Theorem nnuz 12902

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 12623	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 12625	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 12865	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2789	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  1c1 11102   ≤ cle 11245  ℕcn 12234  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-z 12593  df-uz 12864

This theorem is referenced by:  elnnuz  12903  eluz2nn  12913  uznnssnn  12920  nnwo  12938  eluznn  12943  nninf  12954  fzssnn  13598  fseq1p1m1  13628  prednn  13681  elfzo1  13743  ltwenn  14000  nnnfi  14004  ser1const  14096  expp1  14106  digit1  14275  facnn  14313  fac0  14314  facp1  14316  faclbnd4lem1  14331  bcm1k  14353  bcval5  14356  bcpasc  14359  fz1isolem  14500  seqcoll  14503  seqcoll2  14504  climuni  15605  isercolllem2  15719  isercoll  15721  sumeq2ii  15746  summolem3  15767  summolem2a  15768  fsum  15773  sum0  15774  sumz  15775  fsumcl2lem  15784  fsumadd  15793  fsummulc2  15837  fsumrelem  15861  isumnn0nn  15898  climcndslem1  15905  climcndslem2  15906  climcnds  15907  divcnv  15909  divcnvshft  15911  supcvg  15912  trireciplem  15918  trirecip  15919  expcnv  15920  geo2lim  15931  geoisum1  15935  geoisum1c  15936  mertenslem2  15941  prodeq2ii  15967  prodmolem3  15989  prodmolem2a  15990  fprod  15997  prod0  15999  prod1  16000  fprodss  16004  fprodser  16005  fprodcl2lem  16006  fprodmul  16016  fproddiv  16017  fprodn0  16035  fallfacval4  16098  bpoly4  16114  ege2le3  16145  rpnnen2lem3  16273  rpnnen2lem5  16275  rpnnen2lem8  16278  rpnnen2lem12  16282  ruclem6  16292  pwp1fsum  16450  bezoutlem2  16599  bezoutlem3  16600  lcmcllem  16655  lcmledvds  16658  lcmfval  16680  lcmfcllem  16684  lcmfledvds  16691  isprm3  16742  phicl2  16828  phibndlem  16830  eulerthlem2  16842  odzcllem  16853  odzdvds  16856  iserodd  16896  pcmptcl  16952  pcmpt  16953  pockthlem  16966  pockthg  16967  unbenlem  16969  prmreclem3  16979  prmreclem5  16981  prmreclem6  16982  prmrec  16983  1arith  16988  4sqlem13  17018  4sqlem14  17019  4sqlem17  17022  4sqlem18  17023  vdwlem1  17042  vdwlem2  17043  vdwlem3  17044  vdwlem6  17047  vdwlem8  17049  vdwlem10  17051  vdw  17055  vdwnnlem3  17058  prmlem1a  17167  chnub  18679  mulgnnp1  19149  mulgnnsubcl  19153  mulgnn0z  19168  mulgnndir  19170  mulgpropd  19183  odfval  19603  odlem1  19606  odlem2  19610  gexlem1  19650  gexlem2  19653  gexcl3  19658  sylow1lem1  19669  efgsdmi  19803  efgsrel  19805  efgs1b  19807  efgsp1  19808  mulgnn0di  19896  lt6abl  19966  gsumval3eu  19975  gsumval3  19978  gsumzcl2  19981  gsumzaddlem  19992  gsumconst  20005  gsumzmhm  20008  gsumzoppg  20015  zringlpirlem2  21594  zringlpirlem3  21595  lmcnp  23442  lmmo  23518  1stcelcls  23599  1stccnp  23600  1stckgenlem  23691  1stckgen  23692  imasdsf1olem  24511  cphipval  25383  lmnn  25403  cmetcaulem  25428  iscmet2  25434  causs  25438  nglmle  25442  caubl  25448  iscmet3i  