Theorem nnuz 12843

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 12568	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 12570	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 12802	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2756	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  1c1 11076   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-z 12537  df-uz 12801

This theorem is referenced by:  elnnuz  12844  eluz2nn  12854  uznnssnn  12861  nnwo  12879  eluznn  12884  nninf  12895  fzssnn  13536  fseq1p1m1  13566  prednn  13619  elfzo1  13680  ltwenn  13934  nnnfi  13938  ser1const  14030  expp1  14040  digit1  14209  facnn  14247  fac0  14248  facp1  14250  faclbnd4lem1  14265  bcm1k  14287  bcval5  14290  bcpasc  14293  fz1isolem  14433  seqcoll  14436  seqcoll2  14437  climuni  15525  isercolllem2  15639  isercoll  15641  sumeq2ii  15666  summolem3  15687  summolem2a  15688  fsum  15693  sum0  15694  sumz  15695  fsumcl2lem  15704  fsumadd  15713  fsummulc2  15757  fsumrelem  15780  isumnn0nn  15815  climcndslem1  15822  climcndslem2  15823  climcnds  15824  divcnv  15826  divcnvshft  15828  supcvg  15829  trireciplem  15835  trirecip  15836  expcnv  15837  geo2lim  15848  geoisum1  15852  geoisum1c  15853  mertenslem2  15858  prodeq2ii  15884  prodmolem3  15906  prodmolem2a  15907  fprod  15914  prod0  15916  prod1  15917  fprodss  15921  fprodser  15922  fprodcl2lem  15923  fprodmul  15933  fproddiv  15934  fprodn0  15952  fallfacval4  16016  bpoly4  16032  ege2le3  16063  rpnnen2lem3  16191  rpnnen2lem5  16193  rpnnen2lem8  16196  rpnnen2lem12  16200  ruclem6  16210  pwp1fsum  16368  bezoutlem2  16517  bezoutlem3  16518  lcmcllem  16573  lcmledvds  16576  lcmfval  16598  lcmfcllem  16602  lcmfledvds  16609  isprm3  16660  phicl2  16745  phibndlem  16747  eulerthlem2  16759  odzcllem  16770  odzdvds  16773  iserodd  16813  pcmptcl  16869  pcmpt  16870  pockthlem  16883  pockthg  16884  unbenlem  16886  prmreclem3  16896  prmreclem5  16898  prmreclem6  16899  prmrec  16900  1arith  16905  4sqlem13  16935  4sqlem14  16936  4sqlem17  16939  4sqlem18  16940  vdwlem1  16959  vdwlem2  16960  vdwlem3  16961  vdwlem6  16964  vdwlem8  16966  vdwlem10  16968  vdw  16972  vdwnnlem3  16975  prmlem1a  17084  mulgnnp1  19021  mulgnnsubcl  19025  mulgnn0z  19040  mulgnndir  19042  mulgpropd  19055  odfval  19469  odlem1  19472  odlem2  19476  gexlem1  19516  gexlem2  19519  gexcl3  19524  sylow1lem1  19535  efgsdmi  19669  efgsrel  19671  efgs1b  19673  efgsp1  19674  mulgnn0di  19762  lt6abl  19832  gsumval3eu  19841  gsumval3  19844  gsumzcl2  19847  gsumzaddlem  19858  gsumconst  19871  gsumzmhm  19874  gsumzoppg  19881  zringlpirlem2  21380  zringlpirlem3  21381  lmcnp  23198  lmmo  23274  1stcelcls  23355  1stccnp  23356  1stckgenlem  23447  1stckgen  23448  imasdsf1olem  24268  cphipval  25150  lmnn  25170  cmetcaulem  25195  iscmet2  25201  causs  25205  nglmle  25209  caubl  25215  iscmet3i  25219  bcthlem5  25235  ovolsf  25380  