Theorem nn0uz 12925

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 12647	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 12626	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 12889	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2786	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  0cc0 11124   ≤ cle 11268  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888

This theorem is used by:  elnn0uz  12928  2eluzge0  12930  eluznn0  12966  nn0inf  12979  fseq1p1m1  13653  fznn0sub2  13690  nn0split  13698  prednn0  13707  fzossnn0  13746  fzennn  14032  hashgf1o  14035  exple1  14241  faclbnd4lem1  14357  bcval5  14382  bcpasc  14385  hashfzo0  14495  hashf1  14522  ccatval2  14643  ccatass  14654  ccatrn  14655  swrdccat2  14739  wrdeqs1cat  14789  cats1un  14790  splfv2a  14825  splval2  14826  revccat  14835  cats1fv  14930  binom1dif  15922  isumnn0nn  15931  climcndslem1  15938  climcnds  15940  harmonic  15948  arisum2  15950  explecnv  15954  geoser  15956  pwdif  15957  geolim  15959  geolim2  15960  geomulcvg  15965  geoisum  15966  geoisumr  15967  mertenslem1  15973  mertenslem2  15974  mertens  15975  fallfacfwd  16122  0fallfac  16123  binomfallfaclem2  16126  bpolylem  16134  bpolysum  16139  bpolydiflem  16140  fsumkthpow  16142  bpoly2  16143  bpoly3  16144  bpoly4  16145  efcllem  16163  ef0lem  16164  eff  16167  efcvg  16171  efcvgfsum  16172  reefcl  16173  ege2le3  16176  efcj  16178  eftlcvg  16194  eftlub  16197  effsumlt  16199  ef4p  16201  efgt1p2  16202  efgt1p  16203  eflegeo  16209  eirrlem  16292  ruclem6  16323  ruclem7  16324  divalglem2  16485  divalglem5  16487  bitsfzolem  16524  bitsfzo  16525  bitsfi  16527  bitsinv1lem  16531  bitsinv1  16532  bitsinvp1  16539  sadcf  16543  sadcp1  16545  sadadd  16557  sadass  16561  bitsres  16563  smupf  16568  smupp1  16570  smuval2  16572  smupval  16578  smueqlem  16580  smumul  16583  alginv  16665  algcvg  16666  algcvga  16669  algfx  16670  eucalgcvga  16676  eucalg  16677  phiprmpw  16867  prmdiv  16876  iserodd  16927  pcfac  16991  prmreclem2  17009  prmreclem4  17011  vdwapun  17066  vdwlem1  17073  ramcl2lem  17101  ramtcl  17102  ramtub  17104  chnccats1  18713  gsumwsubmcl  18946  gsumws1  18947  gsumsgrpccat  18949  gsumwmhm  18954  psgnunilem2  19622  psgnunilem4  19624  sylow1lem1  19725  efginvrel2  19854  efgredleme  19870  efgredlemc  19872  efgcpbllemb  19882  frgpuplem  19899  telgsumfz0s  20118  telgsums  20120  pgpfaclem1  20210  psrbaglefi  22141  ltbwe  22260  pmatcollpw3fi1lem1  23011  chfacfisf  23079  chfacfisfcpmat  23080  iscmet3lem3  25518  dyadmax  25826  mbfi1fseqlem3  25945  itgcnlem  26017  dvnff  26150  dvnp1  26152  dvn2bss  26157  cpncn  26163  dveflem  26206  ig1peu  26400  ig1pdvds  26405  ply1termlem  26428  plyeq0lem  26436  plyaddlem1  26439  plymullem1  26440  coeeulem  26450  dgrcl  26459  dgrub  26460  dgrlb  26462  coeid3  26466  plyco  26467  coeeq2  26468  coefv0  26474  coemulhi  26480  coemulc  26481  dvply1  26514  vieta1lem2  26543  vieta1  26544  elqaalem2  