Theorem uzssz 12790

Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzssz	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Proof of Theorem uzssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 12772	. . . . 5 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2	1	ffvelcdmi 7037	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
3	2	elpwid 4568	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
4	1	fdmi 6681	. . 3 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
5	3, 4	eleq2s 2846	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
6		ndmfv 6875	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7		0ss 4359	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℤ
8	6, 7	eqsstrdi 3988	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ)
9	5, 8	pm2.61i 182	1 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  uzssre  12791  uzwo  12846  uzwo2  12847  infssuzle  12866  infssuzcl  12867  uzsupss  12875  uzwo3  12878  uzsup  13801  cau3  15298  caubnd  15301  limsupgre  15423  rlimclim  15488  climz  15491  climaddc1  15577  climmulc2  15579  climsubc1  15580  climsubc2  15581  climlec2  15601  isercolllem1  15607  isercolllem2  15608  isercoll  15610  caurcvg  15619  caucvg  15621  iseraltlem1  15624  iseraltlem2  15625  iseraltlem3  15626  summolem2a  15657  summolem2  15658  zsum  15660  fsumcvg3  15671  climfsum  15762  divcnvshft  15797  clim2prod  15830  ntrivcvg  15839  ntrivcvgfvn0  15841  ntrivcvgtail  15842  ntrivcvgmullem  15843  ntrivcvgmul  15844  prodrblem  15871  prodmolem2a  15876  prodmolem2  15877  zprod  15879  4sqlem11  16902  gsumval3  19821  lmbrf  23180  lmres  23220  uzrest  23817  uzfbas  23818  lmflf  23925  lmmbrf  25195  iscau4  25212  iscauf  25213  caucfil  25216  lmclimf  25237  mbfsup  25598  mbflimsup  25600  ig1pdvds  26118  ulmval  26322  ulmpm  26325  2sqlem6  27367  ballotlemfc0  34477  ballotlemfcc  34478  ballotlemiex  34486  ballotlemsima  34500  ballotlemrv2  34506  breprexplemc  34616  erdszelem4  35174  erdszelem8  35178  caures  37747  diophin  42753  irrapxlem1  42803  monotuz  42923  hashnzfzclim  44304  uzmptshftfval  44328  uzct  45050  uzfissfz  45315  ssuzfz  45338  uzssre2  45396  uzssz2  45445  uzinico2  45552  fnlimfvre  45665  climleltrp  45667  limsupequzmpt2  45709  limsupequzlem  45713  liminfequzmpt2  45782  ioodvbdlimc1lem2  45923  ioodvbdlimc2lem  45925  sge0isum  46418  smflimlem1  46762  smflimlem2  46763  smflim  46768