Theorem nnuz 12818

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 12546	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 12548	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 12781	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2763	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  1c1 11030   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-z 12516  df-uz 12780

This theorem is referenced by:  elnnuz  12819  eluz2nn  12829  uznnssnn  12836  nnwo  12854  eluznn  12859  nninf  12870  fzssnn  13513  fseq1p1m1  13543  prednn  13596  elfzo1  13658  ltwenn  13915  nnnfi  13919  ser1const  14011  expp1  14021  digit1  14190  facnn  14228  fac0  14229  facp1  14231  faclbnd4lem1  14246  bcm1k  14268  bcval5  14271  bcpasc  14274  fz1isolem  14414  seqcoll  14417  seqcoll2  14418  climuni  15505  isercolllem2  15619  isercoll  15621  sumeq2ii  15646  summolem3  15667  summolem2a  15668  fsum  15673  sum0  15674  sumz  15675  fsumcl2lem  15684  fsumadd  15693  fsummulc2  15737  fsumrelem  15761  isumnn0nn  15798  climcndslem1  15805  climcndslem2  15806  climcnds  15807  divcnv  15809  divcnvshft  15811  supcvg  15812  trireciplem  15818  trirecip  15819  expcnv  15820  geo2lim  15831  geoisum1  15835  geoisum1c  15836  mertenslem2  15841  prodeq2ii  15867  prodmolem3  15889  prodmolem2a  15890  fprod  15897  prod0  15899  prod1  15900  fprodss  15904  fprodser  15905  fprodcl2lem  15906  fprodmul  15916  fproddiv  15917  fprodn0  15935  fallfacval4  15999  bpoly4  16015  ege2le3  16046  rpnnen2lem3  16174  rpnnen2lem5  16176  rpnnen2lem8  16179  rpnnen2lem12  16183  ruclem6  16193  pwp1fsum  16351  bezoutlem2  16500  bezoutlem3  16501  lcmcllem  16556  lcmledvds  16559  lcmfval  16581  lcmfcllem  16585  lcmfledvds  16592  isprm3  16643  phicl2  16729  phibndlem  16731  eulerthlem2  16743  odzcllem  16754  odzdvds  16757  iserodd  16797  pcmptcl  16853  pcmpt  16854  pockthlem  16867  pockthg  16868  unbenlem  16870  prmreclem3  16880  prmreclem5  16882  prmreclem6  16883  prmrec  16884  1arith  16889  4sqlem13  16919  4sqlem14  16920  4sqlem17  16923  4sqlem18  16924  vdwlem1  16943  vdwlem2  16944  vdwlem3  16945  vdwlem6  16948  vdwlem8  16950  vdwlem10  16952  vdw  16956  vdwnnlem3  16959  prmlem1a  17068  chnub  18579  mulgnnp1  19049  mulgnnsubcl  19053  mulgnn0z  19068  mulgnndir  19070  mulgpropd  19083  odfval  19498  odlem1  19501  odlem2  19505  gexlem1  19545  gexlem2  19548  gexcl3  19553  sylow1lem1  19564  efgsdmi  19698  efgsrel  19700  efgs1b  19702  efgsp1  19703  mulgnn0di  19791  lt6abl  19861  gsumval3eu  19870  gsumval3  19873  gsumzcl2  19876  gsumzaddlem  19887  gsumconst  19900  gsumzmhm  19903  gsumzoppg  19910  zringlpirlem2  21453  zringlpirlem3  21454  lmcnp  23279  lmmo  23355  1stcelcls  23436  1stccnp  23437  1stckgenlem  23528  1stckgen  23529  imasdsf1olem  24348  cphipval  25220  lmnn  25240  cmetcaulem  25265  iscmet2  25271  causs  25275  nglmle  25279  caubl  25285  iscmet3i  25289  bcthlem5  25305  