Theorem algfx 15780

Description: If 𝐹 reaches a fixed point when the countdown function 𝐶 reaches 0, 𝐹 remains fixed after 𝑁 steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
algcvga.1	⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
algcvga.2	⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
algcvga.3	⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0
algcvga.4	⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)))
algcvga.5	⊢ 𝑁 = (𝐶‘𝐴)
algfx.6	⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘𝑧) = 0 → (𝐹‘𝑧) = 𝑧))

Assertion

Ref	Expression
algfx	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆   𝑧,𝐾   𝑧,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem algfx

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algcvga.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐶‘𝐴)
2		algcvga.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0
3	2	ffvelrni 6675	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	1, 3	syl5eqel 2871	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 11898	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		uzval 12060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑁) = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧})
7	6	eleq2d 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
8	7	pm5.32i 567	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
9		fveqeq2 6508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁) ↔ (𝑅‘𝑁) = (𝑅‘𝑁)))
10	9	imbi2d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑁) = (𝑅‘𝑁))))
11		fveqeq2 6508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁) ↔ (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁)))
12	11	imbi2d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁))))
13		fveqeq2 6508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁) ↔ (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁)))
14	13	imbi2d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁))))
15		fveqeq2 6508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁) ↔ (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁)))
16	15	imbi2d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁))))
17		eqidd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑁) = (𝑅‘𝑁))
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑁) = (𝑅‘𝑁)))
19	6	eleq2d 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
20	19	pm5.32i 567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
21		eluznn0 12131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22	4, 21	sylan 572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23		nn0uz 12094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
24		algcvga.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
25		0zd 11805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 0 ∈ ℤ)
26		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ 𝑆)
27		algcvga.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
29	23, 24, 25, 26, 28	algrp1 15774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
30	22, 29	syldan 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
31	23, 24, 25, 26, 28	algrf 15773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑅:ℕ0⟶𝑆)
32	31	ffvelrnda 6676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆)
33	22, 32	syldan 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆)
34		algcvga.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)))
35	27, 24, 2, 34, 1	algcvga 15779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0))
36	35	imp 398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0)
37		fveqeq2 6508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐶‘𝑧) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0))
38		fveq2 6499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
39		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → 𝑧 = (𝑅‘𝑘))
40	38, 39	eqeq12d 2794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹‘(𝑅‘𝑘)) = (𝑅‘𝑘)))
41	37, 40	imbi12d 337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (((𝐶‘𝑧) = 0 → (𝐹‘𝑧) = 𝑧) ↔ ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐹‘(𝑅‘𝑘)) = (𝑅‘𝑘))))
42		algfx.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘𝑧) = 0 → (𝐹‘𝑧) = 𝑧))
43	41, 42	vtoclga 3494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐹‘(𝑅‘𝑘)) = (𝑅‘𝑘)))
44	33, 36, 43	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘(𝑅‘𝑘)) = (𝑅‘𝑘))
45	30, 44	eqtrd 2815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑘))
46	45	eqeq1d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁) ↔ (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁)))
47	46	biimprd 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁)))
48	47	expcom 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁))))
49	48	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁))))
50	20, 49	sylbir 227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}) → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁))))
51	50	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑁)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝑅‘𝑁))))
52	10, 12, 14, 16, 18, 51	uzind3 11889	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁)))
53	8, 52	sylbi 209	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁)))
54	53	ex 405	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁))))
55	54	com3r 87	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁))))
56	5, 55	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑅‘𝐾) = (𝑅‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2968  {crab 3093  {csn 4441   class class class wbr 4929   × cxp 5405   ∘ ccom 5411  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  1^st c1st 7499  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   < clt 10474   ≤ cle 10475  ℕ₀cn0 11707  ℤcz 11793  ℤ_≥cuz 12058  seqcseq 13184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-seq 13185

This theorem is referenced by: (None)