Theorem uzssz 12258

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 12240	. . . . 5 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2	1	ffvelrni 6844	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
3	2	elpwid 4552	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
4	1	fdmi 6518	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
5	3, 4	eleq2s 2931	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
6		ndmfv 6694	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7		0ss 4349	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℤ
8	6, 7	eqsstrdi 4020	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
9	5, 8	pm2.61i 184	1 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  𝒫 cpw 4538  dom cdm 5549  ‘cfv 6349  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-ov 7153  df-neg 10867  df-z 11976  df-uz 12238

This theorem is referenced by:  uzwo  12305  uzwo2  12306  infssuzle  12325  infssuzcl  12326  uzsupss  12334  uzwo3  12337  uzsup  13225  cau3  14709  caubnd  14712  limsupgre  14832  rlimclim  14897  climz  14900  climaddc1  14985  climmulc2  14987  climsubc1  14988  climsubc2  14989  climlec2  15009  isercolllem1  15015  isercolllem2  15016  isercoll  15018  caurcvg  15027  caucvg  15029  iseraltlem1  15032  iseraltlem2  15033  iseraltlem3  15034  summolem2a  15066  summolem2  15067  zsum  15069  fsumcvg3  15080  climfsum  15169  divcnvshft  15204  clim2prod  15238  ntrivcvg  15247  ntrivcvgfvn0  15249  ntrivcvgtail  15250  ntrivcvgmullem  15251  ntrivcvgmul  15252  prodrblem  15277  prodmolem2a  15282  prodmolem2  15283  zprod  15285  4sqlem11  16285  gsumval3  19021  lmbrf  21862  lmres  21902  uzrest  22499  uzfbas  22500  lmflf  22607  lmmbrf  23859  iscau4  23876  iscauf  23877  caucfil  23880  lmclimf  23901  mbfsup  24259  mbflimsup  24261  ig1pdvds  24764  ulmval  24962  ulmpm  24965  2sqlem6  25993  ballotlemfc0  31745  ballotlemfcc  31746  ballotlemiex  31754  ballotlemsdom  31764  ballotlemsima  31768  ballotlemrv2  31774  breprexplemc  31898  erdszelem4  32436  erdszelem8  32440  caures  35029  diophin  39362  irrapxlem1  39412  monotuz  39531  hashnzfzclim  40647  uzmptshftfval  40671  uzct  41318  uzfissfz  41587  ssuzfz  41610  uzssre  41662  uzssre2  41673  uzssz2  41725  uzinico2  41831  fnlimfvre  41948  climleltrp  41950  limsupequzmpt2  41992  limsupequzlem  41996  liminfequzmpt2  42065  ioodvbdlimc1lem2  42210  ioodvbdlimc2lem  42212  sge0isum  42703  smflimlem1  43041  smflimlem2  43042  smflim  43047