Theorem uzf 12864

Description: The domain and codomain of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzf	⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem uzf

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12599	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
2		ssrab2 4033	. . . 4 ⊢ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ⊆ ℤ
3	1, 2	elpwi2 5305	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
4	3	rgenw 3081	. 2 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
5		df-uz 12862	. . 3 ⊢ ℤ≥ = (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘})
6	5	fmpt 7105	. 2 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ∈ 𝒫 ℤ ↔ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ)
7	4, 6	mpbi 233	1 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  {crab 3414  Vcvv 3453  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5108  ⟶wf 6532   ≤ cle 11243  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-pr 5404  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-neg 11443  df-z 12591  df-uz 12862

This theorem is referenced by:  eluzel2  12866  uzn0  12878  uzssz  12882  ltweuz  13996  uzin2  15395  rexanuz  15396  sumz  15772  sumss  15774  prod1  15997  prodss  16000  lmbr2  23395  lmff  23437  zfbas  24032  uzrest  24033  lmflf  24141  lmmbr2  25397  caucfil  25421  lmcau  25451  heibor1lem  38404  dmuz  45897