25452  bcthlem5  25468  ovolsf  25612  ovollb2lem  25628  ovolctb  25630  ovolunlem1a  25636  ovolunlem1  25637  ovoliunlem1  25642  ovoliun  25645  ovoliun2  25646  ovoliunnul  25647  ovolscalem1  25653  ovolicc1  25656  ovolicc2lem2  25658  ovolicc2lem3  25659  ovolicc2lem4  25660  iundisj  25688  iundisj2  25689  voliunlem1  25690  voliunlem2  25691  voliunlem3  25692  volsup  25696  ioombl1lem4  25701  uniioovol  25719  uniioombllem2  25723  uniioombllem3  25725  uniioombllem4  25726  uniioombllem6  25728  vitalilem4  25751  vitalilem5  25752  itg1climres  25854  mbfi1fseqlem6  25860  mbfi1flimlem  25862  mbfmullem2  25864  itg2monolem1  25890  itg2i1fseqle  25894  itg2i1fseq  25895  itg2i1fseq2  25896  itg2addlem  25898  plyeq0lem  26348  vieta1lem2  26453  elqaalem1  26461  elqaalem3  26463  aaliou3lem4  26490  aaliou3lem7  26493  dvtaylp  26514  taylthlem2  26518  pserdvlem2  26572  pserdv2  26574  abelthlem6  26580  abelthlem9  26584  logtayl  26806  logtaylsum  26807  logtayl2  26808  atantayl  27083  leibpilem2  27087  leibpi  27088  birthdaylem2  27098  dfef2  27116  divsqrtsumlem  27125  emcllem2  27142  emcllem4  27144  emcllem5  27145  emcllem6  27146  emcllem7  27147  harmonicbnd4  27156  fsumharmonic  27157  zetacvg  27160  lgamgulmlem4  27177  lgamgulmlem6  27179  lgamgulm2  27181  lgamcvglem  27185  lgamcvg2  27200  gamcvg  27201  gamcvg2lem  27204  regamcl  27206  relgamcl  27207  lgam1  27209  wilthlem3  27215  ftalem2  27219  ftalem4  27221  ftalem5  27222  basellem5  27230  basellem6  27231  basellem7  27232  basellem8  27233  basellem9  27234  ppiprm  27296  ppinprm  27297  chtprm  27298  chtnprm  27299  chpp1  27300  vma1  27311  ppiltx  27322  fsumvma2  27359  chpchtsum  27364  logfacbnd3  27368  logexprlim  27370  bposlem5  27433  lgscllem  27449  lgsval2lem  27452  lgsval4a  27464  lgsneg  27466  lgsdir  27477  lgsdilem2  27478  lgsdi  27479  lgsne0  27480  gausslemma2dlem3  27513  lgsquadlem2  27526  chebbnd1lem1  27614  chtppilimlem1  27618  rplogsumlem1  27629  rplogsumlem2  27630  rpvmasumlem  27632  dchrisumlema  27633  dchrisumlem2  27635  dchrisumlem3  27636  dchrmusum2  27639  dchrvmasum2lem  27641  dchrvmasumiflem1  27646  dchrvmaeq0  27649  dchrisum0flblem2  27654  dchrisum0flb  27655  dchrisum0re  27658  dchrisum0lem1b  27660  dchrisum0lem1  27661  dchrisum0lem2a  27662  dchrisum0lem2  27663  dchrisum0lem3  27664  mudivsum  27675  mulogsum  27677  logdivsum  27678  mulog2sumlem2  27680  log2sumbnd  27689  selberg2lem  27695  logdivbnd  27701  pntrsumo1  27710  pntrsumbnd2  27712  pntrlog2bndlem2  27723  pntrlog2bndlem4  27725  pntrlog2bndlem6a  27727  pntlemf  27750  eedimeq  29229  axlowdimlem6  29278  axlowdimlem16  29288  axlowdimlem17  29289  ipval2  31040  minvecolem3  31209  minvecolem4b  31211  minvecolem4  31213  h2hcau  31312  h2hlm  31313  hlimadd  31526  hlim0  31568  hhsscms  31611  occllem  31636  nlelchi  32394  opsqrlem4  32476  hmopidmchi  32484  iundisjf  32915  iundisj2f  32916  ssnnssfz  33113  