Theorem uzssz 12999

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 12981	. . . . 5 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2	1	ffvelcdmi 7094	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
3	2	elpwid 4569	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
4	1	fdmi 6732	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
5	3, 4	eleq2s 2882	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
6		ndmfv 6928	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℤ
8	6, 7	eqsstrdi 3957	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
9	5, 8	pm2.61i 184	1 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  dom cdm 5655  ‘cfv 6547  ℤcz 12706  ℤ_≥cuz 12978

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-ov 7433  df-neg 11557  df-z 12707  df-uz 12979

This theorem is used by:  uzssre  13000  uzwo  13051  uzwo2  13052  infssuzle  13071  infssuzcl  13072  uzsupss  13080  uzwo3  13083  uzsup  14016  cau3  15538  caubnd  15541  limsupgre  15663  rlimclim  15728  climz  15731  climaddc1  15817  climmulc2  15819  climsubc1  15820  climsubc2  15821  climlec2  15841  isercolllem1  15847  isercolllem2  15848  isercoll  15850  caurcvg  15859  caucvg  15861  iseraltlem1  15864  iseraltlem2  15865  iseraltlem3  15866  summolem2a  15896  summolem2  15897  zsum  15899  fsumcvg3  15910  climfsum  16002  divcnvshft  16039  clim2prod  16072  ntrivcvg  16081  ntrivcvgfvn0  16083  ntrivcvgtail  16084  ntrivcvgmullem  16085  ntrivcvgmul  16086  prodrblem  16111  prodmolem2a  16116  prodmolem2  16117  zprod  16119  4sqlem11  17148  gsumval3  20136  lmbrf  23593  lmres  23633  uzrest  24231  uzfbas  24232  lmflf  24339  lmmbrf  25598  iscau4  25615  iscauf  25616  caucfil  25619  lmclimf  25640  mbfsup  26000  mbflimsup  26002  ig1pdvds  26513  ulmval  26722  ulmpm  26725  2sqlem6  27765  ballotlemfc0  35181  ballotlemfcc  35182  ballotlemiex  35190  ballotlemsima  35204  ballotlemrv2  35210  breprexplemc  35317  erdszelem4  36083  erdszelem8  36087  caures  38837  diophin  43926  irrapxlem1  43972  monotuz  44091  hashnzfzclim  45449  uzmptshftfval  45473  uzct  46222  uzfissfz  46480  ssuzfz  46503  uzssre2  46559  uzssz2  46608  uzinico2  46715  fnlimfvre  46826  climleltrp  46828  limsupequzmpt2  46870  limsupequzlem  46874  liminfequzmpt2  46943  ioodvbdlimc1lem2  47084  ioodvbdlimc2lem  47086  sge0isum  47579  smflimlem1  47923  smflimlem2  47924  smflim  47929