Theorem nn0uz 12769

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 12496	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 12474	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 12729	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2757	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  0cc0 11001   ≤ cle 11142  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  ℤ_≥cuz 12727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728

This theorem is referenced by:  elnn0uz  12772  2eluzge0  12774  eluznn0  12810  nn0inf  12823  fseq1p1m1  13493  fznn0sub2  13530  nn0split  13538  prednn0  13547  fzossnn0  13585  fzennn  13870  hashgf1o  13873  exple1  14079  faclbnd4lem1  14195  bcval5  14220  bcpasc  14223  hashfzo0  14332  hashf1  14359  ccatval2  14480  ccatass  14491  ccatrn  14492  swrdccat2  14572  wrdeqs1cat  14622  cats1un  14623  splfv2a  14658  splval2  14659  revccat  14668  cats1fv  14761  binom1dif  15735  isumnn0nn  15744  climcndslem1  15751  climcnds  15753  harmonic  15761  arisum2  15763  explecnv  15767  geoser  15769  pwdif  15770  geolim  15772  geolim2  15773  geomulcvg  15778  geoisum  15779  geoisumr  15780  mertenslem1  15786  mertenslem2  15787  mertens  15788  fallfacfwd  15938  0fallfac  15939  binomfallfaclem2  15942  bpolylem  15950  bpolysum  15955  bpolydiflem  15956  fsumkthpow  15958  bpoly2  15959  bpoly3  15960  bpoly4  15961  efcllem  15979  ef0lem  15980  eff  15983  efcvg  15987  efcvgfsum  15988  reefcl  15989  ege2le3  15992  efcj  15994  eftlcvg  16010  eftlub  16013  effsumlt  16015  ef4p  16017  efgt1p2  16018  efgt1p  16019  eflegeo  16025  eirrlem  16108  ruclem6  16139  ruclem7  16140  divalglem2  16301  divalglem5  16303  bitsfzolem  16340  bitsfzo  16341  bitsfi  16343  bitsinv1lem  16347  bitsinv1  16348  bitsinvp1  16355  sadcf  16359  sadcp1  16361  sadadd  16373  sadass  16377  bitsres  16379  smupf  16384  smupp1  16386  smuval2  16388  smupval  16394  smueqlem  16396  smumul  16399  alginv  16481  algcvg  16482  algcvga  16485  algfx  16486  eucalgcvga  16492  eucalg  16493  phiprmpw  16682  prmdiv  16691  iserodd  16742  pcfac  16806  prmreclem2  16824  prmreclem4  16826  vdwapun  16881  vdwlem1  16888  ramcl2lem  16916  ramtcl  16917  ramtub  16919  chnccats1  18526  gsumwsubmcl  18740  gsumws1  18741  gsumsgrpccat  18743  gsumwmhm  18748  psgnunilem2  19402  psgnunilem4  19404  sylow1lem1  19505  efginvrel2  19634  efgredleme  19650  efgredlemc  19652  efgcpbllemb  19662  frgpuplem  19679  telgsumfz0s  19898  telgsums  19900  pgpfaclem1  19990  psrbaglefi  21858  ltbwe  21974  pmatcollpw3fi1lem1  22696  chfacfisf  22764  chfacfisfcpmat  22765  iscmet3lem3  25212  dyadmax  25521  mbfi1fseqlem3  25640  itgcnlem  25713  dvnff  25847  dvnp1  25849  dvn2bss  25854  cpncn  25860  dveflem  25905  ig1peu  26102  ig1pdvds  26107  ply1termlem  26130  plyeq0lem  26137  plyaddlem1  26140  plymullem1  26141  coeeulem  26151  dgrcl  26160  dgrub  26161  dgrlb  26163  coeid3  26167  plyco  26168  coeeq2  26169  coefv0  26175  coemulhi  26181  coemulc  26182  dvply1  