Theorem nnuz 12775

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 12500	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 12502	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 12734	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2757	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  1c1 11007   ≤ cle 11147  ℕcn 12125  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-z 12469  df-uz 12733

This theorem is referenced by:  elnnuz  12776  eluz2nn  12786  uznnssnn  12793  nnwo  12811  eluznn  12816  nninf  12827  fzssnn  13468  fseq1p1m1  13498  prednn  13551  elfzo1  13612  ltwenn  13869  nnnfi  13873  ser1const  13965  expp1  13975  digit1  14144  facnn  14182  fac0  14183  facp1  14185  faclbnd4lem1  14200  bcm1k  14222  bcval5  14225  bcpasc  14228  fz1isolem  14368  seqcoll  14371  seqcoll2  14372  climuni  15459  isercolllem2  15573  isercoll  15575  sumeq2ii  15600  summolem3  15621  summolem2a  15622  fsum  15627  sum0  15628  sumz  15629  fsumcl2lem  15638  fsumadd  15647  fsummulc2  15691  fsumrelem  15714  isumnn0nn  15749  climcndslem1  15756  climcndslem2  15757  climcnds  15758  divcnv  15760  divcnvshft  15762  supcvg  15763  trireciplem  15769  trirecip  15770  expcnv  15771  geo2lim  15782  geoisum1  15786  geoisum1c  15787  mertenslem2  15792  prodeq2ii  15818  prodmolem3  15840  prodmolem2a  15841  fprod  15848  prod0  15850  prod1  15851  fprodss  15855  fprodser  15856  fprodcl2lem  15857  fprodmul  15867  fproddiv  15868  fprodn0  15886  fallfacval4  15950  bpoly4  15966  ege2le3  15997  rpnnen2lem3  16125  rpnnen2lem5  16127  rpnnen2lem8  16130  rpnnen2lem12  16134  ruclem6  16144  pwp1fsum  16302  bezoutlem2  16451  bezoutlem3  16452  lcmcllem  16507  lcmledvds  16510  lcmfval  16532  lcmfcllem  16536  lcmfledvds  16543  isprm3  16594  phicl2  16679  phibndlem  16681  eulerthlem2  16693  odzcllem  16704  odzdvds  16707  iserodd  16747  pcmptcl  16803  pcmpt  16804  pockthlem  16817  pockthg  16818  unbenlem  16820  prmreclem3  16830  prmreclem5  16832  prmreclem6  16833  prmrec  16834  1arith  16839  4sqlem13  16869  4sqlem14  16870  4sqlem17  16873  4sqlem18  16874  vdwlem1  16893  vdwlem2  16894  vdwlem3  16895  vdwlem6  16898  vdwlem8  16900  vdwlem10  16902  vdw  16906  vdwnnlem3  16909  prmlem1a  17018  chnub  18528  mulgnnp1  18995  mulgnnsubcl  18999  mulgnn0z  19014  mulgnndir  19016  mulgpropd  19029  odfval  19445  odlem1  19448  odlem2  19452  gexlem1  19492  gexlem2  19495  gexcl3  19500  sylow1lem1  19511  efgsdmi  19645  efgsrel  19647  efgs1b  19649  efgsp1  19650  mulgnn0di  19738  lt6abl  19808  gsumval3eu  19817  gsumval3  19820  gsumzcl2  19823  gsumzaddlem  19834  gsumconst  19847  gsumzmhm  19850  gsumzoppg  19857  zringlpirlem2  21401  zringlpirlem3  21402  lmcnp  23220  lmmo  23296  1stcelcls  23377  1stccnp  23378  1stckgenlem  23469  1stckgen  23470  imasdsf1olem  24289  cphipval  25171  lmnn  25191  cmetcaulem  25216  iscmet2  25222  causs  25226  nglmle  25230  caubl  25236  iscmet3i  25240  