Theorem limsupubuz2 45263

Description: A sequence with values in the extended reals, and with limsup that is not +∞, is eventually less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupubuz2.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupubuz2.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsupubuz2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupubuz2.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupubuz2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
limsupubuz2.6	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)

Assertion

Ref	Expression
limsupubuz2	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupubuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupubuz2.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		limsupubuz2.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
3		limsupubuz2.4	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	3	uzssre2 44851	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
6		limsupubuz2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7		limsupubuz2.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
8	1, 2, 5, 6, 7	limsupub2 45262	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))
9		limsupubuz2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10	3	rexuzre 15329	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞ ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞ ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
12	8, 11	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2875   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5143  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  ℝcr 11135  +∞cpnf 11273  ℝ^*cxr 11275   < clt 11276   ≤ cle 11277  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850  lim supclsp 15444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-ico 13360  df-fl 13787  df-limsup 15445

This theorem is referenced by:  liminflbuz2  45265  liminflimsupxrre  45267