Theorem nnuz 12946

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 12671	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 12673	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 12905	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2771	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  1c1 11185   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  elnnuz  12947  eluz2nn  12949  uznnssnn  12960  nnwo  12978  eluznn  12983  nninf  12994  fzssnn  13628  fseq1p1m1  13658  prednn  13708  elfzo1  13766  ltwenn  14013  nnnfi  14017  ser1const  14109  expp1  14119  digit1  14286  facnn  14324  fac0  14325  facp1  14327  faclbnd4lem1  14342  bcm1k  14364  bcval5  14367  bcpasc  14370  fz1isolem  14510  seqcoll  14513  seqcoll2  14514  climuni  15598  isercolllem2  15714  isercoll  15716  sumeq2ii  15741  summolem3  15762  summolem2a  15763  fsum  15768  sum0  15769  sumz  15770  fsumcl2lem  15779  fsumadd  15788  fsummulc2  15832  fsumrelem  15855  isumnn0nn  15890  climcndslem1  15897  climcndslem2  15898  climcnds  15899  divcnv  15901  divcnvshft  15903  supcvg  15904  trireciplem  15910  trirecip  15911  expcnv  15912  geo2lim  15923  geoisum1  15927  geoisum1c  15928  mertenslem2  15933  prodeq2ii  15959  prodmolem3  15981  prodmolem2a  15982  fprod  15989  prod0  15991  prod1  15992  fprodss  15996  fprodser  15997  fprodcl2lem  15998  fprodmul  16008  fproddiv  16009  fprodn0  16027  fallfacval4  16091  bpoly4  16107  ege2le3  16138  rpnnen2lem3  16264  rpnnen2lem5  16266  rpnnen2lem8  16269  rpnnen2lem12  16273  ruclem6  16283  pwp1fsum  16439  bezoutlem2  16587  bezoutlem3  16588  lcmcllem  16643  lcmledvds  16646  lcmfval  16668  lcmfcllem  16672  lcmfledvds  16679  isprm3  16730  phicl2  16815  phibndlem  16817  eulerthlem2  16829  odzcllem  16839  odzdvds  16842  iserodd  16882  pcmptcl  16938  pcmpt  16939  pockthlem  16952  pockthg  16953  unbenlem  16955  prmreclem3  16965  prmreclem5  16967  prmreclem6  16968  prmrec  16969  1arith  16974  4sqlem13  17004  4sqlem14  17005  4sqlem17  17008  4sqlem18  17009  vdwlem1  17028  vdwlem2  17029  vdwlem3  17030  vdwlem6  17033  vdwlem8  17035  vdwlem10  17037  vdw  17041  vdwnnlem3  17044  prmlem1a  17154  mulgnnp1  19122  mulgnnsubcl  19126  mulgnn0z  19141  mulgnndir  19143  mulgpropd  19156  odfval  19574  odlem1  19577  odlem2  19581  gexlem1  19621  gexlem2  19624  gexcl3  19629  sylow1lem1  19640  efgsdmi  19774  efgsrel  19776  efgs1b  19778  efgsp1  19779  mulgnn0di  19867  lt6abl  19937  gsumval3eu  19946  gsumval3  19949  gsumzcl2  19952  gsumzaddlem  19963  gsumconst  19976  gsumzmhm  19979  gsumzoppg  19986  zringlpirlem2  21497  zringlpirlem3  21498  lmcnp  23333  lmmo  23409  1stcelcls  23490  1stccnp  23491  1stckgenlem  23582  1stckgen  23583  imasdsf1olem  24404  cphipval  25296  lmnn  25316  cmetcaulem  25341  iscmet2  25347  causs  25351  nglmle  25355  caubl  25361  iscmet3i  25365  bcthlem5  25381  ovolsf  25526  ovollb2lem  25542  ovolctb  25544  