bcthlem5  25256  ovolsf  25401  ovollb2lem  25417  ovolctb  25419  ovolunlem1a  25425  ovolunlem1  25426  ovoliunlem1  25431  ovoliun  25434  ovoliun2  25435  ovoliunnul  25436  ovolscalem1  25442  ovolicc1  25445  ovolicc2lem2  25447  ovolicc2lem3  25448  ovolicc2lem4  25449  iundisj  25477  iundisj2  25478  voliunlem1  25479  voliunlem2  25480  voliunlem3  25481  volsup  25485  ioombl1lem4  25490  uniioovol  25508  uniioombllem2  25512  uniioombllem3  25514  uniioombllem4  25515  uniioombllem6  25517  vitalilem4  25540  vitalilem5  25541  itg1climres  25643  mbfi1fseqlem6  25649  mbfi1flimlem  25651  mbfmullem2  25653  itg2monolem1  25679  itg2i1fseqle  25683  itg2i1fseq  25684  itg2i1fseq2  25685  itg2addlem  25687  plyeq0lem  26143  vieta1lem2  26247  elqaalem1  26255  elqaalem3  26257  aaliou3lem4  26282  aaliou3lem7  26285  dvtaylp  26306  taylthlem2  26310  taylthlem2OLD  26311  pserdvlem2  26366  pserdv2  26368  abelthlem6  26374  abelthlem9  26378  logtayl  26597  logtaylsum  26598  logtayl2  26599  atantayl  26875  leibpilem2  26879  leibpi  26880  birthdaylem2  26890  dfef2  26909  divsqrtsumlem  26918  emcllem2  26935  emcllem4  26937  emcllem5  26938  emcllem6  26939  emcllem7  26940  harmonicbnd4  26949  fsumharmonic  26950  zetacvg  26953  lgamgulmlem4  26970  lgamgulmlem6  26972  lgamgulm2  26974  lgamcvglem  26978  lgamcvg2  26993  gamcvg  26994  gamcvg2lem  26997  regamcl  26999  relgamcl  27000  lgam1  27002  wilthlem3  27008  ftalem2  27012  ftalem4  27014  ftalem5  27015  basellem5  27023  basellem6  27024  basellem7  27025  basellem8  27026  basellem9  27027  ppiprm  27089  ppinprm  27090  chtprm  27091  chtnprm  27092  chpp1  27093  vma1  27104  ppiltx  27115  fsumvma2  27153  chpchtsum  27158  logfacbnd3  27162  logexprlim  27164  bposlem5  27227  lgscllem  27243  lgsval2lem  27246  lgsval4a  27258  lgsneg  27260  lgsdir  27271  lgsdilem2  27272  lgsdi  27273  lgsne0  27274  gausslemma2dlem3  27307  lgsquadlem2  27320  chebbnd1lem1  27408  chtppilimlem1  27412  rplogsumlem1  27423  rplogsumlem2  27424  rpvmasumlem  27426  dchrisumlema  27427  dchrisumlem2  27429  dchrisumlem3  27430  dchrmusum2  27433  dchrvmasum2lem  27435  dchrvmasumiflem1  27440  dchrvmaeq0  27443  dchrisum0flblem2  27448  dchrisum0flb  27449  dchrisum0re  27452  dchrisum0lem1b  27454  dchrisum0lem1  27455  dchrisum0lem2a  27456  dchrisum0lem2  27457  dchrisum0lem3  27458  mudivsum  27469  mulogsum  27471  logdivsum  27472  mulog2sumlem2  27474  log2sumbnd  27483  selberg2lem  27489  logdivbnd  27495  pntrsumo1  27504  pntrsumbnd2  27506  pntrlog2bndlem2  27517  pntrlog2bndlem4  27519  pntrlog2bndlem6a  27521  pntlemf  27544  eedimeq  28877  axlowdimlem6  28926  axlowdimlem16  28936  axlowdimlem17  28937  ipval2  30685  minvecolem3  30854  minvecolem4b  30856  minvecolem4  30858  h2hcau  30957  h2hlm  30958  hlimadd  31171  hlim0  31213  hhsscms  31256  occllem  31281  nlelchi  32039  opsqrlem4  32121  hmopidmchi  32129  iundisjf  32567  iundisj2f  32568  ssnnssfz  32768  