Theorem nnuz 12827

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 12555	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 12557	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 12790	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2762	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  1c1 11039   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-z 12525  df-uz 12789

This theorem is referenced by:  elnnuz  12828  eluz2nn  12838  uznnssnn  12845  nnwo  12863  eluznn  12868  nninf  12879  fzssnn  13522  fseq1p1m1  13552  prednn  13605  elfzo1  13667  ltwenn  13924  nnnfi  13928  ser1const  14020  expp1  14030  digit1  14199  facnn  14237  fac0  14238  facp1  14240  faclbnd4lem1  14255  bcm1k  14277  bcval5  14280  bcpasc  14283  fz1isolem  14423  seqcoll  14426  seqcoll2  14427  climuni  15514  isercolllem2  15628  isercoll  15630  sumeq2ii  15655  summolem3  15676  summolem2a  15677  fsum  15682  sum0  15683  sumz  15684  fsumcl2lem  15693  fsumadd  15702  fsummulc2  15746  fsumrelem  15770  isumnn0nn  15807  climcndslem1  15814  climcndslem2  15815  climcnds  15816  divcnv  15818  divcnvshft  15820  supcvg  15821  trireciplem  15827  trirecip  15828  expcnv  15829  geo2lim  15840  geoisum1  15844  geoisum1c  15845  mertenslem2  15850  prodeq2ii  15876  prodmolem3  15898  prodmolem2a  15899  fprod  15906  prod0  15908  prod1  15909  fprodss  15913  fprodser  15914  fprodcl2lem  15915  fprodmul  15925  fproddiv  15926  fprodn0  15944  fallfacval4  16008  bpoly4  16024  ege2le3  16055  rpnnen2lem3  16183  rpnnen2lem5  16185  rpnnen2lem8  16188  rpnnen2lem12  16192  ruclem6  16202  pwp1fsum  16360  bezoutlem2  16509  bezoutlem3  16510  lcmcllem  16565  lcmledvds  16568  lcmfval  16590  lcmfcllem  16594  lcmfledvds  16601  isprm3  16652  phicl2  16738  phibndlem  16740  eulerthlem2  16752  odzcllem  16763  odzdvds  16766  iserodd  16806  pcmptcl  16862  pcmpt  16863  pockthlem  16876  pockthg  16877  unbenlem  16879  prmreclem3  16889  prmreclem5  16891  prmreclem6  16892  prmrec  16893  1arith  16898  4sqlem13  16928  4sqlem14  16929  4sqlem17  16932  4sqlem18  16933  vdwlem1  16952  vdwlem2  16953  vdwlem3  16954  vdwlem6  16957  vdwlem8  16959  vdwlem10  16961  vdw  16965  vdwnnlem3  16968  prmlem1a  17077  chnub  18588  mulgnnp1  19058  mulgnnsubcl  19062  mulgnn0z  19077  mulgnndir  19079  mulgpropd  19092  odfval  19507  odlem1  19510  odlem2  19514  gexlem1  19554  gexlem2  19557  gexcl3  19562  sylow1lem1  19573  efgsdmi  19707  efgsrel  19709  efgs1b  19711  efgsp1  19712  mulgnn0di  19800  lt6abl  19870  gsumval3eu  19879  gsumval3  19882  gsumzcl2  19885  gsumzaddlem  19896  gsumconst  19909  gsumzmhm  19912  gsumzoppg  19919  zringlpirlem2  21443  zringlpirlem3  21444  lmcnp  23269  lmmo  23345  1stcelcls  23426  1stccnp  23427  1stckgenlem  23518  1stckgen  23519  imasdsf1olem  24338  cphipval  25210  lmnn  25230  cmetcaulem  25255  iscmet2  25261  causs  25265  nglmle  25269  caubl  25275  iscmet3i  25279  