MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnuz 12273
Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnuz ℕ = (ℤ‘1)

Proof of Theorem nnuz
StepHypRef Expression
1 nnzrab 12002 . 2 ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2 1z 12004 . . 3 1 ∈ ℤ
3 uzval 12237 . . 3 (1 ∈ ℤ → (ℤ‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
42, 3ax-mp 5 . 2 (ℤ‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
51, 4eqtr4i 2827 1 ℕ = (ℤ‘1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2112  {crab 3113   class class class wbr 5033  cfv 6328  1c1 10531  cle 10669  cn 11629  cz 11973  cuz 12235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-z 11974  df-uz 12236
This theorem is referenced by:  elnnuz  12274  eluz2nn  12276  uznnssnn  12287  nnwo  12305  eluznn  12310  nninf  12321  fzssnn  12950  fseq1p1m1  12980  prednn  13029  elfzo1  13086  ltwenn  13329  nnnfi  13333  ser1const  13426  expp1  13436  digit1  13598  facnn  13635  fac0  13636  facp1  13638  faclbnd4lem1  13653  bcm1k  13675  bcval5  13678  bcpasc  13681  fz1isolem  13819  seqcoll  13822  seqcoll2  13823  climuni  14905  isercolllem2  15018  isercoll  15020  sumeq2ii  15046  summolem3  15067  summolem2a  15068  fsum  15073  sum0  15074  sumz  15075  fsumcl2lem  15084  fsumadd  15092  fsummulc2  15135  fsumrelem  15158  isumnn0nn  15193  climcndslem1  15200  climcndslem2  15201  climcnds  15202  divcnv  15204  divcnvshft  15206  supcvg  15207  trireciplem  15213  trirecip  15214  expcnv  15215  geo2lim  15227  geoisum1  15231  geoisum1c  15232  mertenslem2  15237  prodeq2ii  15263  prodmolem3  15283  prodmolem2a  15284  fprod  15291  prod0  15293  prod1  15294  fprodss  15298  fprodser  15299  fprodcl2lem  15300  fprodmul  15310  fproddiv  15311  fprodn0  15329  fallfacval4  15393  bpoly4  15409  ege2le3  15439  rpnnen2lem3  15565  rpnnen2lem5  15567  rpnnen2lem8  15570  rpnnen2lem12  15574  ruclem6  15584  pwp1fsum  15736  bezoutlem2  15882  bezoutlem3  15883  lcmcllem  15934  lcmledvds  15937  lcmfval  15959  lcmfcllem  15963  lcmfledvds  15970  isprm3  16021  phicl2  16099  phibndlem  16101  eulerthlem2  16113  odzcllem  16123  odzdvds  16126  iserodd  16166  pcmptcl  16221  pcmpt  16222  pockthlem  16235  pockthg  16236  unbenlem  16238  prmreclem3  16248  prmreclem5  16250  prmreclem6  16251  prmrec  16252  1arith  16257  4sqlem13  16287  4sqlem14  16288  4sqlem17  16291  4sqlem18  16292  vdwlem1  16311  vdwlem2  16312  vdwlem3  16313  vdwlem6  16316  vdwlem8  16318  vdwlem10  16320  vdw  16324  vdwnnlem3  16327  prmlem1a  16436  mulgnnp1  18232  mulgnnsubcl  18236  mulgnn0z  18250  mulgnndir  18252  mulgpropd  18265  odfval  18656  odlem1  18659  odlem2  18663  gexlem1  18700  gexlem2  18703  gexcl3  18708  sylow1lem1  18719  efgsdmi  18854  efgsrel  18856  efgs1b  18858  efgsp1  18859  mulgnn0di  18943  lt6abl  19012  gsumval3eu  19021  gsumval3  19024  gsumzcl2  19027  gsumzaddlem  19038  gsumconst  19051  gsumzmhm  19054  gsumzoppg  19061  zringlpirlem2  20182  zringlpirlem3  20183  lmcnp  21913  lmmo  21989  1stcelcls  