Theorem uzssz 12901

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 12883	. . . . 5 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2	1	ffvelcdmi 7082	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
3	2	elpwid 4573	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
4	1	fdmi 6721	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
5	3, 4	eleq2s 2883	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
6		ndmfv 6917	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7		0ss 4357	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℤ
8	6, 7	eqsstrdi 3982	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
9	5, 8	pm2.61i 184	1 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4564  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-neg 11461  df-z 12609  df-uz 12881

This theorem is used by:  uzssre  12902  uzwo  12953  uzwo2  12954  infssuzle  12973  infssuzcl  12974  uzsupss  12982  uzwo3  12985  uzsup  13916  cau3  15433  caubnd  15436  limsupgre  15558  rlimclim  15623  climz  15626  climaddc1  15712  climmulc2  15714  climsubc1  15715  climsubc2  15716  climlec2  15736  isercolllem1  15742  isercolllem2  15743  isercoll  15745  caurcvg  15754  caucvg  15756  iseraltlem1  15759  iseraltlem2  15760  iseraltlem3  15761  summolem2a  15791  summolem2  15792  zsum  15794  fsumcvg3  15805  climfsum  15897  divcnvshft  15934  clim2prod  15967  ntrivcvg  15976  ntrivcvgfvn0  15978  ntrivcvgtail  15979  ntrivcvgmullem  15980  ntrivcvgmul  15981  prodrblem  16008  prodmolem2a  16013  prodmolem2  16014  zprod  16016  4sqlem11  17039  gsumval3  20023  lmbrf  23469  lmres  23509  uzrest  24107  uzfbas  24108  lmflf  24215  lmmbrf  25474  iscau4  25491  iscauf  25492  caucfil  25495  lmclimf  25516  mbfsup  25876  mbflimsup  25878  ig1pdvds  26390  ulmval  26596  ulmpm  26599  2sqlem6  27640  ballotlemfc0  34950  ballotlemfcc  34951  ballotlemiex  34959  ballotlemsima  34973  ballotlemrv2  34979  breprexplemc  35086  erdszelem4  35725  erdszelem8  35729  caures  38471  diophin  43563  irrapxlem1  43609  monotuz  43728  hashnzfzclim  45092  uzmptshftfval  45116  uzct  45843  uzfissfz  46102  ssuzfz  46125  uzssre2  46181  uzssz2  46230  uzinico2  46337  fnlimfvre  46448  climleltrp  46450  limsupequzmpt2  46492  limsupequzlem  46496  liminfequzmpt2  46565  ioodvbdlimc1lem2  46706  ioodvbdlimc2lem  46708  sge0isum  47201  smflimlem1  47545  smflimlem2  47546  smflim  47551