Theorem nn0uz 13003

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 12725	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 12704	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 12967	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2787	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  0cc0 11200   ≤ cle 11344  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966

This theorem is used by:  elnn0uz  13006  2eluzge0  13008  eluznn0  13044  nn0inf  13057  fseq1p1m1  13732  fznn0sub2  13769  nn0split  13777  prednn0  13786  fzossnn0  13825  fzennn  14111  hashgf1o  14114  exple1  14320  faclbnd4lem1  14437  bcval5  14462  bcpasc  14465  hashfzo0  14575  hashf1  14602  ccatval2  14723  ccatass  14734  ccatrn  14735  swrdccat2  14819  wrdeqs1cat  14869  cats1un  14870  splfv2a  14905  splval2  14906  revccat  14915  cats1fv  15010  binom1dif  16002  isumnn0nn  16011  climcndslem1  16018  climcnds  16020  harmonic  16028  arisum2  16030  explecnv  16034  geoser  16036  pwdif  16037  geolim  16039  geolim2  16040  geomulcvg  16045  geoisum  16046  geoisumr  16047  mertenslem1  16053  mertenslem2  16054  mertens  16055  fallfacfwd  16202  0fallfac  16203  binomfallfaclem2  16206  bpolylem  16214  bpolysum  16219  bpolydiflem  16220  fsumkthpow  16222  bpoly2  16223  bpoly3  16224  bpoly4  16225  efcllem  16243  ef0lem  16244  eff  16247  efcvg  16251  efcvgfsum  16252  reefcl  16253  ege2le3  16256  efcj  16258  eftlcvg  16274  eftlub  16277  effsumlt  16279  ef4p  16281  efgt1p2  16282  efgt1p  16283  eflegeo  16289  eirrlem  16372  ruclem6  16403  ruclem7  16404  divalglem2  16565  divalglem5  16567  bitsfzolem  16604  bitsfzo  16605  bitsfi  16607  bitsinv1lem  16611  bitsinv1  16612  bitsinvp1  16619  sadcf  16623  sadcp1  16625  sadadd  16637  sadass  16641  bitsres  16643  smupf  16648  smupp1  16650  smuval2  16652  smupval  16658  smueqlem  16660  smumul  16663  alginv  16750  algcvg  16751  algcvga  16754  algfx  16755  eucalgcvga  16761  eucalg  16762  phiprmpw  16953  prmdiv  16962  iserodd  17013  pcfac  17077  prmreclem2  17095  prmreclem4  17097  vdwapun  17152  vdwlem1  17159  ramcl2lem  17187  ramtcl  17188  ramtub  17190  chnccats1  18799  gsumwsubmcl  19033  gsumws1  19034  gsumsgrpccat  19036  gsumwmhm  19041  psgnunilem2  19709  psgnunilem4  19711  sylow1lem1  19812  efginvrel2  19941  efgredleme  19957  efgredlemc  19959  efgcpbllemb  19969  frgpuplem  19986  telgsumfz0s  20205  telgsums  20207  pgpfaclem1  20297  psrbaglefi  22234  ltbwe  22353  pmatcollpw3fi1lem1  23104  chfacfisf  23172  chfacfisfcpmat  23173  iscmet3lem3  25611  dyadmax  25919  mbfi1fseqlem3  26038  itgcnlem  26110  dvnff  26243  dvnp1  26245  dvn2bss  26250  cpncn  26256  dveflem  26299  ig1peu  26493  ig1pdvds  26498  ply1termlem  26521  plyeq0lem  26529  plyaddlem1  26532  plymullem1  26533  coeeulem  26543  dgrcl  26552  dgrub  26553  dgrlb  26555  coeid3  26559  plyco  26560  coeeq2  26561  coefv0  26567  coemulhi  26573  coemulc  26574  dvply1  26605  vieta1lem2  26634  vieta1  26635  elqaalem2  