26213  vieta1lem2  26241  vieta1  26242  elqaalem2  26250  elqaalem3  26251  geolim3  26269  dvntaylp  26301  taylthlem1  26303  radcnvlem1  26344  radcnvlem2  26345  radcnvlem3  26346  radcnv0  26347  radcnvlt2  26350  dvradcnv  26352  pserulm  26353  psercn2  26354  psercn2OLD  26355  pserdvlem2  26360  pserdv2  26362  abelthlem4  26366  abelthlem5  26367  abelthlem6  26368  abelthlem7  26370  abelthlem8  26371  abelthlem9  26372  advlogexp  26586  logtayllem  26590  logtayl  26591  cxpeq  26689  leibpi  26874  leibpisum  26875  log2cnv  26876  log2tlbnd  26877  log2ublem2  26879  birthdaylem3  26885  wilthlem2  27001  ftalem1  27005  ftalem5  27009  basellem2  27014  basellem3  27015  basellem5  27017  musum  27123  0sgmppw  27131  1sgmprm  27132  chtublem  27144  logexprlim  27158  lgseisenlem1  27308  lgsquadlem2  27314  dchrisumlem1  27422  dchrisumlem2  27423  dchrisum0flblem1  27441  ostth2lem3  27568  tgcgr4  28504  clwwlknonex2lem1  30079  eupth2lems  30210  fz2ssnn0  32760  nn0split01  32792  ccatws1f1o  32924  gsumwrd2dccat  33039  cycpmco2rn  33086  cycpmco2lem6  33092  evl1deg1  33531  evl1deg2  33532  evl1deg3  33533  ig1pmindeg  33554  exsslsb  33601  oddpwdc  34359  eulerpartlemb  34373  sseqfn  34395  sseqf  34397  signsplypnf  34555  signstcl  34570  signstf  34571  signstfvn  34574  signstfvneq0  34577  fsum2dsub  34612  reprsuc  34620  breprexplema  34635  breprexplemc  34637  subfacval2  35223  subfaclim  35224  cvmliftlem7  35327  fwddifnp1  36199  knoppcnlem6  36532  knoppcnlem8  36534  knoppcnlem9  36535  knoppcnlem11  36537  knoppcn  36538  knoppndvlem4  36549  knoppndvlem6  36551  knoppf  36569  poimirlem3  37663  poimirlem4  37664  poimirlem18  37678  poimirlem21  37681  poimirlem22  37682  poimirlem25  37685  poimirlem26  37686  poimirlem27  37687  heiborlem4  37854  heiborlem6  37856  lcmfunnnd  42045  mapfzcons  42749  irrapxlem1  42855  ltrmynn0  42981  ltrmxnn0  42982  acongeq  43016  jm2.23  43029  jm2.26lem3  43034  dfrtrcl3  43766  radcnvrat  44347  bcc0  44373  dvradcnv2  44380  binomcxplemnn0  44382  binomcxplemrat  44383  binomcxplemradcnv  44385  binomcxplemnotnn0  44389  fzssnn0  45357  rexanuz2nf  45530  expfac  45695  dvnmptdivc  45976  dvnmul  45981  dvnprodlem3  45986  stoweidlem17  46055  stoweidlem34  46072  stirlinglem5  46116  stirlinglem7  46118  fourierdlem15  46160  fourierdlem25  46170  fourierdlem48  46192  fourierdlem49  46193  fourierdlem50  46194  fourierdlem52  46196  fourierdlem54  46198  fourierdlem64  46208  fourierdlem65  46209  fourierdlem81  46225  fourierdlem92  46236  fourierdlem102  46246  fourierdlem103  46247  fourierdlem104  46248  fourierdlem113  46257  fourierdlem114  46258  elaa2lem  46271  etransclem4  46276  etransclem10  46282  etransclem14  46286  etransclem15  46287  etransclem23  46295  etransclem24  46296  etransclem31  46303  etransclem32  46304  etransclem35  46307  etransclem44  46316  etransclem46  46318  etransclem48  46320  ssnn0ssfz  48380  itcoval1  48695  itcoval2  48696  itcoval3  48697  itcovalsuc  48699  ackvalsuc1mpt  48710  aacllem  49833