Theorem uzval 12914

Description: The value of the upper integers function. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑁) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘})

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem uzval

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5106	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ 𝑘))
2	1	rabbidv 3419	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘})
3		df-uz 12913	. 2 ⊢ ℤ≥ = (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘})
4		zex 12649	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
5	4	rabex 5303	. 2 ⊢ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ∈ V
6	2, 3, 5	fvmpt 6989	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑁) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   class class class wbr 5103  ‘cfv 6535   ≤ cle 11293  ℤcz 12640  ℤ_≥cuz 12912

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fv 6543  df-ov 7419  df-neg 11493  df-z 12641  df-uz 12913

This theorem is used by:  eluz1  12916  nn0uz  12950  nnuz  12951  algfx  16695