Theorem nnuz 12822

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 12550	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 12552	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 12785	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2767	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  1c1 11035   ≤ cle 11176  ℕcn 12169  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-z 12520  df-uz 12784

This theorem is referenced by:  elnnuz  12823  eluz2nn  12833  uznnssnn  12840  nnwo  12858  eluznn  12863  nninf  12874  fzssnn  13517  fseq1p1m1  13547  prednn  13600  elfzo1  13662  ltwenn  13919  nnnfi  13923  ser1const  14015  expp1  14025  digit1  14194  facnn  14232  fac0  14233  facp1  14235  faclbnd4lem1  14250  bcm1k  14272  bcval5  14275  bcpasc  14278  fz1isolem  14418  seqcoll  14421  seqcoll2  14422  climuni  15509  isercolllem2  15623  isercoll  15625  sumeq2ii  15650  summolem3  15671  summolem2a  15672  fsum  15677  sum0  15678  sumz  15679  fsumcl2lem  15688  fsumadd  15697  fsummulc2  15741  fsumrelem  15765  isumnn0nn  15802  climcndslem1  15809  climcndslem2  15810  climcnds  15811  divcnv  15813  divcnvshft  15815  supcvg  15816  trireciplem  15822  trirecip  15823  expcnv  15824  geo2lim  15835  geoisum1  15839  geoisum1c  15840  mertenslem2  15845  prodeq2ii  15871  prodmolem3  15893  prodmolem2a  15894  fprod  15901  prod0  15903  prod1  15904  fprodss  15908  fprodser  15909  fprodcl2lem  15910  fprodmul  15920  fproddiv  15921  fprodn0  15939  fallfacval4  16003  bpoly4  16019  ege2le3  16050  rpnnen2lem3  16178  rpnnen2lem5  16180  rpnnen2lem8  16183  rpnnen2lem12  16187  ruclem6  16197  pwp1fsum  16355  bezoutlem2  16504  bezoutlem3  16505  lcmcllem  16560  lcmledvds  16563  lcmfval  16585  lcmfcllem  16589  lcmfledvds  16596  isprm3  16647  phicl2  16733  phibndlem  16735  eulerthlem2  16747  odzcllem  16758  odzdvds  16761  iserodd  16801  pcmptcl  16857  pcmpt  16858  pockthlem  16871  pockthg  16872  unbenlem  16874  prmreclem3  16884  prmreclem5  16886  prmreclem6  16887  prmrec  16888  1arith  16893  4sqlem13  16923  4sqlem14  16924  4sqlem17  16927  4sqlem18  16928  vdwlem1  16947  vdwlem2  16948  vdwlem3  16949  vdwlem6  16952  vdwlem8  16954  vdwlem10  16956  vdw  16960  vdwnnlem3  16963  prmlem1a  17072  chnub  18583  mulgnnp1  19053  mulgnnsubcl  19057  mulgnn0z  19072  mulgnndir  19074  mulgpropd  19087  odfval  19501  odlem1  19504  odlem2  19508  gexlem1  19548  gexlem2  19551  gexcl3  19556  sylow1lem1  19567  efgsdmi  19701  efgsrel  19703  efgs1b  19705  efgsp1  19706  mulgnn0di  19794  lt6abl  19864  gsumval3eu  19873  gsumval3  19876  gsumzcl2  19879  gsumzaddlem  19890  gsumconst  19903  gsumzmhm  19906  gsumzoppg  19913  zringlpirlem2  21441  zringlpirlem3  21442  lmcnp  23290  lmmo  23366  1stcelcls  23447  1stccnp  23448  1stckgenlem  23539  1stckgen  23540  imasdsf1olem  24359  cphipval  25231  lmnn  25251  cmetcaulem  25276  iscmet2  25282  causs  25286  nglmle  25290  caubl  25296  iscmet3i  