Theorem nn0uz 12868

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 12595	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 12573	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 12828	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2763	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  0cc0 11112   ≤ cle 11253  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827

This theorem is referenced by:  elnn0uz  12871  2eluzge0  12881  eluznn0  12905  nn0inf  12918  fseq1p1m1  13579  fznn0sub2  13612  nn0split  13620  prednn0  13629  fzossnn0  13667  fzennn  13937  hashgf1o  13940  exple1  14145  faclbnd4lem1  14257  bcval5  14282  bcpasc  14285  hashfzo0  14394  hashf1  14422  ccatval2  14532  ccatass  14542  ccatrn  14543  swrdccat2  14623  wrdeqs1cat  14674  cats1un  14675  splfv2a  14710  splval2  14711  revccat  14720  cats1fv  14814  binom1dif  15783  isumnn0nn  15792  climcndslem1  15799  climcnds  15801  harmonic  15809  arisum2  15811  explecnv  15815  geoser  15817  pwdif  15818  geolim  15820  geolim2  15821  geomulcvg  15826  geoisum  15827  geoisumr  15828  mertenslem1  15834  mertenslem2  15835  mertens  15836  fallfacfwd  15984  0fallfac  15985  binomfallfaclem2  15988  bpolylem  15996  bpolysum  16001  bpolydiflem  16002  fsumkthpow  16004  bpoly2  16005  bpoly3  16006  bpoly4  16007  efcllem  16025  ef0lem  16026  eff  16029  efcvg  16032  efcvgfsum  16033  reefcl  16034  ege2le3  16037  efcj  16039  eftlcvg  16053  eftlub  16056  effsumlt  16058  ef4p  16060  efgt1p2  16061  efgt1p  16062  eflegeo  16068  eirrlem  16151  ruclem6  16182  ruclem7  16183  divalglem2  16342  divalglem5  16344  bitsfzolem  16379  bitsfzo  16380  bitsfi  16382  bitsinv1lem  16386  bitsinv1  16387  bitsinvp1  16394  sadcf  16398  sadcp1  16400  sadadd  16412  sadass  16416  bitsres  16418  smupf  16423  smupp1  16425  smuval2  16427  smupval  16433  smueqlem  16435  smumul  16438  alginv  16516  algcvg  16517  algcvga  16520  algfx  16521  eucalgcvga  16527  eucalg  16528  phiprmpw  16713  prmdiv  16722  iserodd  16772  pcfac  16836  prmreclem2  16854  prmreclem4  16856  vdwapun  16911  vdwlem1  16918  ramcl2lem  16946  ramtcl  16947  ramtub  16949  gsumwsubmcl  18754  gsumws1  18755  gsumsgrpccat  18757  gsumwmhm  18762  psgnunilem2  19404  psgnunilem4  19406  sylow1lem1  19507  efginvrel2  19636  efgredleme  19652  efgredlemc  19654  efgcpbllemb  19664  frgpuplem  19681  telgsumfz0s  19900  telgsums  19902  pgpfaclem1  19992  psrbaglefi  21704  psrbaglefiOLD  21705  ltbwe  21818  pmatcollpw3fi1lem1  22508  chfacfisf  22576  chfacfisfcpmat  22577  iscmet3lem3  25031  dyadmax  25339  mbfi1fseqlem3  25459  itgcnlem  25531  dvnff  25664  dvnp1  25666  dvn2bss  25671  cpncn  25677  dveflem  25720  ig1peu  25913  ig1pdvds  25918  ply1termlem  25941  plyeq0lem  25948  plyaddlem1  25951  plymullem1  25952  coeeulem  25962  dgrcl  25971  dgrub  25972  dgrlb  25974  coeid3  25978  plyco  25979  coeeq2  25980  coefv0  25986  coemulhi  