Theorem uzssz 12814

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 12796	. . . . 5 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2	1	ffvelcdmi 7055	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
3	2	elpwid 4572	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
4	1	fdmi 6699	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
5	3, 4	eleq2s 2846	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
6		ndmfv 6893	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7		0ss 4363	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℤ
8	6, 7	eqsstrdi 3991	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
9	5, 8	pm2.61i 182	1 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  uzssre  12815  uzwo  12870  uzwo2  12871  infssuzle  12890  infssuzcl  12891  uzsupss  12899  uzwo3  12902  uzsup  13825  cau3  15322  caubnd  15325  limsupgre  15447  rlimclim  15512  climz  15515  climaddc1  15601  climmulc2  15603  climsubc1  15604  climsubc2  15605  climlec2  15625  isercolllem1  15631  isercolllem2  15632  isercoll  15634  caurcvg  15643  caucvg  15645  iseraltlem1  15648  iseraltlem2  15649  iseraltlem3  15650  summolem2a  15681  summolem2  15682  zsum  15684  fsumcvg3  15695  climfsum  15786  divcnvshft  15821  clim2prod  15854  ntrivcvg  15863  ntrivcvgfvn0  15865  ntrivcvgtail  15866  ntrivcvgmullem  15867  ntrivcvgmul  15868  prodrblem  15895  prodmolem2a  15900  prodmolem2  15901  zprod  15903  4sqlem11  16926  gsumval3  19837  lmbrf  23147  lmres  23187  uzrest  23784  uzfbas  23785  lmflf  23892  lmmbrf  25162  iscau4  25179  iscauf  25180  caucfil  25183  lmclimf  25204  mbfsup  25565  mbflimsup  25567  ig1pdvds  26085  ulmval  26289  ulmpm  26292  2sqlem6  27334  ballotlemfc0  34484  ballotlemfcc  34485  ballotlemiex  34493  ballotlemsima  34507  ballotlemrv2  34513  breprexplemc  34623  erdszelem4  35181  erdszelem8  35185  caures  37754  diophin  42760  irrapxlem1  42810  monotuz  42930  hashnzfzclim  44311  uzmptshftfval  44335  uzct  45057  uzfissfz  45322  ssuzfz  45345  uzssre2  45403  uzssz2  45452  uzinico2  45559  fnlimfvre  45672  climleltrp  45674  limsupequzmpt2  45716  limsupequzlem  45720  liminfequzmpt2  45789  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  sge0isum  46425  smflimlem1  46769  smflimlem2  46770  smflim  46775