ovolsf  25449  ovollb2lem  25465  ovolctb  25467  ovolunlem1a  25473  ovolunlem1  25474  ovoliunlem1  25479  ovoliun  25482  ovoliun2  25483  ovoliunnul  25484  ovolscalem1  25490  ovolicc1  25493  ovolicc2lem2  25495  ovolicc2lem3  25496  ovolicc2lem4  25497  iundisj  25525  iundisj2  25526  voliunlem1  25527  voliunlem2  25528  voliunlem3  25529  volsup  25533  ioombl1lem4  25538  uniioovol  25556  uniioombllem2  25560  uniioombllem3  25562  uniioombllem4  25563  uniioombllem6  25565  vitalilem4  25588  vitalilem5  25589  itg1climres  25691  mbfi1fseqlem6  25697  mbfi1flimlem  25699  mbfmullem2  25701  itg2monolem1  25727  itg2i1fseqle  25731  itg2i1fseq  25732  itg2i1fseq2  25733  itg2addlem  25735  plyeq0lem  26185  vieta1lem2  26288  elqaalem1  26296  elqaalem3  26298  aaliou3lem4  26323  aaliou3lem7  26326  dvtaylp  26347  taylthlem2  26351  taylthlem2OLD  26352  pserdvlem2  26406  pserdv2  26408  abelthlem6  26414  abelthlem9  26418  logtayl  26637  logtaylsum  26638  logtayl2  26639  atantayl  26914  leibpilem2  26918  leibpi  26919  birthdaylem2  26929  dfef2  26948  divsqrtsumlem  26957  emcllem2  26974  emcllem4  26976  emcllem5  26977  emcllem6  26978  emcllem7  26979  harmonicbnd4  26988  fsumharmonic  26989  zetacvg  26992  lgamgulmlem4  27009  lgamgulmlem6  27011  lgamgulm2  27013  lgamcvglem  27017  lgamcvg2  27032  gamcvg  27033  gamcvg2lem  27036  regamcl  27038  relgamcl  27039  lgam1  27041  wilthlem3  27047  ftalem2  27051  ftalem4  27053  ftalem5  27054  basellem5  27062  basellem6  27063  basellem7  27064  basellem8  27065  basellem9  27066  ppiprm  27128  ppinprm  27129  chtprm  27130  chtnprm  27131  chpp1  27132  vma1  27143  ppiltx  27154  fsumvma2  27191  chpchtsum  27196  logfacbnd3  27200  logexprlim  27202  bposlem5  27265  lgscllem  27281  lgsval2lem  27284  lgsval4a  27296  lgsneg  27298  lgsdir  27309  lgsdilem2  27310  lgsdi  27311  lgsne0  27312  gausslemma2dlem3  27345  lgsquadlem2  27358  chebbnd1lem1  27446  chtppilimlem1  27450  rplogsumlem1  27461  rplogsumlem2  27462  rpvmasumlem  27464  dchrisumlema  27465  dchrisumlem2  27467  dchrisumlem3  27468  dchrmusum2  27471  dchrvmasum2lem  27473  dchrvmasumiflem1  27478  dchrvmaeq0  27481  dchrisum0flblem2  27486  dchrisum0flb  27487  dchrisum0re  27490  dchrisum0lem1b  27492  dchrisum0lem1  27493  dchrisum0lem2a  27494  dchrisum0lem2  27495  dchrisum0lem3  27496  mudivsum  27507  mulogsum  27509  logdivsum  27510  mulog2sumlem2  27512  log2sumbnd  27521  selberg2lem  27527  logdivbnd  27533  pntrsumo1  27542  pntrsumbnd2  27544  pntrlog2bndlem2  27555  pntrlog2bndlem4  27557  pntrlog2bndlem6a  27559  pntlemf  27582  eedimeq  28981  axlowdimlem6  29030  axlowdimlem16  29040  axlowdimlem17  29041  ipval2  30793  minvecolem3  30962  minvecolem4b  30964  minvecolem4  30966  h2hcau  31065  h2hlm  31066  hlimadd  31279  hlim0  31321  hhsscms  31364  occllem  31389  nlelchi  32147  opsqrlem4  32229  hmopidmchi  32237  iundisjf  32674  iundisj2f  32675  ssnnssfz  32875  iundisjfi  32884  