26643  elqaalem3  26644  geolim3  26666  dvntaylp  26698  taylthlem1  26700  radcnvlem1  26740  radcnvlem2  26741  radcnvlem3  26742  radcnv0  26743  radcnvlt2  26746  dvradcnv  26748  pserulm  26749  psercn2  26750  pserdvlem2  26755  pserdv2  26757  abelthlem4  26761  abelthlem5  26762  abelthlem6  26763  abelthlem7  26765  abelthlem8  26766  abelthlem9  26767  advlogexp  26983  logtayllem  26987  logtayl  26988  cxpeq  27085  leibpi  27270  leibpisum  27271  log2cnv  27272  log2tlbnd  27273  log2ublem2  27275  birthdaylem3  27281  wilthlem2  27396  ftalem1  27400  ftalem5  27404  basellem2  27409  basellem3  27410  basellem5  27412  musum  27518  0sgmppw  27525  1sgmprm  27526  chtublem  27538  logexprlim  27552  lgseisenlem1  27702  lgsquadlem2  27708  dchrisumlem1  27816  dchrisumlem2  27817  dchrisum0flblem1  27835  ostth2lem3  27962  tgcgr4  28994  clwwlknonex2lem1  30698  eupth2lems  30839  fz2ssnn0  33377  nn0diffz0  33386  nn0split01  33409  ccatws1f1o  33514  gsummulsubdishift1  33629  gsumwrd2dccat  33639  cycpmco2rn  33686  cycpmco2lem6  33692  evl1deg1  34108  evl1deg2  34109  evl1deg3  34110  ig1pmindeg  34134  vietalem  34211  exsslsb  34229  oddpwdc  34986  eulerpartlemb  35000  sseqfn  35022  sseqf  35024  signsplypnf  35179  signstcl  35194  signstf  35195  signstfvn  35198  signstfvneq0  35201  fsum2dsub  35236  reprsuc  35244  breprexplema  35259  breprexplemc  35261  subfacval2  35952  subfaclim  35953  cvmliftlem7  36056  fwddifnp1  36930  knoppcnlem6  37364  knoppcnlem8  37366  knoppcnlem9  37367  knoppcnlem11  37369  knoppcn  37370  knoppndvlem4  37381  knoppndvlem6  37383  knoppf  37401  poimirlem3  38542  poimirlem4  38543  poimirlem18  38557  poimirlem21  38560  poimirlem22  38561  poimirlem25  38564  poimirlem26  38565  poimirlem27  38566  heiborlem4  38749  heiborlem6  38751  lcmfunnnd  43063  mapfzcons  43727  irrapxlem1  43829  ltrmynn0  43955  ltrmxnn0  43956  acongeq  43990  jm2.23  44003  jm2.26lem3  44008  dfrtrcl3  44733  radcnvrat  45298  bcc0  45324  dvradcnv2  45331  binomcxplemnn0  45333  binomcxplemrat  45334  binomcxplemradcnv  45336  binomcxplemnotnn0  45340  fzssnn0  46331  rexanuz2nf  46502  expfac  46667  dvnmptdivc  46948  dvnmul  46953  dvnprodlem3  46958  stoweidlem17  47027  stoweidlem34  47044  stirlinglem5  47088  stirlinglem7  47090  fourierdlem15  47132  fourierdlem25  47142  fourierdlem48  47164  fourierdlem49  47165  fourierdlem50  47166  fourierdlem52  47168  fourierdlem54  47170  fourierdlem64  47180  fourierdlem65  47181  fourierdlem81  47197  fourierdlem92  47208  fourierdlem102  47218  fourierdlem103  47219  fourierdlem104  47220  fourierdlem113  47229  fourierdlem114  47230  elaa2lem  47243  etransclem4  47248  etransclem10  47254  etransclem14  47258  etransclem15  47259  etransclem23  47267  etransclem24  47268  etransclem31  47275  etransclem32  47276  etransclem35  47279  etransclem44  47288  etransclem46  47290  etransclem48  47292  ssnn0ssfz  49461  itcoval1  49775  itcoval2  49776  itcoval3  49777  itcovalsuc  49779  ackvalsuc1mpt  49790  aacllem  50939