Theorem limsupubuz2 43354

Description: A sequence with values in the extended reals, and with limsup that is not +∞, is eventually less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupubuz2.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupubuz2.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsupubuz2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupubuz2.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupubuz2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
limsupubuz2.6	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)

Assertion

Ref	Expression
limsupubuz2	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupubuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupubuz2.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		limsupubuz2.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
3		limsupubuz2.4	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	3	uzssre2 42947	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
6		limsupubuz2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7		limsupubuz2.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
8	1, 2, 5, 6, 7	limsupub2 43353	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))
9		limsupubuz2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10	3	rexuzre 15064	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞ ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞ ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
12	8, 11	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  ℝcr 10870  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  lim supclsp 15179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-ico 13085  df-fl 13512  df-limsup 15180

This theorem is referenced by:  liminflbuz2  43356  liminflimsupxrre  43358