Theorem uzf 12968

Description: The domain and codomain of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzf	⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem uzf

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12702	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
2		ssrab2 4005	. . . 4 ⊢ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ⊆ ℤ
3	1, 2	elpwi2 5296	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
4	3	rgenw 3080	. 2 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
5		df-uz 12966	. . 3 ⊢ ℤ≥ = (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘})
6	5	fmpt 7110	. 2 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ∈ 𝒫 ℤ ↔ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ)
7	4, 6	mpbi 233	1 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102  ⟶wf 6534   ≤ cle 11344  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-neg 11544  df-z 12694  df-uz 12966

This theorem is used by:  eluzel2  12970  uzn0  12982  uzssz  12986  ltweuz  14104  uzin2  15512  rexanuz  15513  sumz  15888  sumss  15890  prod1  16111  prodss  16114  lmbr2  23577  lmff  23619  zfbas  24215  uzrest  24216  lmflf  24324  lmmbr2  25580  caucfil  25604  lmcau  25634  heibor1lem  38786  dmuz  46289