Theorem nn0uz 13041

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 12763	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 12742	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 13005	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2789	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   class class class wbr 5106  ‘cfv 6564  0cc0 11237   ≤ cle 11381  ℕ₀cn0 12644  ℤcz 12731  ℤ_≥cuz 13003

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004

This theorem is used by:  elnn0uz  13044  2eluzge0  13046  eluznn0  13082  nn0inf  13095  fseq1p1m1  13770  fznn0sub2  13807  nn0split  13815  prednn0  13824  fzossnn0  13863  fzennn  14149  hashgf1o  14152  exple1  14358  faclbnd4lem1  14476  bcval5  14501  bcpasc  14504  hashfzo0  14614  hashf1  14641  ccatval2  14762  ccatass  14773  ccatrn  14774  swrdccat2  14859  wrdeqs1cat  14909  cats1un  14910  splfv2a  14945  splval2  14946  revccat  14955  cats1fv  15050  binom1dif  16043  isumnn0nn  16052  climcndslem1  16059  climcnds  16061  harmonic  16069  arisum2  16071  explecnv  16075  geoser  16077  pwdif  16078  geolim  16080  geolim2  16081  geomulcvg  16086  geoisum  16087  geoisumr  16088  mertenslem1  16094  mertenslem2  16095  mertens  16096  fallfacfwd  16243  0fallfac  16244  binomfallfaclem2  16247  bpolylem  16255  bpolysum  16260  bpolydiflem  16261  fsumkthpow  16263  bpoly2  16264  bpoly3  16265  bpoly4  16266  efcllem  16284  ef0lem  16285  eff  16288  efcvg  16292  efcvgfsum  16293  reefcl  16294  ege2le3  16297  efcj  16299  eftlcvg  16315  eftlub  16318  effsumlt  16320  ef4p  16322  efgt1p2  16323  efgt1p  16324  eflegeo  16330  eirrlem  16413  ruclem6  16444  ruclem7  16445  divalglem2  16606  divalglem5  16608  bitsfzolem  16645  bitsfzo  16646  bitsfi  16648  bitsinv1lem  16652  bitsinv1  16653  bitsinvp1  16660  sadcf  16664  sadcp1  16666  sadadd  16678  sadass  16682  bitsres  16684  smupf  16689  smupp1  16691  smuval2  16693  smupval  16699  smueqlem  16701  smumul  16704  alginv  16791  algcvg  16792  algcvga  16795  algfx  16796  eucalgcvga  16802  eucalg  16803  phiprmpw  16994  prmdiv  17003  iserodd  17054  pcfac  17118  prmreclem2  17136  prmreclem4  17138  vdwapun  17193  vdwlem1  17200  ramcl2lem  17228  ramtcl  17229  ramtub  17231  chnccats1  18840  gsumwsubmcl  19074  gsumws1  19075  gsumsgrpccat  19077  gsumwmhm  19082  psgnunilem2  19751  psgnunilem4  19753  sylow1lem1  19854  efginvrel2  19983  efgredleme  19999  efgredlemc  20001  efgcpbllemb  20011  frgpuplem  20028  telgsumfz0s  20247  telgsums  20249  pgpfaclem1  20339  psrbaglefi  22278  ltbwe  22397  pmatcollpw3fi1lem1  23148  chfacfisf  23216  chfacfisfcpmat  23217  iscmet3lem3  25655  dyadmax  25963  mbfi1fseqlem3  26082  itgcnlem  26154  dvnff  26287  dvnp1  26289  dvn2bss  26294  cpncn  26300  dveflem  26343  ig1peu  26537  ig1pdvds  26542  ply1termlem  26565  plyeq0lem  26573  plyaddlem1  26576  plymullem1  26577  coeeulem  26587  dgrcl  26596  dgrub  26597  dgrlb  26599  coeid3  26603  plyco  26604  coeeq2  26605  coefv0  26611  coemulhi  26617  coemulc  26618  dvply1  26649  vieta1lem2  26678  