22070  1stccnp  22071  1stckgenlem  22162  1stckgen  22163  imasdsf1olem  22984  cphipval  23851  lmnn  23871  cmetcaulem  23896  iscmet2  23902  causs  23906  nglmle  23910  caubl  23916  iscmet3i  23920  bcthlem5  23936  ovolsf  24080  ovollb2lem  24096  ovolctb  24098  ovolunlem1a  24104  ovolunlem1  24105  ovoliunlem1  24110  ovoliun  24113  ovoliun2  24114  ovoliunnul  24115  ovolscalem1  24121  ovolicc1  24124  ovolicc2lem2  24126  ovolicc2lem3  24127  ovolicc2lem4  24128  iundisj  24156  iundisj2  24157  voliunlem1  24158  voliunlem2  24159  voliunlem3  24160  volsup  24164  ioombl1lem4  24169  uniioovol  24187  uniioombllem2  24191  uniioombllem3  24193  uniioombllem4  24194  uniioombllem6  24196  vitalilem4  24219  vitalilem5  24220  itg1climres  24322  mbfi1fseqlem6  24328  mbfi1flimlem  24330  mbfmullem2  24332  itg2monolem1  24358  itg2i1fseqle  24362  itg2i1fseq  24363  itg2i1fseq2  24364  itg2addlem  24366  plyeq0lem  24811  vieta1lem2  24911  elqaalem1  24919  elqaalem3  24921  aaliou3lem4  24946  aaliou3lem7  24949  dvtaylp  24969  taylthlem2  24973  pserdvlem2  25027  pserdv2  25029  abelthlem6  25035  abelthlem9  25039  logtayl  25255  logtaylsum  25256  logtayl2  25257  atantayl  25527  leibpilem2  25531  leibpi  25532  birthdaylem2  25542  dfef2  25560  divsqrtsumlem  25569  emcllem2  25586  emcllem4  25588  emcllem5  25589  emcllem6  25590  emcllem7  25591  harmonicbnd4  25600  fsumharmonic  25601  zetacvg  25604  lgamgulmlem4  25621  lgamgulmlem6  25623  lgamgulm2  25625  lgamcvglem  25629  lgamcvg2  25644  gamcvg  25645  gamcvg2lem  25648  regamcl  25650  relgamcl  25651  lgam1  25653  wilthlem3  25659  ftalem2  25663  ftalem4  25665  ftalem5  25666  basellem5  25674  basellem6  25675  basellem7  25676  basellem8  25677  basellem9  25678  ppiprm  25740  ppinprm  25741  chtprm  25742  chtnprm  25743  chpp1  25744  vma1  25755  ppiltx  25766  fsumvma2  25802  chpchtsum  25807  logfacbnd3  25811  logexprlim  25813  bposlem5  25876  lgscllem  25892  lgsval2lem  25895  lgsval4a  25907  lgsneg  25909  lgsdir  25920  lgsdilem2  25921  lgsdi  25922  lgsne0  25923  gausslemma2dlem3  25956  lgsquadlem2  25969  chebbnd1lem1  26057  chtppilimlem1  26061  rplogsumlem1  26072  rplogsumlem2  26073  rpvmasumlem  26075  dchrisumlema  26076  dchrisumlem2  26078  dchrisumlem3  26079  dchrmusum2  26082  dchrvmasum2lem  26084  dchrvmasumiflem1  26089  dchrvmaeq0  26092  dchrisum0flblem2  26097  dchrisum0flb  26098  dchrisum0re  26101  dchrisum0lem1b  26103  dchrisum0lem1  26104  dchrisum0lem2a  26105  dchrisum0lem2  26106  dchrisum0lem3  26107  mudivsum  26118  mulogsum  26120  logdivsum  26121  mulog2sumlem2  26123  log2sumbnd  26132  selberg2lem  26138  logdivbnd  26144  pntrsumo1  26153  pntrsumbnd2  26155  pntrlog2bndlem2  26166  pntrlog2bndlem4  26168  pntrlog2bndlem6a  26170  pntlemf  26193  eedimeq  26696  axlowdimlem6  26745  axlowdimlem16  26755  axlowdimlem17  26756  ipval2  28494  minvecolem3  28663  minvecolem4b  28665  minvecolem4  28667  h2hcau  28766  h2hlm  28767  hlimadd  28980  hlim0  29022  hhsscms  