Theorem algfx 16497

Description: If 𝐹 reaches a fixed point when the countdown function 𝐶 reaches 0, 𝐹 remains fixed after 𝑁 steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
algcvga.1	⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
algcvga.2	⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
algcvga.3	⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0
algcvga.4	⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)))
algcvga.5	⊢ 𝑁 = (𝐶‘𝐴)
algfx.6	⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘𝑧) = 0 → (𝐹‘𝑧) = 𝑧))

Assertion

Ref	Expression
algfx	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆   𝑧,𝐾   𝑧,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem algfx

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algcvga.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐶‘𝐴)
2		algcvga.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0
3	2	ffvelcdmi 7022	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	1, 3	eqeltrid 2835	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12500	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		uzval 12740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑁) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧})
7	6	eleq2d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
8	7	pm5.32i 574	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
9		fveqeq2 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁) ↔ (𝑅‘𝑁) = (𝑅‘𝑁)))
10	9	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑁) = (𝑅‘𝑁))))
11		fveqeq2 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁) ↔ (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁)))
12	11	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁))))
13		fveqeq2 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁) ↔ (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁)))
14	13	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁))))
15		fveqeq2 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁) ↔ (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁)))
16	15	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁))))
17		eqidd 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑁) = (𝑅‘𝑁))
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑁) = (𝑅‘𝑁)))
19	6	eleq2d 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
20	19	pm5.32i 574	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
21		eluznn0 12821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22	4, 21	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23		nn0uz 12780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
24		algcvga.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
25		0zd 12486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 0 ∈ ℤ)
26		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ 𝑆)
27		algcvga.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
29	23, 24, 25, 26, 28	algrp1 16491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
30	22, 29	syldan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
31	23, 24, 25, 26, 28	algrf 16490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑅:ℕ0⟶𝑆)
32	31	ffvelcdmda 7023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆)
33	22, 32	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆)
34		algcvga.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)))
35	27, 24, 2, 34, 1	algcvga 16496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0))
36	35	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0)
37		fveqeq2 6837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐶‘𝑧) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0))
38		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
39		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → 𝑧 = (𝑅‘𝑘))
40	38, 39	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹‘(𝑅‘𝑘)) = (𝑅‘𝑘)))
41	37, 40	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (((𝐶‘𝑧) = 0 → (𝐹‘𝑧) = 𝑧) ↔ ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐹‘(𝑅‘𝑘)) = (𝑅‘𝑘))))
42		algfx.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘𝑧) = 0 → (𝐹‘𝑧) = 𝑧))
43	41, 42	vtoclga 3528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐹‘(𝑅‘𝑘)) = (𝑅‘𝑘)))
44	33, 36, 43	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑅‘𝑘)) = (𝑅‘𝑘))
45	30, 44	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑘))
46	45	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁) ↔ (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁)))
47	46	biimprd 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁)))
48	47	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁))))
49	48	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁))))
50	20, 49	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}) → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁))))
51	50	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁))))
52	10, 12, 14, 16, 18, 51	uzind3 12573	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁)))
53	8, 52	sylbi 217	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁)))
54	53	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁))))
55	54	com3r 87	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁))))
56	5, 55	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {crab 3395  {csn 4575   class class class wbr 5093   × cxp 5617   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  1^st c1st 7925  0cc0 11012  1c1 11013   + caddc 11015   < clt 11152   ≤ cle 11153  ℕ₀cn0 12387  ℤcz 12474  ℤ_≥cuz 12738  seqcseq 13914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414  df-seq 13915

This theorem is referenced by: (None)