Theorem limsupubuz2 44516

Description: A sequence with values in the extended reals, and with limsup that is not +∞, is eventually less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupubuz2.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupubuz2.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsupubuz2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupubuz2.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupubuz2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
limsupubuz2.6	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)

Assertion

Ref	Expression
limsupubuz2	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupubuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupubuz2.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		limsupubuz2.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
3		limsupubuz2.4	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	3	uzssre2 44104	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
6		limsupubuz2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7		limsupubuz2.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
8	1, 2, 5, 6, 7	limsupub2 44515	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))
9		limsupubuz2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10	3	rexuzre 15296	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞ ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞ ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
12	8, 11	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2884   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  ℝcr 11106  +∞cpnf 11242  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   ≤ cle 11246  ℤcz 12555  ℤ_≥cuz 12819  lim supclsp 15411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-ico 13327  df-fl 13754  df-limsup 15412

This theorem is referenced by:  liminflbuz2  44518  liminflimsupxrre  44520