bcthlem5  25295  ovolsf  25439  ovollb2lem  25455  ovolctb  25457  ovolunlem1a  25463  ovolunlem1  25464  ovoliunlem1  25469  ovoliun  25472  ovoliun2  25473  ovoliunnul  25474  ovolscalem1  25480  ovolicc1  25483  ovolicc2lem2  25485  ovolicc2lem3  25486  ovolicc2lem4  25487  iundisj  25515  iundisj2  25516  voliunlem1  25517  voliunlem2  25518  voliunlem3  25519  volsup  25523  ioombl1lem4  25528  uniioovol  25546  uniioombllem2  25550  uniioombllem3  25552  uniioombllem4  25553  uniioombllem6  25555  vitalilem4  25578  vitalilem5  25579  itg1climres  25681  mbfi1fseqlem6  25687  mbfi1flimlem  25689  mbfmullem2  25691  itg2monolem1  25717  itg2i1fseqle  25721  itg2i1fseq  25722  itg2i1fseq2  25723  itg2addlem  25725  plyeq0lem  26175  vieta1lem2  26277  elqaalem1  26285  elqaalem3  26287  aaliou3lem4  26312  aaliou3lem7  26315  dvtaylp  26335  taylthlem2  26339  pserdvlem2  26393  pserdv2  26395  abelthlem6  26401  abelthlem9  26405  logtayl  26624  logtaylsum  26625  logtayl2  26626  atantayl  26901  leibpilem2  26905  leibpi  26906  birthdaylem2  26916  dfef2  26934  divsqrtsumlem  26943  emcllem2  26960  emcllem4  26962  emcllem5  26963  emcllem6  26964  emcllem7  26965  harmonicbnd4  26974  fsumharmonic  26975  zetacvg  26978  lgamgulmlem4  26995  lgamgulmlem6  26997  lgamgulm2  26999  lgamcvglem  27003  lgamcvg2  27018  gamcvg  27019  gamcvg2lem  27022  regamcl  27024  relgamcl  27025  lgam1  27027  wilthlem3  27033  ftalem2  27037  ftalem4  27039  ftalem5  27040  basellem5  27048  basellem6  27049  basellem7  27050  basellem8  27051  basellem9  27052  ppiprm  27114  ppinprm  27115  chtprm  27116  chtnprm  27117  chpp1  27118  vma1  27129  ppiltx  27140  fsumvma2  27177  chpchtsum  27182  logfacbnd3  27186  logexprlim  27188  bposlem5  27251  lgscllem  27267  lgsval2lem  27270  lgsval4a  27282  lgsneg  27284  lgsdir  27295  lgsdilem2  27296  lgsdi  27297  lgsne0  27298  gausslemma2dlem3  27331  lgsquadlem2  27344  chebbnd1lem1  27432  chtppilimlem1  27436  rplogsumlem1  27447  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrisumlema  27451  dchrisumlem2  27453  dchrisumlem3  27454  dchrmusum2  27457  dchrvmasum2lem  27459  dchrvmasumiflem1  27464  dchrvmaeq0  27467  dchrisum0flblem2  27472  dchrisum0flb  27473  dchrisum0re  27476  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  dchrisum0lem3  27482  mudivsum  27493  mulogsum  27495  logdivsum  27496  mulog2sumlem2  27498  log2sumbnd  27507  selberg2lem  27513  logdivbnd  27519  pntrsumo1  27528  pntrsumbnd2  27530  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem6a  27545  pntlemf  27568  eedimeq  28967  axlowdimlem6  29016  axlowdimlem16  29026  axlowdimlem17  29027  ipval2  30778  minvecolem3  30947  minvecolem4b  30949  minvecolem4  30951  h2hcau  31050  h2hlm  31051  hlimadd  31264  hlim0  31306  hhsscms  31349  occllem  31374  nlelchi  32132  opsqrlem4  32214  hmopidmchi  32222  iundisjf  32659  iundisj2f  32660  ssnnssfz  32860  iundisjfi  32869  iundisj2fi  32870  