25992  coemulc  25993  dvply1  26021  vieta1lem2  26048  vieta1  26049  elqaalem2  26057  elqaalem3  26058  geolim3  26076  dvntaylp  26107  taylthlem1  26109  radcnvlem1  26149  radcnvlem2  26150  radcnvlem3  26151  radcnv0  26152  radcnvlt2  26155  dvradcnv  26157  pserulm  26158  psercn2  26159  pserdvlem2  26164  pserdv2  26166  abelthlem4  26170  abelthlem5  26171  abelthlem6  26172  abelthlem7  26174  abelthlem8  26175  abelthlem9  26176  advlogexp  26387  logtayllem  26391  logtayl  26392  cxpeq  26489  leibpi  26671  leibpisum  26672  log2cnv  26673  log2tlbnd  26674  log2ublem2  26676  birthdaylem3  26682  wilthlem2  26797  ftalem1  26801  ftalem5  26805  basellem2  26810  basellem3  26811  basellem5  26813  musum  26919  0sgmppw  26925  1sgmprm  26926  chtublem  26938  logexprlim  26952  lgseisenlem1  27102  lgsquadlem2  27108  dchrisumlem1  27216  dchrisumlem2  27217  dchrisum0flblem1  27235  ostth2lem3  27362  tgcgr4  28037  clwwlknonex2lem1  29615  eupth2lems  29746  fz2ssnn0  32251  cycpmco2rn  32542  cycpmco2lem6  32548  ig1pmindeg  32935  oddpwdc  33639  eulerpartlemb  33653  sseqfn  33675  sseqf  33677  signsplypnf  33847  signstcl  33862  signstf  33863  signstfvn  33866  signstfvneq0  33869  fsum2dsub  33905  reprsuc  33913  breprexplema  33928  breprexplemc  33930  subfacval2  34464  subfaclim  34465  cvmliftlem7  34568  fwddifnp1  35429  gg-psercn2  35464  knoppcnlem6  35677  knoppcnlem8  35679  knoppcnlem9  35680  knoppcnlem11  35682  knoppcn  35683  knoppndvlem4  35694  knoppndvlem6  35696  knoppf  35714  poimirlem3  36794  poimirlem4  36795  poimirlem18  36809  poimirlem21  36812  poimirlem22  36813  poimirlem25  36816  poimirlem26  36817  poimirlem27  36818  heiborlem4  36985  heiborlem6  36987  lcmfunnnd  41183  mapfzcons  41756  irrapxlem1  41862  ltrmynn0  41989  ltrmxnn0  41990  acongeq  42024  jm2.23  42037  jm2.26lem3  42042  dfrtrcl3  42786  radcnvrat  43375  bcc0  43401  dvradcnv2  43408  binomcxplemnn0  43410  binomcxplemrat  43411  binomcxplemradcnv  43413  binomcxplemnotnn0  43417  fzssnn0  44326  rexanuz2nf  44502  expfac  44672  dvnmptdivc  44953  dvnmul  44958  dvnprodlem3  44963  stoweidlem17  45032  stoweidlem34  45049  stirlinglem5  45093  stirlinglem7  45095  fourierdlem15  45137  fourierdlem25  45147  fourierdlem48  45169  fourierdlem49  45170  fourierdlem50  45171  fourierdlem52  45173  fourierdlem54  45175  fourierdlem64  45185  fourierdlem65  45186  fourierdlem81  45202  fourierdlem92  45213  fourierdlem102  45223  fourierdlem103  45224  fourierdlem104  45225  fourierdlem113  45234  fourierdlem114  45235  elaa2lem  45248  etransclem4  45253  etransclem10  45259  etransclem14  45263  etransclem15  45264  etransclem23  45272  etransclem24  45273  etransclem31  45280  etransclem32  45281  etransclem35  45284  etransclem44  45293  etransclem46  45295  etransclem48  45297  ssnn0ssfz  47114  itcoval1  47437  itcoval2  47438  itcoval3  47439  itcovalsuc  47441  ackvalsuc1mpt  47452  aacllem  47936