Theorem nn0uz 12003

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 11733	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 11714	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 11969	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2851	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  {crab 3120   class class class wbr 4872  ‘cfv 6122  0cc0 10251   ≤ cle 10391  ℕ₀cn0 11617  ℤcz 11703  ℤ_≥cuz 11967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968

This theorem is referenced by:  elnn0uz  12006  2eluzge0  12014  eluznn0  12039  nn0inf  12052  fseq1p1m1  12707  fznn0sub2  12740  nn0split  12748  prednn0  12757  fzossnn0  12793  fzennn  13061  hashgf1o  13064  exple1  13213  faclbnd4lem1  13372  bcval5  13397  bcpasc  13400  hashfzo0  13505  hashf1  13529  ccatval2  13637  ccatass  13647  ccatrn  13648  swrdccat1OLD  13746  swrdccat2  13747  wrdeqs1cat  13808  wrdeqs1catOLD  13809  cats1un  13810  splfv2a  13869  splfv2aOLD  13870  splval2  13871  splval2OLD  13872  revccat  13881  cats1fv  13979  binom1dif  14938  isumnn0nn  14947  climcndslem1  14954  climcnds  14956  harmonic  14964  arisum2  14966  explecnv  14970  geoser  14972  geolim  14974  geolim2  14975  geomulcvg  14980  geoisum  14981  geoisumr  14982  mertenslem1  14988  mertenslem2  14989  mertens  14990  fallfacfwd  15138  0fallfac  15139  binomfallfaclem2  15142  bpolylem  15150  bpolysum  15155  bpolydiflem  15156  fsumkthpow  15158  bpoly2  15159  bpoly3  15160  bpoly4  15161  efcllem  15179  ef0lem  15180  eff  15183  efcvg  15186  efcvgfsum  15187  reefcl  15188  ege2le3  15191  efcj  15193  eftlcvg  15207  eftlub  15210  effsumlt  15212  ef4p  15214  efgt1p2  15215  efgt1p  15216  eflegeo  15222  eirrlem  15305  ruclem6  15337  ruclem7  15338  divalglem2  15491  divalglem5  15493  bitsfzolem  15528  bitsfzo  15529  bitsfi  15531  bitsinv1lem  15535  bitsinv1  15536  bitsinvp1  15543  sadcf  15547  sadcp1  15549  sadadd  15561  sadass  15565  bitsres  15567  smupf  15572  smupp1  15574  smuval2  15576  smupval  15582  smueqlem  15584  smumul  15587  alginv  15660  algcvg  15661  algcvga  15664  algfx  15665  eucalgcvga  15671  eucalg  15672  phiprmpw  15851  prmdiv  15860  iserodd  15910  pcfac  15973  prmreclem2  15991  prmreclem4  15993  vdwapun  16048  vdwlem1  16055  ramcl2lem  16083  ramtcl  16084  ramtub  16086  gsumwsubmcl  17727  gsumws1  17728  gsumccat  17730  gsumwmhm  17735  psgnunilem2  18265  psgnunilem4  18267  sylow1lem1  18363  efginvrel2  18490  efgredleme  18507  efgredlemc  18509  efgcpbllemb  18520  frgpuplem  18537  telgsumfz0s  18741  telgsums  18743  pgpfaclem1  18833  psrbaglefi  19732  ltbwe  19832  pmatcollpw3fi1lem1  20960  chfacfisf  21028  chfacfisfcpmat  21029  iscmet3lem3  23457  dyadmax  23763  mbfi1fseqlem3  23882  itgcnlem  23954  dvnff  24084  dvnp1  24086  dvn2bss  24091  cpncn  24097  dveflem  24140  ig1peu  24329  ig1pdvds  24334  ply1termlem  24357  plyeq0lem  24364  