ovolunlem1a  25550  ovolunlem1  25551  ovoliunlem1  25556  ovoliun  25559  ovoliun2  25560  ovoliunnul  25561  ovolscalem1  25567  ovolicc1  25570  ovolicc2lem2  25572  ovolicc2lem3  25573  ovolicc2lem4  25574  iundisj  25602  iundisj2  25603  voliunlem1  25604  voliunlem2  25605  voliunlem3  25606  volsup  25610  ioombl1lem4  25615  uniioovol  25633  uniioombllem2  25637  uniioombllem3  25639  uniioombllem4  25640  uniioombllem6  25642  vitalilem4  25665  vitalilem5  25666  itg1climres  25769  mbfi1fseqlem6  25775  mbfi1flimlem  25777  mbfmullem2  25779  itg2monolem1  25805  itg2i1fseqle  25809  itg2i1fseq  25810  itg2i1fseq2  25811  itg2addlem  25813  plyeq0lem  26269  vieta1lem2  26371  elqaalem1  26379  elqaalem3  26381  aaliou3lem4  26406  aaliou3lem7  26409  dvtaylp  26430  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  pserdvlem2  26490  pserdv2  26492  abelthlem6  26498  abelthlem9  26502  logtayl  26720  logtaylsum  26721  logtayl2  26722  atantayl  26998  leibpilem2  27002  leibpi  27003  birthdaylem2  27013  dfef2  27032  divsqrtsumlem  27041  emcllem2  27058  emcllem4  27060  emcllem5  27061  emcllem6  27062  emcllem7  27063  harmonicbnd4  27072  fsumharmonic  27073  zetacvg  27076  lgamgulmlem4  27093  lgamgulmlem6  27095  lgamgulm2  27097  lgamcvglem  27101  lgamcvg2  27116  gamcvg  27117  gamcvg2lem  27120  regamcl  27122  relgamcl  27123  lgam1  27125  wilthlem3  27131  ftalem2  27135  ftalem4  27137  ftalem5  27138  basellem5  27146  basellem6  27147  basellem7  27148  basellem8  27149  basellem9  27150  ppiprm  27212  ppinprm  27213  chtprm  27214  chtnprm  27215  chpp1  27216  vma1  27227  ppiltx  27238  fsumvma2  27276  chpchtsum  27281  logfacbnd3  27285  logexprlim  27287  bposlem5  27350  lgscllem  27366  lgsval2lem  27369  lgsval4a  27381  lgsneg  27383  lgsdir  27394  lgsdilem2  27395  lgsdi  27396  lgsne0  27397  gausslemma2dlem3  27430  lgsquadlem2  27443  chebbnd1lem1  27531  chtppilimlem1  27535  rplogsumlem1  27546  rplogsumlem2  27547  rpvmasumlem  27549  dchrisumlema  27550  dchrisumlem2  27552  dchrisumlem3  27553  dchrmusum2  27556  dchrvmasum2lem  27558  dchrvmasumiflem1  27563  dchrvmaeq0  27566  dchrisum0flblem2  27571  dchrisum0flb  27572  dchrisum0re  27575  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem2a  27579  dchrisum0lem2  27580  dchrisum0lem3  27581  mudivsum  27592  mulogsum  27594  logdivsum  27595  mulog2sumlem2  27597  log2sumbnd  27606  selberg2lem  27612  logdivbnd  27618  pntrsumo1  27627  pntrsumbnd2  27629  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem6a  27644  pntlemf  27667  eedimeq  28931  axlowdimlem6  28980  axlowdimlem16  28990  axlowdimlem17  28991  ipval2  30739  minvecolem3  30908  minvecolem4b  30910  minvecolem4  30912  h2hcau  31011  h2hlm  31012  hlimadd  31225  hlim0  31267  hhsscms  31310  occllem  31335  nlelchi  32093  opsqrlem4  32175  hmopidmchi  32183  iundisjf  32611  iundisj2f  32612  ssnnssfz  32792  iundisjfi  32801  iundisj2fi  32802  chnub  