ovollb2lem  25396  ovolctb  25398  ovolunlem1a  25404  ovolunlem1  25405  ovoliunlem1  25410  ovoliun  25413  ovoliun2  25414  ovoliunnul  25415  ovolscalem1  25421  ovolicc1  25424  ovolicc2lem2  25426  ovolicc2lem3  25427  ovolicc2lem4  25428  iundisj  25456  iundisj2  25457  voliunlem1  25458  voliunlem2  25459  voliunlem3  25460  volsup  25464  ioombl1lem4  25469  uniioovol  25487  uniioombllem2  25491  uniioombllem3  25493  uniioombllem4  25494  uniioombllem6  25496  vitalilem4  25519  vitalilem5  25520  itg1climres  25622  mbfi1fseqlem6  25628  mbfi1flimlem  25630  mbfmullem2  25632  itg2monolem1  25658  itg2i1fseqle  25662  itg2i1fseq  25663  itg2i1fseq2  25664  itg2addlem  25666  plyeq0lem  26122  vieta1lem2  26226  elqaalem1  26234  elqaalem3  26236  aaliou3lem4  26261  aaliou3lem7  26264  dvtaylp  26285  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  pserdvlem2  26345  pserdv2  26347  abelthlem6  26353  abelthlem9  26357  logtayl  26576  logtaylsum  26577  logtayl2  26578  atantayl  26854  leibpilem2  26858  leibpi  26859  birthdaylem2  26869  dfef2  26888  divsqrtsumlem  26897  emcllem2  26914  emcllem4  26916  emcllem5  26917  emcllem6  26918  emcllem7  26919  harmonicbnd4  26928  fsumharmonic  26929  zetacvg  26932  lgamgulmlem4  26949  lgamgulmlem6  26951  lgamgulm2  26953  lgamcvglem  26957  lgamcvg2  26972  gamcvg  26973  gamcvg2lem  26976  regamcl  26978  relgamcl  26979  lgam1  26981  wilthlem3  26987  ftalem2  26991  ftalem4  26993  ftalem5  26994  basellem5  27002  basellem6  27003  basellem7  27004  basellem8  27005  basellem9  27006  ppiprm  27068  ppinprm  27069  chtprm  27070  chtnprm  27071  chpp1  27072  vma1  27083  ppiltx  27094  fsumvma2  27132  chpchtsum  27137  logfacbnd3  27141  logexprlim  27143  bposlem5  27206  lgscllem  27222  lgsval2lem  27225  lgsval4a  27237  lgsneg  27239  lgsdir  27250  lgsdilem2  27251  lgsdi  27252  lgsne0  27253  gausslemma2dlem3  27286  lgsquadlem2  27299  chebbnd1lem1  27387  chtppilimlem1  27391  rplogsumlem1  27402  rplogsumlem2  27403  rpvmasumlem  27405  dchrisumlema  27406  dchrisumlem2  27408  dchrisumlem3  27409  dchrmusum2  27412  dchrvmasum2lem  27414  dchrvmasumiflem1  27419  dchrvmaeq0  27422  dchrisum0flblem2  27427  dchrisum0flb  27428  dchrisum0re  27431  dchrisum0lem1b  27433  dchrisum0lem1  27434  dchrisum0lem2a  27435  dchrisum0lem2  27436  dchrisum0lem3  27437  mudivsum  27448  mulogsum  27450  logdivsum  27451  mulog2sumlem2  27453  log2sumbnd  27462  selberg2lem  27468  logdivbnd  27474  pntrsumo1  27483  pntrsumbnd2  27485  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem6a  27500  pntlemf  27523  eedimeq  28832  axlowdimlem6  28881  axlowdimlem16  28891  axlowdimlem17  28892  ipval2  30643  minvecolem3  30812  minvecolem4b  30814  minvecolem4  30816  h2hcau  30915  h2hlm  30916  hlimadd  31129  hlim0  31171  hhsscms  31214  occllem  31239  nlelchi  31997  opsqrlem4  32079  hmopidmchi  32087  iundisjf  32525  iundisj2f  32526  ssnnssfz  32717  iundisjfi  32726  