MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzf 12879
Description: The domain and codomain of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzf :ℤ⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem uzf
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 12620 . . . 4 ℤ ∈ V
2 ssrab2 4090 . . . 4 {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ⊆ ℤ
31, 2elpwi2 5341 . . 3 {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
43rgenw 3063 . 2 𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
5 df-uz 12877 . . 3 = (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘})
65fmpt 7130 . 2 (∀𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ∈ 𝒫 ℤ ↔ ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ)
74, 6mpbi 230 1 :ℤ⟶𝒫 ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  wf 6559  cle 11294  cz 12611  cuz 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877
This theorem is referenced by:  eluzel2  12881  uzn0  12893  uzssz  12897  ltweuz  13999  uzin2  15380  rexanuz  15381  sumz  15755  sumss  15757  prod1  15977  prodss  15980  lmbr2  23283  lmff  23325  zfbas  23920  uzrest  23921  lmflf  24029  lmmbr2  25307  caucfil  25331  lmcau  25361  heibor1lem  37796  dmuz  45177
  Copyright terms: Public domain W3C validator