iundisjfi  32776  iundisj2fi  32777  cycpmco2lem7  33099  cycpmrn  33110  1smat1  33815  submat1n  33816  submatres  33817  submateqlem2  33819  lmatfval  33825  madjusmdetlem1  33838  madjusmdetlem2  33839  madjusmdetlem3  33840  madjusmdetlem4  33841  lmlim  33958  rge0scvg  33960  lmxrge0  33963  lmdvg  33964  esumfzf  34080  esumfsup  34081  esumpcvgval  34089  esumpmono  34090  esumcvg  34097  esumcvgsum  34099  esumsup  34100  fiunelros  34185  eulerpartlemsv2  34369  eulerpartlems  34371  eulerpartlemsv3  34372  eulerpartlemv  34375  eulerpartlemb  34379  fiblem  34409  fibp1  34412  rrvsum  34465  dstfrvclim1  34489  ballotlem1ri  34546  signsvfn  34593  chtvalz  34640  circlemethhgt  34654  subfacp1lem1  35221  subfacp1lem5  35226  subfacp1lem6  35227  erdszelem7  35239  cvmliftlem5  35331  cvmliftlem7  35333  cvmliftlem10  35336  cvmliftlem13  35338  sinccvg  35715  circum  35716  divcnvlin  35775  iprodgam  35784  faclimlem1  35785  faclimlem2  35786  faclim  35788  iprodfac  35789  faclim2  35790  poimirlem3  37669  poimirlem4  37670  poimirlem6  37672  poimirlem7  37673  poimirlem8  37674  poimirlem12  37678  poimirlem15  37681  poimirlem16  37682  poimirlem17  37683  poimirlem18  37684  poimirlem19  37685  poimirlem20  37686  poimirlem22  37688  poimirlem23  37689  poimirlem24  37690  poimirlem25  37691  poimirlem27  37693  poimirlem28  37694  poimirlem29  37695  poimirlem30  37696  poimirlem31  37697  mblfinlem2  37704  ovoliunnfl  37708  voliunnfl  37710  volsupnfl  37711  lmclim2  37804  geomcau  37805  heibor1lem  37855  heibor1  37856  bfplem1  37868  bfplem2  37869  rrncmslem  37878  rrncms  37879  aks4d1p1p1  42102  sticksstones10  42194  sticksstones12a  42196  fz1sump1  42349  sumcubes  42352  nna4b4nsq  42699  eldioph3b  42804  diophin  42811  diophun  42812  diophren  42852  jm3.1lem2  43057  dgraalem  43184  dgraaub  43187  dftrcl3  43759  trclfvdecomr  43767  hashnzfz2  44360  hashnzfzclim  44361  dvradcnv2  44386  binomcxplemnotnn0  44395  nnsplit  45403  rexanuz2nf  45536  clim1fr1  45647  sumnnodd  45676  limsup10exlem  45816  fprodsubrecnncnvlem  45951  fprodaddrecnncnvlem  45953  stoweidlem7  46051  stoweidlem14  46058  stoweidlem20  46064  stoweidlem34  46078  wallispilem5  46113  wallispi  46114  stirlinglem1  46118  stirlinglem5  46122  stirlinglem7  46124  stirlinglem8  46125  stirlinglem10  46127  stirlinglem11  46128  stirlinglem12  46129  stirlinglem13  46130  stirlinglem14  46131  stirlinglem15  46132  stirlingr  46134  dirkertrigeqlem2  46143  dirkertrigeqlem3  46144  fourierdlem11  46162  fourierdlem31  46182  fourierdlem48  46198  fourierdlem49  46199  fourierdlem69  46219  fourierdlem73  46223  fourierdlem81  46231  fourierdlem93  46243  fourierdlem103  46253  fourierdlem104  46254  fourierdlem112  46262  fouriersw  46275  sge0ad2en  46475  voliunsge0lem  46516  caragenunicl  46568  caratheodorylem2  46571  hoidmvlelem3  46641  ovolval2lem  46687  ovolval2  46688  vonioolem2  46725  vonicclem2  46728  fmtno4prmfac  47609