25300  bcthlem5  25316  ovolsf  25460  ovollb2lem  25476  ovolctb  25478  ovolunlem1a  25484  ovolunlem1  25485  ovoliunlem1  25490  ovoliun  25493  ovoliun2  25494  ovoliunnul  25495  ovolscalem1  25501  ovolicc1  25504  ovolicc2lem2  25506  ovolicc2lem3  25507  ovolicc2lem4  25508  iundisj  25536  iundisj2  25537  voliunlem1  25538  voliunlem2  25539  voliunlem3  25540  volsup  25544  ioombl1lem4  25549  uniioovol  25567  uniioombllem2  25571  uniioombllem3  25573  uniioombllem4  25574  uniioombllem6  25576  vitalilem4  25599  vitalilem5  25600  itg1climres  25702  mbfi1fseqlem6  25708  mbfi1flimlem  25710  mbfmullem2  25712  itg2monolem1  25738  itg2i1fseqle  25742  itg2i1fseq  25743  itg2i1fseq2  25744  itg2addlem  25746  plyeq0lem  26196  vieta1lem2  26298  elqaalem1  26306  elqaalem3  26308  aaliou3lem4  26333  aaliou3lem7  26336  dvtaylp  26356  taylthlem2  26360  pserdvlem2  26414  pserdv2  26416  abelthlem6  26422  abelthlem9  26426  logtayl  26645  logtaylsum  26646  logtayl2  26647  atantayl  26922  leibpilem2  26926  leibpi  26927  birthdaylem2  26937  dfef2  26955  divsqrtsumlem  26964  emcllem2  26981  emcllem4  26983  emcllem5  26984  emcllem6  26985  emcllem7  26986  harmonicbnd4  26995  fsumharmonic  26996  zetacvg  26999  lgamgulmlem4  27016  lgamgulmlem6  27018  lgamgulm2  27020  lgamcvglem  27024  lgamcvg2  27039  gamcvg  27040  gamcvg2lem  27043  regamcl  27045  relgamcl  27046  lgam1  27048  wilthlem3  27054  ftalem2  27058  ftalem4  27060  ftalem5  27061  basellem5  27069  basellem6  27070  basellem7  27071  basellem8  27072  basellem9  27073  ppiprm  27135  ppinprm  27136  chtprm  27137  chtnprm  27138  chpp1  27139  vma1  27150  ppiltx  27161  fsumvma2  27198  chpchtsum  27203  logfacbnd3  27207  logexprlim  27209  bposlem5  27272  lgscllem  27288  lgsval2lem  27291  lgsval4a  27303  lgsneg  27305  lgsdir  27316  lgsdilem2  27317  lgsdi  27318  lgsne0  27319  gausslemma2dlem3  27352  lgsquadlem2  27365  chebbnd1lem1  27453  chtppilimlem1  27457  rplogsumlem1  27468  rplogsumlem2  27469  rpvmasumlem  27471  dchrisumlema  27472  dchrisumlem2  27474  dchrisumlem3  27475  dchrmusum2  27478  dchrvmasum2lem  27480  dchrvmasumiflem1  27485  dchrvmaeq0  27488  dchrisum0flblem2  27493  dchrisum0flb  27494  dchrisum0re  27497  dchrisum0lem1b  27499  dchrisum0lem1  27500  dchrisum0lem2a  27501  dchrisum0lem2  27502  dchrisum0lem3  27503  mudivsum  27514  mulogsum  27516  logdivsum  27517  mulog2sumlem2  27519  log2sumbnd  27528  selberg2lem  27534  logdivbnd  27540  pntrsumo1  27549  pntrsumbnd2  27551  pntrlog2bndlem2  27562  pntrlog2bndlem4  27564  pntrlog2bndlem6a  27566  pntlemf  27589  eedimeq  28987  axlowdimlem6  29036  axlowdimlem16  29046  axlowdimlem17  29047  ipval2  30798  minvecolem3  30967  minvecolem4b  30969  minvecolem4  30971  h2hcau  31070  h2hlm  31071  hlimadd  31284  hlim0  31326  hhsscms  31369  occllem  31394  nlelchi  32152  opsqrlem4  32234  hmopidmchi  32242  iundisjf  32680  iundisj2f  32681  ssnnssfz  32881  iundisjfi  32890  