iundisjfi  33122  iundisj2fi  33123  cycpmco2lem7  33433  cycpmrn  33444  1smat1  34175  submat1n  34176  submatres  34177  submateqlem2  34179  lmatfval  34185  madjusmdetlem1  34198  madjusmdetlem2  34199  madjusmdetlem3  34200  madjusmdetlem4  34201  lmlim  34318  rge0scvg  34320  lmxrge0  34323  lmdvg  34324  esumfzf  34440  esumfsup  34441  esumpcvgval  34449  esumpmono  34450  esumcvg  34457  esumcvgsum  34459  esumsup  34460  fiunelros  34545  eulerpartlemsv2  34729  eulerpartlems  34731  eulerpartlemsv3  34732  eulerpartlemv  34735  eulerpartlemb  34739  fiblem  34769  fibp1  34772  rrvsum  34825  dstfrvclim1  34849  ballotlem1ri  34906  signsvfn  34950  chtvalz  34997  circlemethhgt  35011  subfacp1lem1  35652  subfacp1lem5  35657  subfacp1lem6  35658  erdszelem7  35670  cvmliftlem5  35762  cvmliftlem7  35764  cvmliftlem10  35767  cvmliftlem13  35769  sinccvg  36146  circum  36147  divcnvlin  36206  iprodgam  36215  faclimlem1  36216  faclimlem2  36217  faclim  36219  iprodfac  36220  faclim2  36221  poimirlem3  38255  poimirlem4  38256  poimirlem6  38258  poimirlem7  38259  poimirlem8  38260  poimirlem12  38264  poimirlem15  38267  poimirlem16  38268  poimirlem17  38269  poimirlem18  38270  poimirlem19  38271  poimirlem20  38272  poimirlem22  38274  poimirlem23  38275  poimirlem24  38276  poimirlem25  38277  poimirlem27  38279  poimirlem28  38280  poimirlem29  38281  poimirlem30  38282  poimirlem31  38283  mblfinlem2  38290  ovoliunnfl  38294  voliunnfl  38296  volsupnfl  38297  lmclim2  38390  geomcau  38391  heibor1lem  38441  heibor1  38442  bfplem1  38454  bfplem2  38455  rrncmslem  38464  rrncms  38465  aks4d1p1p1  42811  sticksstones10  42903  sticksstones12a  42905  fz1sump1  43052  sumcubes  43055  nna4b4nsq  43375  eldioph3b  43479  diophin  43486  diophun  43487  diophren  43523  jm3.1lem2  43728  dgraalem  43855  dgraaub  43858  dftrcl3  44429  trclfvdecomr  44437  hashnzfz2  45014  hashnzfzclim  45015  dvradcnv2  45040  binomcxplemnotnn0  45049  nnsplit  46057  rexanuz2nf  46189  clim1fr1  46300  sumnnodd  46329  limsup10exlem  46469  fprodsubrecnncnvlem  46604  fprodaddrecnncnvlem  46606  stoweidlem7  46704  stoweidlem14  46711  stoweidlem20  46717  stoweidlem34  46731  wallispilem5  46766  wallispi  46767  stirlinglem1  46771  stirlinglem5  46775  stirlinglem7  46777  stirlinglem8  46778  stirlinglem10  46780  stirlinglem11  46781  stirlinglem12  46782  stirlinglem13  46783  stirlinglem14  46784  stirlinglem15  46785  stirlingr  46787  dirkertrigeqlem2  46796  dirkertrigeqlem3  46797  fourierdlem11  46815  fourierdlem31  46835  fourierdlem48  46851  fourierdlem49  46852  fourierdlem69  46872  fourierdlem73  46876  fourierdlem81  46884  fourierdlem93  46896  fourierdlem103  46906  fourierdlem104  46907  fourierdlem112  46915  fouriersw  46928  sge0ad2en  47128  voliunsge0lem  47169  caragenunicl  47221  caratheodorylem2  47224  hoidmvlelem3  47294  ovolval2lem  47340  ovolval2  47341  vonioolem2  47378  vonicclem2  47381  fmtno4prmfac  48307