cycpmco2lem7  33193  cycpmrn  33204  1smat1  33948  submat1n  33949  submatres  33950  submateqlem2  33952  lmatfval  33958  madjusmdetlem1  33971  madjusmdetlem2  33972  madjusmdetlem3  33973  madjusmdetlem4  33974  lmlim  34091  rge0scvg  34093  lmxrge0  34096  lmdvg  34097  esumfzf  34213  esumfsup  34214  esumpcvgval  34222  esumpmono  34223  esumcvg  34230  esumcvgsum  34232  esumsup  34233  fiunelros  34318  eulerpartlemsv2  34502  eulerpartlems  34504  eulerpartlemsv3  34505  eulerpartlemv  34508  eulerpartlemb  34512  fiblem  34542  fibp1  34545  rrvsum  34598  dstfrvclim1  34622  ballotlem1ri  34679  signsvfn  34726  chtvalz  34773  circlemethhgt  34787  subfacp1lem1  35361  subfacp1lem5  35366  subfacp1lem6  35367  erdszelem7  35379  cvmliftlem5  35471  cvmliftlem7  35473  cvmliftlem10  35476  cvmliftlem13  35478  sinccvg  35855  circum  35856  divcnvlin  35915  iprodgam  35924  faclimlem1  35925  faclimlem2  35926  faclim  35928  iprodfac  35929  faclim2  35930  poimirlem3  37944  poimirlem4  37945  poimirlem6  37947  poimirlem7  37948  poimirlem8  37949  poimirlem12  37953  poimirlem15  37956  poimirlem16  37957  poimirlem17  37958  poimirlem18  37959  poimirlem19  37960  poimirlem20  37961  poimirlem22  37963  poimirlem23  37964  poimirlem24  37965  poimirlem25  37966  poimirlem27  37968  poimirlem28  37969  poimirlem29  37970  poimirlem30  37971  poimirlem31  37972  mblfinlem2  37979  ovoliunnfl  37983  voliunnfl  37985  volsupnfl  37986  lmclim2  38079  geomcau  38080  heibor1lem  38130  heibor1  38131  bfplem1  38143  bfplem2  38144  rrncmslem  38153  rrncms  38154  aks4d1p1p1  42502  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  fz1sump1  42742  sumcubes  42745  nna4b4nsq  43093  eldioph3b  43197  diophin  43204  diophun  43205  diophren  43241  jm3.1lem2  43446  dgraalem  43573  dgraaub  43576  dftrcl3  44147  trclfvdecomr  44155  hashnzfz2  44748  hashnzfzclim  44749  dvradcnv2  44774  binomcxplemnotnn0  44783  nnsplit  45788  rexanuz2nf  45920  clim1fr1  46031  sumnnodd  46060  limsup10exlem  46200  fprodsubrecnncnvlem  46335  fprodaddrecnncnvlem  46337  stoweidlem7  46435  stoweidlem14  46442  stoweidlem20  46448  stoweidlem34  46462  wallispilem5  46497  wallispi  46498  stirlinglem1  46502  stirlinglem5  46506  stirlinglem7  46508  stirlinglem8  46509  stirlinglem10  46511  stirlinglem11  46512  stirlinglem12  46513  stirlinglem13  46514  stirlinglem14  46515  stirlinglem15  46516  stirlingr  46518  dirkertrigeqlem2  46527  dirkertrigeqlem3  46528  fourierdlem11  46546  fourierdlem31  46566  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem69  46603  fourierdlem73  46607  fourierdlem81  46615  fourierdlem93  46627  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem112  46646  fouriersw  46659  sge0ad2en  46859  voliunsge0lem  46900  caragenunicl  46952  caratheodorylem2  46955  hoidmvlelem3  47025  ovolval2lem  47071  ovolval2  47072  vonioolem2  47109  vonicclem2  47112  nthrucw  47316  fmtno4prmfac  48035