Theorem nn0uz 12945

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 12672	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 12650	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 12905	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2771	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  0cc0 11184   ≤ cle 11325  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  elnn0uz  12948  2eluzge0  12958  eluznn0  12982  nn0inf  12995  fseq1p1m1  13658  fznn0sub2  13692  nn0split  13700  prednn0  13709  fzossnn0  13747  fzennn  14019  hashgf1o  14022  exple1  14226  faclbnd4lem1  14342  bcval5  14367  bcpasc  14370  hashfzo0  14479  hashf1  14506  ccatval2  14626  ccatass  14636  ccatrn  14637  swrdccat2  14717  wrdeqs1cat  14768  cats1un  14769  splfv2a  14804  splval2  14805  revccat  14814  cats1fv  14908  binom1dif  15881  isumnn0nn  15890  climcndslem1  15897  climcnds  15899  harmonic  15907  arisum2  15909  explecnv  15913  geoser  15915  pwdif  15916  geolim  15918  geolim2  15919  geomulcvg  15924  geoisum  15925  geoisumr  15926  mertenslem1  15932  mertenslem2  15933  mertens  15934  fallfacfwd  16084  0fallfac  16085  binomfallfaclem2  16088  bpolylem  16096  bpolysum  16101  bpolydiflem  16102  fsumkthpow  16104  bpoly2  16105  bpoly3  16106  bpoly4  16107  efcllem  16125  ef0lem  16126  eff  16129  efcvg  16133  efcvgfsum  16134  reefcl  16135  ege2le3  16138  efcj  16140  eftlcvg  16154  eftlub  16157  effsumlt  16159  ef4p  16161  efgt1p2  16162  efgt1p  16163  eflegeo  16169  eirrlem  16252  ruclem6  16283  ruclem7  16284  divalglem2  16443  divalglem5  16445  bitsfzolem  16480  bitsfzo  16481  bitsfi  16483  bitsinv1lem  16487  bitsinv1  16488  bitsinvp1  16495  sadcf  16499  sadcp1  16501  sadadd  16513  sadass  16517  bitsres  16519  smupf  16524  smupp1  16526  smuval2  16528  smupval  16534  smueqlem  16536  smumul  16539  alginv  16622  algcvg  16623  algcvga  16626  algfx  16627  eucalgcvga  16633  eucalg  16634  phiprmpw  16823  prmdiv  16832  iserodd  16882  pcfac  16946  prmreclem2  16964  prmreclem4  16966  vdwapun  17021  vdwlem1  17028  ramcl2lem  17056  ramtcl  17057  ramtub  17059  gsumwsubmcl  18872  gsumws1  18873  gsumsgrpccat  18875  gsumwmhm  18880  psgnunilem2  19537  psgnunilem4  19539  sylow1lem1  19640  efginvrel2  19769  efgredleme  19785  efgredlemc  19787  efgcpbllemb  19797  frgpuplem  19814  telgsumfz0s  20033  telgsums  20035  pgpfaclem1  20125  psrbaglefi  21969  ltbwe  22085  pmatcollpw3fi1lem1  22813  chfacfisf  22881  chfacfisfcpmat  22882  iscmet3lem3  25343  dyadmax  25652  mbfi1fseqlem3  25772  itgcnlem  25845  dvnff  25979  dvnp1  25981  dvn2bss  25986  cpncn  25992  dveflem  26037  ig1peu  26234  ig1pdvds  26239  ply1termlem  26262  plyeq0lem  26269  plyaddlem1  26272  plymullem1  26273  coeeulem  26283  dgrcl  26292  dgrub  26293  dgrlb  26295  coeid3  26299  plyco  26300  coeeq2  26301  coefv0  26307  coemulhi  26313  coemulc  26314  dvply1  26343  vieta1lem2  26371  vieta1  