Theorem nn0uz 12796

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 12523	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 12501	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 12756	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2755	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3396   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  0cc0 11028   ≤ cle 11169  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755

This theorem is referenced by:  elnn0uz  12799  2eluzge0  12801  eluznn0  12837  nn0inf  12850  fseq1p1m1  13520  fznn0sub2  13557  nn0split  13565  prednn0  13574  fzossnn0  13612  fzennn  13894  hashgf1o  13897  exple1  14103  faclbnd4lem1  14219  bcval5  14244  bcpasc  14247  hashfzo0  14356  hashf1  14383  ccatval2  14504  ccatass  14514  ccatrn  14515  swrdccat2  14595  wrdeqs1cat  14645  cats1un  14646  splfv2a  14681  splval2  14682  revccat  14691  cats1fv  14785  binom1dif  15759  isumnn0nn  15768  climcndslem1  15775  climcnds  15777  harmonic  15785  arisum2  15787  explecnv  15791  geoser  15793  pwdif  15794  geolim  15796  geolim2  15797  geomulcvg  15802  geoisum  15803  geoisumr  15804  mertenslem1  15810  mertenslem2  15811  mertens  15812  fallfacfwd  15962  0fallfac  15963  binomfallfaclem2  15966  bpolylem  15974  bpolysum  15979  bpolydiflem  15980  fsumkthpow  15982  bpoly2  15983  bpoly3  15984  bpoly4  15985  efcllem  16003  ef0lem  16004  eff  16007  efcvg  16011  efcvgfsum  16012  reefcl  16013  ege2le3  16016  efcj  16018  eftlcvg  16034  eftlub  16037  effsumlt  16039  ef4p  16041  efgt1p2  16042  efgt1p  16043  eflegeo  16049  eirrlem  16132  ruclem6  16163  ruclem7  16164  divalglem2  16325  divalglem5  16327  bitsfzolem  16364  bitsfzo  16365  bitsfi  16367  bitsinv1lem  16371  bitsinv1  16372  bitsinvp1  16379  sadcf  16383  sadcp1  16385  sadadd  16397  sadass  16401  bitsres  16403  smupf  16408  smupp1  16410  smuval2  16412  smupval  16418  smueqlem  16420  smumul  16423  alginv  16505  algcvg  16506  algcvga  16509  algfx  16510  eucalgcvga  16516  eucalg  16517  phiprmpw  16706  prmdiv  16715  iserodd  16766  pcfac  16830  prmreclem2  16848  prmreclem4  16850  vdwapun  16905  vdwlem1  16912  ramcl2lem  16940  ramtcl  16941  ramtub  16943  gsumwsubmcl  18730  gsumws1  18731  gsumsgrpccat  18733  gsumwmhm  18738  psgnunilem2  19393  psgnunilem4  19395  sylow1lem1  19496  efginvrel2  19625  efgredleme  19641  efgredlemc  19643  efgcpbllemb  19653  frgpuplem  19670  telgsumfz0s  19889  telgsums  19891  pgpfaclem1  19981  psrbaglefi  21852  ltbwe  21968  pmatcollpw3fi1lem1  22690  chfacfisf  22758  chfacfisfcpmat  22759  iscmet3lem3  25207  dyadmax  25516  mbfi1fseqlem3  25635  itgcnlem  25708  dvnff  25842  dvnp1  25844  dvn2bss  25849  cpncn  25855  dveflem  25900  ig1peu  26097  ig1pdvds  26102  ply1termlem  26125  plyeq0lem  26132  plyaddlem1  26135  plymullem1  26136  coeeulem  26146  dgrcl  26155  dgrub  26156  dgrlb  26158  coeid3  26162  plyco  26163  coeeq2  26164  coefv0  26170  coemulhi  26176  coemulc  26177  dvply1  26208  vieta1lem2  