ov 7409  df-neg 11444  df-z 12556  df-uz 12820

This theorem is referenced by:  uzssre  12841  uzwo  12892  uzwo2  12893  infssuzle  12912  infssuzcl  12913  uzsupss  12921  uzwo3  12924  uzsup  13825  cau3  15299  caubnd  15302  limsupgre  15422  rlimclim  15487  climz  15490  climaddc1  15576  climmulc2  15578  climsubc1  15579  climsubc2  15580  climlec2  15602  isercolllem1  15608  isercolllem2  15609  isercoll  15611  caurcvg  15620  caucvg  15622  iseraltlem1  15625  iseraltlem2  15626  iseraltlem3  15627  summolem2a  15658  summolem2  15659  zsum  15661  fsumcvg3  15672  climfsum  15763  divcnvshft  15798  clim2prod  15831  ntrivcvg  15840  ntrivcvgfvn0  15842  ntrivcvgtail  15843  ntrivcvgmullem  15844  ntrivcvgmul  15845  prodrblem  15870  prodmolem2a  15875  prodmolem2  15876  zprod  15878  4sqlem11  16885  gsumval3  19770  lmbrf  22756  lmres  22796  uzrest  23393  uzfbas  23394  lmflf  23501  lmmbrf  24771  iscau4  24788  iscauf  24789  caucfil  24792  lmclimf  24813  mbfsup  25173  mbflimsup  25175  ig1pdvds  25686  ulmval  25884  ulmpm  25887  2sqlem6  26916  ballotlemfc0  33480  ballotlemfcc  33481  ballotlemiex  33489  ballotlemsima  33503  ballotlemrv2  33509  breprexplemc  33633  erdszelem4  34174  erdszelem8  34178  caures  36617  diophin  41496  irrapxlem1  41546  monotuz  41666  hashnzfzclim  43067  uzmptshftfval  43091  uzct  43736  uzfissfz  44023  ssuzfz  44046  uzssre2  44104  uzssz2  44153  uzinico2  44262  fnlimfvre  44377  climleltrp  44379  limsupequzmpt2  44421  limsupequzlem  44425  liminfequzmpt2  44494  ioodvbdlimc1lem2  44635  ioodvbdlimc2lem  44637  sge0isum  45130  smflimlem1  45474  smflimlem2  45475  smflim  45480