26372  elqaalem2  26380  elqaalem3  26381  geolim3  26399  dvntaylp  26431  taylthlem1  26433  radcnvlem1  26474  radcnvlem2  26475  radcnvlem3  26476  radcnv0  26477  radcnvlt2  26480  dvradcnv  26482  pserulm  26483  psercn2  26484  psercn2OLD  26485  pserdvlem2  26490  pserdv2  26492  abelthlem4  26496  abelthlem5  26497  abelthlem6  26498  abelthlem7  26500  abelthlem8  26501  abelthlem9  26502  advlogexp  26715  logtayllem  26719  logtayl  26720  cxpeq  26818  leibpi  27003  leibpisum  27004  log2cnv  27005  log2tlbnd  27006  log2ublem2  27008  birthdaylem3  27014  wilthlem2  27130  ftalem1  27134  ftalem5  27138  basellem2  27143  basellem3  27144  basellem5  27146  musum  27252  0sgmppw  27260  1sgmprm  27261  chtublem  27273  logexprlim  27287  lgseisenlem1  27437  lgsquadlem2  27443  dchrisumlem1  27551  dchrisumlem2  27552  dchrisum0flblem1  27570  ostth2lem3  27697  tgcgr4  28557  clwwlknonex2lem1  30139  eupth2lems  30270  fz2ssnn0  32790  nn0split01  32821  ccatws1f1o  32918  cycpmco2rn  33118  cycpmco2lem6  33124  evl1deg1  33566  evl1deg2  33567  evl1deg3  33568  ig1pmindeg  33587  oddpwdc  34319  eulerpartlemb  34333  sseqfn  34355  sseqf  34357  signsplypnf  34527  signstcl  34542  signstf  34543  signstfvn  34546  signstfvneq0  34549  fsum2dsub  34584  reprsuc  34592  breprexplema  34607  breprexplemc  34609  subfacval2  35155  subfaclim  35156  cvmliftlem7  35259  fwddifnp1  36129  knoppcnlem6  36464  knoppcnlem8  36466  knoppcnlem9  36467  knoppcnlem11  36469  knoppcn  36470  knoppndvlem4  36481  knoppndvlem6  36483  knoppf  36501  poimirlem3  37583  poimirlem4  37584  poimirlem18  37598  poimirlem21  37601  poimirlem22  37602  poimirlem25  37605  poimirlem26  37606  poimirlem27  37607  heiborlem4  37774  heiborlem6  37776  lcmfunnnd  41969  mapfzcons  42672  irrapxlem1  42778  ltrmynn0  42905  ltrmxnn0  42906  acongeq  42940  jm2.23  42953  jm2.26lem3  42958  dfrtrcl3  43695  radcnvrat  44283  bcc0  44309  dvradcnv2  44316  binomcxplemnn0  44318  binomcxplemrat  44319  binomcxplemradcnv  44321  binomcxplemnotnn0  44325  fzssnn0  45232  rexanuz2nf  45408  expfac  45578  dvnmptdivc  45859  dvnmul  45864  dvnprodlem3  45869  stoweidlem17  45938  stoweidlem34  45955  stirlinglem5  45999  stirlinglem7  46001  fourierdlem15  46043  fourierdlem25  46053  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem50  46077  fourierdlem52  46079  fourierdlem54  46081  fourierdlem64  46091  fourierdlem65  46092  fourierdlem81  46108  fourierdlem92  46119  fourierdlem102  46129  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem113  46140  fourierdlem114  46141  elaa2lem  46154  etransclem4  46159  etransclem10  46165  etransclem14  46169  etransclem15  46170  etransclem23  46178  etransclem24  46179  etransclem31  46186  etransclem32  46187  etransclem35  46190  etransclem44  46199  etransclem46  46201  etransclem48  46203  ssnn0ssfz  48074  itcoval1  48397  itcoval2  48398  itcoval3  48399  itcovalsuc  48401  ackvalsuc1mpt  48412  aacllem  48895