26552  elqaalem3  26553  geolim3  26575  dvntaylp  26607  taylthlem1  26609  radcnvlem1  26649  radcnvlem2  26650  radcnvlem3  26651  radcnv0  26652  radcnvlt2  26655  dvradcnv  26657  pserulm  26658  psercn2  26659  pserdvlem2  26664  pserdv2  26666  abelthlem4  26670  abelthlem5  26671  abelthlem6  26672  abelthlem7  26674  abelthlem8  26675  abelthlem9  26676  advlogexp  26892  logtayllem  26896  logtayl  26897  cxpeq  26994  leibpi  27179  leibpisum  27180  log2cnv  27181  log2tlbnd  27182  log2ublem2  27184  birthdaylem3  27190  wilthlem2  27305  ftalem1  27309  ftalem5  27313  basellem2  27318  basellem3  27319  basellem5  27321  musum  27427  0sgmppw  27434  1sgmprm  27435  chtublem  27447  logexprlim  27461  lgseisenlem1  27611  lgsquadlem2  27617  dchrisumlem1  27725  dchrisumlem2  27726  dchrisum0flblem1  27744  ostth2lem3  27871  tgcgr4  28873  clwwlknonex2lem1  30577  eupth2lems  30718  fz2ssnn0  33256  nn0diffz0  33265  nn0split01  33288  ccatws1f1o  33393  gsummulsubdishift1  33508  gsumwrd2dccat  33518  cycpmco2rn  33565  cycpmco2lem6  33571  evl1deg1  33986  evl1deg2  33987  evl1deg3  33988  ig1pmindeg  34012  vietalem  34089  exsslsb  34107  oddpwdc  34865  eulerpartlemb  34879  sseqfn  34901  sseqf  34903  signsplypnf  35058  signstcl  35073  signstf  35074  signstfvn  35077  signstfvneq0  35080  fsum2dsub  35115  reprsuc  35123  breprexplema  35138  breprexplemc  35140  subfacval2  35766  subfaclim  35767  cvmliftlem7  35870  fwddifnp1  36745  knoppcnlem6  37195  knoppcnlem8  37197  knoppcnlem9  37198  knoppcnlem11  37200  knoppcn  37201  knoppndvlem4  37212  knoppndvlem6  37214  knoppf  37232  poimirlem3  38372  poimirlem4  38373  poimirlem18  38387  poimirlem21  38390  poimirlem22  38391  poimirlem25  38394  poimirlem26  38395  poimirlem27  38396  heiborlem4  38564  heiborlem6  38566  lcmfunnnd  42878  mapfzcons  43561  irrapxlem1  43663  ltrmynn0  43789  ltrmxnn0  43790  acongeq  43824  jm2.23  43837  jm2.26lem3  43842  dfrtrcl3  44573  radcnvrat  45138  bcc0  45164  dvradcnv2  45171  binomcxplemnn0  45173  binomcxplemrat  45174  binomcxplemradcnv  45176  binomcxplemnotnn0  45180  fzssnn0  46149  rexanuz2nf  46320  expfac  46485  dvnmptdivc  46766  dvnmul  46771  dvnprodlem3  46776  stoweidlem17  46845  stoweidlem34  46862  stirlinglem5  46906  stirlinglem7  46908  fourierdlem15  46950  fourierdlem25  46960  fourierdlem48  46982  fourierdlem49  46983  fourierdlem50  46984  fourierdlem52  46986  fourierdlem54  46988  fourierdlem64  46998  fourierdlem65  46999  fourierdlem81  47015  fourierdlem92  47026  fourierdlem102  47036  fourierdlem103  47037  fourierdlem104  47038  fourierdlem113  47047  fourierdlem114  47048  elaa2lem  47061  etransclem4  47066  etransclem10  47072  etransclem14  47076  etransclem15  47077  etransclem23  47085  etransclem24  47086  etransclem31  47093  etransclem32  47094  etransclem35  47097  etransclem44  47106  etransclem46  47108  etransclem48  47110  ssnn0ssfz  49279  itcoval1  49593  itcoval2  49594  itcoval3  49595  itcovalsuc  49597  ackvalsuc1mpt  49608  aacllem  50772