32984  cycpmco2lem7  33125  cycpmrn  33136  1smat1  33750  submat1n  33751  submatres  33752  submateqlem2  33754  lmatfval  33760  madjusmdetlem1  33773  madjusmdetlem2  33774  madjusmdetlem3  33775  madjusmdetlem4  33776  lmlim  33893  rge0scvg  33895  lmxrge0  33898  lmdvg  33899  esumfzf  34033  esumfsup  34034  esumpcvgval  34042  esumpmono  34043  esumcvg  34050  esumcvgsum  34052  esumsup  34053  fiunelros  34138  eulerpartlemsv2  34323  eulerpartlems  34325  eulerpartlemsv3  34326  eulerpartlemv  34329  eulerpartlemb  34333  fiblem  34363  fibp1  34366  rrvsum  34419  dstfrvclim1  34442  ballotlem1ri  34499  signsvfn  34559  chtvalz  34606  circlemethhgt  34620  subfacp1lem1  35147  subfacp1lem5  35152  subfacp1lem6  35153  erdszelem7  35165  cvmliftlem5  35257  cvmliftlem7  35259  cvmliftlem10  35262  cvmliftlem13  35264  sinccvg  35641  circum  35642  divcnvlin  35695  iprodgam  35704  faclimlem1  35705  faclimlem2  35706  faclim  35708  iprodfac  35709  faclim2  35710  poimirlem3  37583  poimirlem4  37584  poimirlem6  37586  poimirlem7  37587  poimirlem8  37588  poimirlem12  37592  poimirlem15  37595  poimirlem16  37596  poimirlem17  37597  poimirlem18  37598  poimirlem19  37599  poimirlem20  37600  poimirlem22  37602  poimirlem23  37603  poimirlem24  37604  poimirlem25  37605  poimirlem27  37607  poimirlem28  37608  poimirlem29  37609  poimirlem30  37610  poimirlem31  37611  mblfinlem2  37618  ovoliunnfl  37622  voliunnfl  37624  volsupnfl  37625  lmclim2  37718  geomcau  37719  heibor1lem  37769  heibor1  37770  bfplem1  37782  bfplem2  37783  rrncmslem  37792  rrncms  37793  aks4d1p1p1  42020  sticksstones10  42112  sticksstones12a  42114  metakunt20  42181  fz1sump1  42298  sumcubes  42301  nna4b4nsq  42615  eldioph3b  42721  diophin  42728  diophun  42729  diophren  42769  jm3.1lem2  42975  dgraalem  43102  dgraaub  43105  dftrcl3  43682  trclfvdecomr  43690  hashnzfz2  44290  hashnzfzclim  44291  dvradcnv2  44316  binomcxplemnotnn0  44325  nnsplit  45273  rexanuz2nf  45408  clim1fr1  45522  sumnnodd  45551  limsup10exlem  45693  fprodsubrecnncnvlem  45828  fprodaddrecnncnvlem  45830  stoweidlem7  45928  stoweidlem14  45935  stoweidlem20  45941  stoweidlem34  45955  wallispilem5  45990  wallispi  45991  stirlinglem1  45995  stirlinglem5  45999  stirlinglem7  46001  stirlinglem8  46002  stirlinglem10  46004  stirlinglem11  46005  stirlinglem12  46006  stirlinglem13  46007  stirlinglem14  46008  stirlinglem15  46009  stirlingr  46011  dirkertrigeqlem2  46020  dirkertrigeqlem3  46021  fourierdlem11  46039  fourierdlem31  46059  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem69  46096  fourierdlem73  46100  fourierdlem81  46108  fourierdlem93  46120  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem112  46139  fouriersw  46152  sge0ad2en  46352  voliunsge0lem  46393  caragenunicl  46445  caratheodorylem2  46448  hoidmvlelem3  46518  ovolval2lem  46564  ovolval2  46565  vonioolem2  46602  vonicclem2  46605  fmtno4prmfac  47446