Theorem algfx 16755

Description: If 𝐹 reaches a fixed point when the countdown function 𝐶 reaches 0, 𝐹 remains fixed after 𝑁 steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
algcvga.1	⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
algcvga.2	⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
algcvga.3	⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0
algcvga.4	⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)))
algcvga.5	⊢ 𝑁 = (𝐶‘𝐴)
algfx.6	⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘𝑧) = 0 → (𝐹‘𝑧) = 𝑧))

Assertion

Ref	Expression
algfx	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆   𝑧,𝐾   𝑧,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem algfx

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algcvga.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐶‘𝐴)
2		algcvga.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0
3	2	ffvelcdmi 7083	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	1, 3	eqeltrid 2865	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12718	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		uzval 12967	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑁) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧})
7	6	eleq2d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
8	7	pm5.32i 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
9		fveqeq2 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁) ↔ (𝑅‘𝑁) = (𝑅‘𝑁)))
10	9	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑁) = (𝑅‘𝑁))))
11		fveqeq2 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁) ↔ (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁)))
12	11	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁))))
13		fveqeq2 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁) ↔ (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁)))
14	13	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁))))
15		fveqeq2 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁) ↔ (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁)))
16	15	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁))))
17		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑁) = (𝑅‘𝑁))
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑁) = (𝑅‘𝑁)))
19	6	eleq2d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
20	19	pm5.32i 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
21		eluznn0 13044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22	4, 21	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23		nn0uz 13003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
24		algcvga.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
25		0zd 12705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 0 ∈ ℤ)
26		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ 𝑆)
27		algcvga.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
29	23, 24, 25, 26, 28	algrp1 16749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
30	22, 29	syldan 603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
31	23, 24, 25, 26, 28	algrf 16748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑅:ℕ0⟶𝑆)
32	31	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆)
33	22, 32	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆)
34		algcvga.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)))
35	27, 24, 2, 34, 1	algcvga 16754	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0))
36	35	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0)
37		fveqeq2 6894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐶‘𝑧) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0))
38		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
39		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → 𝑧 = (𝑅‘𝑘))
40	38, 39	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹‘(𝑅‘𝑘)) = (𝑅‘𝑘)))
41	37, 40	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (((𝐶‘𝑧) = 0 → (𝐹‘𝑧) = 𝑧) ↔ ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐹‘(𝑅‘𝑘)) = (𝑅‘𝑘))))
42		algfx.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘𝑧) = 0 → (𝐹‘𝑧) = 𝑧))
43	41, 42	vtoclga 3537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐹‘(𝑅‘𝑘)) = (𝑅‘𝑘)))
44	33, 36, 43	sylc 66	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑅‘𝑘)) = (𝑅‘𝑘))
45	30, 44	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑘))
46	45	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁) ↔ (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁)))
47	46	biimprd 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁)))
48	47	expcom 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁))))
49	48	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁))))
50	20, 49	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}) → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁))))
51	50	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁))))
52	10, 12, 14, 16, 18, 51	uzind3 12793	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁)))
53	8, 52	sylbi 220	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁)))
54	53	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁))))
55	54	com3r 88	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁))))
56	5, 55	mpd 16	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {crab 3413  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5649   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  seqcseq 14144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145

This theorem is used by: (None)