vieta1  26679  elqaalem2  26689  elqaalem3  26690  geolim3  26712  dvntaylp  26744  taylthlem1  26746  radcnvlem1  26786  radcnvlem2  26787  radcnvlem3  26788  radcnv0  26789  radcnvlt2  26792  dvradcnv  26794  pserulm  26795  psercn2  26796  pserdvlem2  26801  pserdv2  26803  abelthlem4  26807  abelthlem5  26808  abelthlem6  26809  abelthlem7  26811  abelthlem8  26812  abelthlem9  26813  advlogexp  27029  logtayllem  27033  logtayl  27034  cxpeq  27131  leibpi  27316  leibpisum  27317  log2cnv  27318  log2tlbnd  27319  log2ublem2  27321  birthdaylem3  27327  wilthlem2  27442  ftalem1  27446  ftalem5  27450  basellem2  27455  basellem3  27456  basellem5  27458  musum  27564  0sgmppw  27571  1sgmprm  27572  chtublem  27584  logexprlim  27598  lgseisenlem1  27748  lgsquadlem2  27754  dchrisumlem1  27862  dchrisumlem2  27863  dchrisum0flblem1  27881  ostth2lem3  28008  tgcgr4  29040  clwwlknonex2lem1  30744  eupth2lems  30885  fz2ssnn0  33463  nn0diffz0  33472  nn0split01  33495  ccatws1f1o  33600  ltwenn0  33625  gsummulsubdishift1  33718  gsumwrd2dccat  33728  cycpmco2rn  33775  cycpmco2lem6  33781  evl1deg1  34204  evl1deg2  34205  evl1deg3  34206  ig1pmindeg  34230  vietalem  34315  exsslsb  34333  oddpwdc  35090  eulerpartlemb  35104  sseqfn  35126  sseqf  35128  signsplypnf  35283  signstcl  35298  signstf  35299  signstfvn  35302  signstfvneq0  35305  fsum2dsub  35340  reprsuc  35348  breprexplema  35363  breprexplemc  35365  subfacval2  36153  subfaclim  36154  cvmliftlem7  36257  fwddifnp1  37138  knoppcnlem6  37572  knoppcnlem8  37574  knoppcnlem9  37575  knoppcnlem11  37577  knoppcn  37578  knoppndvlem4  37589  knoppndvlem6  37591  knoppf  37609  poimirlem3  38802  poimirlem4  38803  poimirlem18  38817  poimirlem21  38820  poimirlem22  38821  poimirlem25  38824  poimirlem26  38825  poimirlem27  38826  heiborlem4  39007  heiborlem6  39009  lcmfunnnd  43321  mapfzcons  43987  irrapxlem1  44089  ltrmynn0  44215  ltrmxnn0  44216  acongeq  44250  jm2.23  44263  jm2.26lem3  44268  dfrtrcl3  44988  radcnvrat  45553  bcc0  45579  dvradcnv2  45586  binomcxplemnn0  45588  binomcxplemrat  45589  binomcxplemradcnv  45591  binomcxplemnotnn0  45595  fzssnn0  46598  rexanuz2nf  46769  expfac  46934  dvnmptdivc  47215  dvnmul  47220  dvnprodlem3  47225  stoweidlem17  47294  stoweidlem34  47311  stirlinglem5  47355  stirlinglem7  47357  fourierdlem15  47399  fourierdlem25  47409  fourierdlem48  47431  fourierdlem49  47432  fourierdlem50  47433  fourierdlem52  47435  fourierdlem54  47437  fourierdlem64  47447  fourierdlem65  47448  fourierdlem81  47464  fourierdlem92  47475  fourierdlem102  47485  fourierdlem103  47486  fourierdlem104  47487  fourierdlem113  47496  fourierdlem114  47497  elaa2lem  47510  etransclem4  47515  etransclem10  47521  etransclem14  47525  etransclem15  47526  etransclem23  47534  etransclem24  47535  etransclem31  47542  etransclem32  47543  etransclem35  47546  etransclem44  47555  etransclem46  47557  etransclem48  47559  ssnn0ssfz  49786  itcoval1  50100  itcoval2  50101  itcoval3  50102  itcovalsuc  50104  ackvalsuc1mpt  50115  aacllem  51361