iundisj2fi  32885  cycpmco2lem7  33208  cycpmrn  33219  1smat1  33964  submat1n  33965  submatres  33966  submateqlem2  33968  lmatfval  33974  madjusmdetlem1  33987  madjusmdetlem2  33988  madjusmdetlem3  33989  madjusmdetlem4  33990  lmlim  34107  rge0scvg  34109  lmxrge0  34112  lmdvg  34113  esumfzf  34229  esumfsup  34230  esumpcvgval  34238  esumpmono  34239  esumcvg  34246  esumcvgsum  34248  esumsup  34249  fiunelros  34334  eulerpartlemsv2  34518  eulerpartlems  34520  eulerpartlemsv3  34521  eulerpartlemv  34524  eulerpartlemb  34528  fiblem  34558  fibp1  34561  rrvsum  34614  dstfrvclim1  34638  ballotlem1ri  34695  signsvfn  34742  chtvalz  34789  circlemethhgt  34803  subfacp1lem1  35377  subfacp1lem5  35382  subfacp1lem6  35383  erdszelem7  35395  cvmliftlem5  35487  cvmliftlem7  35489  cvmliftlem10  35492  cvmliftlem13  35494  sinccvg  35871  circum  35872  divcnvlin  35931  iprodgam  35940  faclimlem1  35941  faclimlem2  35942  faclim  35944  iprodfac  35945  faclim2  35946  poimirlem3  37958  poimirlem4  37959  poimirlem6  37961  poimirlem7  37962  poimirlem8  37963  poimirlem12  37967  poimirlem15  37970  poimirlem16  37971  poimirlem17  37972  poimirlem18  37973  poimirlem19  37974  poimirlem20  37975  poimirlem22  37977  poimirlem23  37978  poimirlem24  37979  poimirlem25  37980  poimirlem27  37982  poimirlem28  37983  poimirlem29  37984  poimirlem30  37985  poimirlem31  37986  mblfinlem2  37993  ovoliunnfl  37997  voliunnfl  37999  volsupnfl  38000  lmclim2  38093  geomcau  38094  heibor1lem  38144  heibor1  38145  bfplem1  38157  bfplem2  38158  rrncmslem  38167  rrncms  38168  aks4d1p1p1  42516  sticksstones10  42608  sticksstones12a  42610  fz1sump1  42756  sumcubes  42759  nna4b4nsq  43107  eldioph3b  43211  diophin  43218  diophun  43219  diophren  43259  jm3.1lem2  43464  dgraalem  43591  dgraaub  43594  dftrcl3  44165  trclfvdecomr  44173  hashnzfz2  44766  hashnzfzclim  44767  dvradcnv2  44792  binomcxplemnotnn0  44801  nnsplit  45806  rexanuz2nf  45938  clim1fr1  46049  sumnnodd  46078  limsup10exlem  46218  fprodsubrecnncnvlem  46353  fprodaddrecnncnvlem  46355  stoweidlem7  46453  stoweidlem14  46460  stoweidlem20  46466  stoweidlem34  46480  wallispilem5  46515  wallispi  46516  stirlinglem1  46520  stirlinglem5  46524  stirlinglem7  46526  stirlinglem8  46527  stirlinglem10  46529  stirlinglem11  46530  stirlinglem12  46531  stirlinglem13  46532  stirlinglem14  46533  stirlinglem15  46534  stirlingr  46536  dirkertrigeqlem2  46545  dirkertrigeqlem3  46546  fourierdlem11  46564  fourierdlem31  46584  fourierdlem48  46600  fourierdlem49  46601  fourierdlem69  46621  fourierdlem73  46625  fourierdlem81  46633  fourierdlem93  46645  fourierdlem103  46655  fourierdlem104  46656  fourierdlem112  46664  fouriersw  46677  sge0ad2en  46877  voliunsge0lem  46918  caragenunicl  46970  caratheodorylem2  46973  hoidmvlelem3  47043  ovolval2lem  47089  ovolval2  47090  vonioolem2  47127  vonicclem2  47130  nthrucw  47332  fmtno4prmfac  48047