29065  occllem  29090  nlelchi  29848  opsqrlem4  29930  hmopidmchi  29938  iundisjf  30356  iundisj2f  30357  ssnnssfz  30540  iundisjfi  30549  iundisj2fi  30550  cycpmco2lem7  30828  cycpmrn  30839  1smat1  31161  submat1n  31162  submatres  31163  submateqlem2  31165  lmatfval  31171  madjusmdetlem1  31184  madjusmdetlem2  31185  madjusmdetlem3  31186  madjusmdetlem4  31187  lmlim  31304  rge0scvg  31306  lmxrge0  31309  lmdvg  31310  esumfzf  31442  esumfsup  31443  esumpcvgval  31451  esumpmono  31452  esumcvg  31459  esumcvgsum  31461  esumsup  31462  fiunelros  31547  eulerpartlemsv2  31730  eulerpartlems  31732  eulerpartlemsv3  31733  eulerpartlemv  31736  eulerpartlemb  31740  fiblem  31770  fibp1  31773  rrvsum  31826  dstfrvclim1  31849  ballotlem1ri  31906  signsvfn  31966  chtvalz  32014  circlemethhgt  32028  subfacp1lem1  32540  subfacp1lem5  32545  subfacp1lem6  32546  erdszelem7  32558  cvmliftlem5  32650  cvmliftlem7  32652  cvmliftlem10  32655  cvmliftlem13  32657  sinccvg  33030  circum  33031  divcnvlin  33078  iprodgam  33088  faclimlem1  33089  faclimlem2  33090  faclim  33092  iprodfac  33093  faclim2  33094  poimirlem3  35059  poimirlem4  35060  poimirlem6  35062  poimirlem7  35063  poimirlem8  35064  poimirlem12  35068  poimirlem15  35071  poimirlem16  35072  poimirlem17  35073  poimirlem18  35074  poimirlem19  35075  poimirlem20  35076  poimirlem22  35078  poimirlem23  35079  poimirlem24  35080  poimirlem25  35081  poimirlem27  35083  poimirlem28  35084  poimirlem29  35085  poimirlem30  35086  poimirlem31  35087  mblfinlem2  35094  ovoliunnfl  35098  voliunnfl  35100  volsupnfl  35101  lmclim2  35195  geomcau  35196  heibor1lem  35246  heibor1  35247  bfplem1  35259  bfplem2  35260  rrncmslem  35269  rrncms  35270  metakunt20  39366  eldioph3b  39699  diophin  39706  diophun  39707  diophren  39747  jm3.1lem2  39952  dgraalem  40082  dgraaub  40085  dftrcl3  40414  trclfvdecomr  40422  hashnzfz2  41018  hashnzfzclim  41019  dvradcnv2  41044  binomcxplemnotnn0  41053  nnsplit  41983  clim1fr1  42236  sumnnodd  42265  limsup10exlem  42407  fprodsubrecnncnvlem  42542  fprodaddrecnncnvlem  42544  stoweidlem7  42642  stoweidlem14  42649  stoweidlem20  42655  stoweidlem34  42669  wallispilem5  42704  wallispi  42705  stirlinglem1  42709  stirlinglem5  42713  stirlinglem7  42715  stirlinglem8  42716  stirlinglem10  42718  stirlinglem11  42719  stirlinglem12  42720  stirlinglem13  42721  stirlinglem14  42722  stirlinglem15  42723  stirlingr  42725  dirkertrigeqlem2  42734  dirkertrigeqlem3  42735  fourierdlem11  42753  fourierdlem31  42773  fourierdlem48  42789  fourierdlem49  42790  fourierdlem69  42810  fourierdlem73  42814  fourierdlem81  42822  fourierdlem93  42834  fourierdlem103  42844  fourierdlem104  42845  fourierdlem112  42853  fouriersw  42866  sge0ad2en  43063  voliunsge0lem  43104  caragenunicl  43156  caratheodorylem2  43159  hoidmvlelem3  43229  ovolval2lem  43275  ovolval2  43276  vonioolem2  43313  vonicclem2  43316  fmtno4prmfac  44082
  Copyright terms: Public domain W3C validator