Theorem limsupubuz2 42843

Description: A sequence with values in the extended reals, and with limsup that is not +∞, is eventually less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupubuz2.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupubuz2.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsupubuz2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupubuz2.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupubuz2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
limsupubuz2.6	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)

Assertion

Ref	Expression
limsupubuz2	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupubuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupubuz2.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		limsupubuz2.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
3		limsupubuz2.4	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	3	uzssre2 42432	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
6		limsupubuz2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7		limsupubuz2.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
8	1, 2, 5, 6, 7	limsupub2 42842	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))
9		limsupubuz2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10	3	rexuzre 14760	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞ ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞ ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
12	8, 11	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2899   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3858   class class class wbr 5032  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  ℝcr 10574  +∞cpnf 10710  ℝ^*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714  ℤcz 12020  ℤ_≥cuz 12282  lim supclsp 14875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-ico 12785  df-fl 13211  df-limsup 14876

This theorem is referenced by:  liminflbuz2  42845  liminflimsupxrre  42847