26236  vieta1  26237  elqaalem2  26245  elqaalem3  26246  geolim3  26264  dvntaylp  26296  taylthlem1  26298  radcnvlem1  26339  radcnvlem2  26340  radcnvlem3  26341  radcnv0  26342  radcnvlt2  26345  dvradcnv  26347  pserulm  26348  psercn2  26349  psercn2OLD  26350  pserdvlem2  26355  pserdv2  26357  abelthlem4  26361  abelthlem5  26362  abelthlem6  26363  abelthlem7  26365  abelthlem8  26366  abelthlem9  26367  advlogexp  26581  logtayllem  26585  logtayl  26586  cxpeq  26684  leibpi  26869  leibpisum  26870  log2cnv  26871  log2tlbnd  26872  log2ublem2  26874  birthdaylem3  26880  wilthlem2  26996  ftalem1  27000  ftalem5  27004  basellem2  27009  basellem3  27010  basellem5  27012  musum  27118  0sgmppw  27126  1sgmprm  27127  chtublem  27139  logexprlim  27153  lgseisenlem1  27303  lgsquadlem2  27309  dchrisumlem1  27417  dchrisumlem2  27418  dchrisum0flblem1  27436  ostth2lem3  27563  tgcgr4  28495  clwwlknonex2lem1  30070  eupth2lems  30201  fz2ssnn0  32747  nn0split01  32781  ccatws1f1o  32912  chnccats1  32976  gsumwrd2dccat  33039  cycpmco2rn  33086  cycpmco2lem6  33092  evl1deg1  33530  evl1deg2  33531  evl1deg3  33532  ig1pmindeg  33553  exsslsb  33582  oddpwdc  34341  eulerpartlemb  34355  sseqfn  34377  sseqf  34379  signsplypnf  34537  signstcl  34552  signstf  34553  signstfvn  34556  signstfvneq0  34559  fsum2dsub  34594  reprsuc  34602  breprexplema  34617  breprexplemc  34619  subfacval2  35179  subfaclim  35180  cvmliftlem7  35283  fwddifnp1  36158  knoppcnlem6  36491  knoppcnlem8  36493  knoppcnlem9  36494  knoppcnlem11  36496  knoppcn  36497  knoppndvlem4  36508  knoppndvlem6  36510  knoppf  36528  poimirlem3  37622  poimirlem4  37623  poimirlem18  37637  poimirlem21  37640  poimirlem22  37641  poimirlem25  37644  poimirlem26  37645  poimirlem27  37646  heiborlem4  37813  heiborlem6  37815  lcmfunnnd  42005  mapfzcons  42709  irrapxlem1  42815  ltrmynn0  42941  ltrmxnn0  42942  acongeq  42976  jm2.23  42989  jm2.26lem3  42994  dfrtrcl3  43726  radcnvrat  44307  bcc0  44333  dvradcnv2  44340  binomcxplemnn0  44342  binomcxplemrat  44343  binomcxplemradcnv  44345  binomcxplemnotnn0  44349  fzssnn0  45318  rexanuz2nf  45491  expfac  45658  dvnmptdivc  45939  dvnmul  45944  dvnprodlem3  45949  stoweidlem17  46018  stoweidlem34  46035  stirlinglem5  46079  stirlinglem7  46081  fourierdlem15  46123  fourierdlem25  46133  fourierdlem48  46155  fourierdlem49  46156  fourierdlem50  46157  fourierdlem52  46159  fourierdlem54  46161  fourierdlem64  46171  fourierdlem65  46172  fourierdlem81  46188  fourierdlem92  46199  fourierdlem102  46209  fourierdlem103  46210  fourierdlem104  46211  fourierdlem113  46220  fourierdlem114  46221  elaa2lem  46234  etransclem4  46239  etransclem10  46245  etransclem14  46249  etransclem15  46250  etransclem23  46258  etransclem24  46259  etransclem31  46266  etransclem32  46267  etransclem35  46270  etransclem44  46279  etransclem46  46281  etransclem48  46283  ssnn0ssfz  48353  itcoval1  48668  itcoval2  48669  itcoval3  48670  itcovalsuc  48672  ackvalsuc1mpt  48683  aacllem  49806