iundisj2fi  32891  cycpmco2lem7  33215  cycpmrn  33226  1smat1  33998  submat1n  33999  submatres  34000  submateqlem2  34002  lmatfval  34008  madjusmdetlem1  34021  madjusmdetlem2  34022  madjusmdetlem3  34023  madjusmdetlem4  34024  lmlim  34141  rge0scvg  34143  lmxrge0  34146  lmdvg  34147  esumfzf  34263  esumfsup  34264  esumpcvgval  34272  esumpmono  34273  esumcvg  34280  esumcvgsum  34282  esumsup  34283  fiunelros  34368  eulerpartlemsv2  34552  eulerpartlems  34554  eulerpartlemsv3  34555  eulerpartlemv  34558  eulerpartlemb  34562  fiblem  34592  fibp1  34595  rrvsum  34648  dstfrvclim1  34672  ballotlem1ri  34729  signsvfn  34776  chtvalz  34823  circlemethhgt  34837  subfacp1lem1  35420  subfacp1lem5  35425  subfacp1lem6  35426  erdszelem7  35438  cvmliftlem5  35530  cvmliftlem7  35532  cvmliftlem10  35535  cvmliftlem13  35537  sinccvg  35914  circum  35915  divcnvlin  35974  iprodgam  35983  faclimlem1  35984  faclimlem2  35985  faclim  35987  iprodfac  35988  faclim2  35989  poimirlem3  38003  poimirlem4  38004  poimirlem6  38006  poimirlem7  38007  poimirlem8  38008  poimirlem12  38012  poimirlem15  38015  poimirlem16  38016  poimirlem17  38017  poimirlem18  38018  poimirlem19  38019  poimirlem20  38020  poimirlem22  38022  poimirlem23  38023  poimirlem24  38024  poimirlem25  38025  poimirlem27  38027  poimirlem28  38028  poimirlem29  38029  poimirlem30  38030  poimirlem31  38031  mblfinlem2  38038  ovoliunnfl  38042  voliunnfl  38044  volsupnfl  38045  lmclim2  38138  geomcau  38139  heibor1lem  38189  heibor1  38190  bfplem1  38202  bfplem2  38203  rrncmslem  38212  rrncms  38213  aks4d1p1p1  42561  sticksstones10  42653  sticksstones12a  42655  fz1sump1  42800  sumcubes  42803  nna4b4nsq  43123  eldioph3b  43227  diophin  43234  diophun  43235  diophren  43271  jm3.1lem2  43476  dgraalem  43603  dgraaub  43606  dftrcl3  44177  trclfvdecomr  44185  hashnzfz2  44778  hashnzfzclim  44779  dvradcnv2  44804  binomcxplemnotnn0  44813  nnsplit  45815  rexanuz2nf  45947  clim1fr1  46058  sumnnodd  46087  limsup10exlem  46227  fprodsubrecnncnvlem  46362  fprodaddrecnncnvlem  46364  stoweidlem7  46462  stoweidlem14  46469  stoweidlem20  46475  stoweidlem34  46489  wallispilem5  46524  wallispi  46525  stirlinglem1  46529  stirlinglem5  46533  stirlinglem7  46535  stirlinglem8  46536  stirlinglem10  46538  stirlinglem11  46539  stirlinglem12  46540  stirlinglem13  46541  stirlinglem14  46542  stirlinglem15  46543  stirlingr  46545  dirkertrigeqlem2  46554  dirkertrigeqlem3  46555  fourierdlem11  46573  fourierdlem31  46593  fourierdlem48  46609  fourierdlem49  46610  fourierdlem69  46630  fourierdlem73  46634  fourierdlem81  46642  fourierdlem93  46654  fourierdlem103  46664  fourierdlem104  46665  fourierdlem112  46673  fouriersw  46686  sge0ad2en  46886  voliunsge0lem  46927  caragenunicl  46979  caratheodorylem2  46982  hoidmvlelem3  47052  ovolval2lem  47098  ovolval2  47099  vonioolem2  47136  vonicclem2  47139  nthrucw  47343  fmtno4prmfac  48062