MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzf 12825
Description: The domain and codomain of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzf :ℤ⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem uzf
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 12567 . . . 4 ℤ ∈ V
2 ssrab2 4078 . . . 4 {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ⊆ ℤ
31, 2elpwi2 5347 . . 3 {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
43rgenw 3066 . 2 𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
5 df-uz 12823 . . 3 = (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘})
65fmpt 7110 . 2 (∀𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ∈ 𝒫 ℤ ↔ ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ)
74, 6mpbi 229 1 :ℤ⟶𝒫 ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5149  wf 6540  cle 11249  cz 12558  cuz 12822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823
This theorem is referenced by:  eluzel2  12827  uzn0  12839  uzssz  12843  ltweuz  13926  uzin2  15291  rexanuz  15292  sumz  15668  sumss  15670  prod1  15888  prodss  15891  lmbr2  22763  lmff  22805  zfbas  23400  uzrest  23401  lmflf  23509  lmmbr2  24776  caucfil  24800  lmcau  24830  heibor1lem  36677  dmuz  43936
  Copyright terms: Public domain W3C validator