plyaddlem1  24367  plymullem1  24368  coeeulem  24378  dgrcl  24387  dgrub  24388  dgrlb  24390  coeid3  24394  plyco  24395  coeeq2  24396  coefv0  24402  coemulhi  24408  coemulc  24409  dvply1  24437  vieta1lem2  24464  vieta1  24465  elqaalem2  24473  elqaalem3  24474  geolim3  24492  dvntaylp  24523  taylthlem1  24525  radcnvlem1  24565  radcnvlem2  24566  radcnvlem3  24567  radcnv0  24568  radcnvlt2  24571  dvradcnv  24573  pserulm  24574  psercn2  24575  pserdvlem2  24580  pserdv2  24582  abelthlem4  24586  abelthlem5  24587  abelthlem6  24588  abelthlem7  24590  abelthlem8  24591  abelthlem9  24592  advlogexp  24799  logtayllem  24803  logtayl  24804  cxpeq  24899  leibpi  25081  leibpisum  25082  log2cnv  25083  log2tlbnd  25084  log2ublem2  25086  birthdaylem3  25092  wilthlem2  25207  ftalem1  25211  ftalem5  25215  basellem2  25220  basellem3  25221  basellem5  25223  musum  25329  0sgmppw  25335  1sgmprm  25336  chtublem  25348  logexprlim  25362  lgseisenlem1  25512  lgsquadlem2  25518  dchrisumlem1  25590  dchrisumlem2  25591  dchrisum0flblem1  25609  ostth2lem3  25736  tgcgr4  25842  clwwlknonex2lem1  27481  eupth2lems  27614  fz2ssnn0  30093  oddpwdc  30960  eulerpartlemb  30974  sseqfn  30997  sseqf  30999  signsplypnf  31173  signstcl  31188  signstf  31189  signstfvn  31192  signstfvneq0  31196  fsum2dsub  31233  reprsuc  31241  breprexplema  31256  breprexplemc  31258  subfacval2  31714  subfaclim  31715  cvmliftlem7  31818  fwddifnp1  32810  knoppcnlem6  33020  knoppcnlem8  33022  knoppcnlem9  33023  knoppcnlem11  33025  knoppcn  33026  knoppndvlem4  33037  knoppndvlem6  33039  knoppf  33057  poimirlem3  33955  poimirlem4  33956  poimirlem18  33970  poimirlem21  33973  poimirlem22  33974  poimirlem25  33977  poimirlem26  33978  poimirlem27  33979  heiborlem4  34154  heiborlem6  34156  mapfzcons  38122  irrapxlem1  38229  ltrmynn0  38357  ltrmxnn0  38358  acongeq  38392  jm2.23  38405  jm2.26lem3  38410  dfrtrcl3  38865  radcnvrat  39352  bcc0  39378  dvradcnv2  39385  binomcxplemnn0  39387  binomcxplemrat  39388  binomcxplemradcnv  39390  binomcxplemnotnn0  39394  fzssnn0  40329  expfac  40683  dvnmptdivc  40947  dvnmul  40952  dvnprodlem3  40957  stoweidlem17  41027  stoweidlem34  41044  stirlinglem5  41088  stirlinglem7  41090  fourierdlem15  41132  fourierdlem25  41142  fourierdlem48  41164  fourierdlem49  41165  fourierdlem50  41166  fourierdlem52  41168  fourierdlem54  41170  fourierdlem64  41180  fourierdlem65  41181  fourierdlem81  41197  fourierdlem92  41208  fourierdlem102  41218  fourierdlem103  41219  fourierdlem104  41220  fourierdlem113  41229  fourierdlem114  41230  elaa2lem  41243  etransclem4  41248  etransclem10  41254  etransclem14  41258  etransclem15  41259  etransclem23  41267  etransclem24  41268  etransclem31  41275  etransclem32  41276  etransclem35  41279  etransclem44  41288  etransclem46  41290  etransclem48  41292  pwdif  42330  ssnn0ssfz  42973  aacllem  43442