iundisj2fi  32727  chnub  32945  cycpmco2lem7  33096  cycpmrn  33107  1smat1  33801  submat1n  33802  submatres  33803  submateqlem2  33805  lmatfval  33811  madjusmdetlem1  33824  madjusmdetlem2  33825  madjusmdetlem3  33826  madjusmdetlem4  33827  lmlim  33944  rge0scvg  33946  lmxrge0  33949  lmdvg  33950  esumfzf  34066  esumfsup  34067  esumpcvgval  34075  esumpmono  34076  esumcvg  34083  esumcvgsum  34085  esumsup  34086  fiunelros  34171  eulerpartlemsv2  34356  eulerpartlems  34358  eulerpartlemsv3  34359  eulerpartlemv  34362  eulerpartlemb  34366  fiblem  34396  fibp1  34399  rrvsum  34452  dstfrvclim1  34476  ballotlem1ri  34533  signsvfn  34580  chtvalz  34627  circlemethhgt  34641  subfacp1lem1  35173  subfacp1lem5  35178  subfacp1lem6  35179  erdszelem7  35191  cvmliftlem5  35283  cvmliftlem7  35285  cvmliftlem10  35288  cvmliftlem13  35290  sinccvg  35667  circum  35668  divcnvlin  35727  iprodgam  35736  faclimlem1  35737  faclimlem2  35738  faclim  35740  iprodfac  35741  faclim2  35742  poimirlem3  37624  poimirlem4  37625  poimirlem6  37627  poimirlem7  37628  poimirlem8  37629  poimirlem12  37633  poimirlem15  37636  poimirlem16  37637  poimirlem17  37638  poimirlem18  37639  poimirlem19  37640  poimirlem20  37641  poimirlem22  37643  poimirlem23  37644  poimirlem24  37645  poimirlem25  37646  poimirlem27  37648  poimirlem28  37649  poimirlem29  37650  poimirlem30  37651  poimirlem31  37652  mblfinlem2  37659  ovoliunnfl  37663  voliunnfl  37665  volsupnfl  37666  lmclim2  37759  geomcau  37760  heibor1lem  37810  heibor1  37811  bfplem1  37823  bfplem2  37824  rrncmslem  37833  rrncms  37834  aks4d1p1p1  42058  sticksstones10  42150  sticksstones12a  42152  fz1sump1  42305  sumcubes  42308  nna4b4nsq  42655  eldioph3b  42760  diophin  42767  diophun  42768  diophren  42808  jm3.1lem2  43014  dgraalem  43141  dgraaub  43144  dftrcl3  43716  trclfvdecomr  43724  hashnzfz2  44317  hashnzfzclim  44318  dvradcnv2  44343  binomcxplemnotnn0  44352  nnsplit  45361  rexanuz2nf  45495  clim1fr1  45606  sumnnodd  45635  limsup10exlem  45777  fprodsubrecnncnvlem  45912  fprodaddrecnncnvlem  45914  stoweidlem7  46012  stoweidlem14  46019  stoweidlem20  46025  stoweidlem34  46039  wallispilem5  46074  wallispi  46075  stirlinglem1  46079  stirlinglem5  46083  stirlinglem7  46085  stirlinglem8  46086  stirlinglem10  46088  stirlinglem11  46089  stirlinglem12  46090  stirlinglem13  46091  stirlinglem14  46092  stirlinglem15  46093  stirlingr  46095  dirkertrigeqlem2  46104  dirkertrigeqlem3  46105  fourierdlem11  46123  fourierdlem31  46143  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem69  46180  fourierdlem73  46184  fourierdlem81  46192  fourierdlem93  46204  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  fourierdlem112  46223  fouriersw  46236  sge0ad2en  46436  voliunsge0lem  46477  caragenunicl  46529  caratheodorylem2  46532  hoidmvlelem3  46602  ovolval2lem  46648  ovolval2  46649  vonioolem2  46686  vonicclem2  46689  fmtno4prmfac  47577