MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkiswwlks2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkiswwlks2lem2 27019
Description: Lemma 2 for wlkiswwlks2 27024. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkiswwlks2lem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlks2lem2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem wlkiswwlks2lem2
StepHypRef Expression
1 wlkiswwlks2lem.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
21a1i 11 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))
3 fveq2 6417 . . . . 5 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐼))
4 fvoveq1 6906 . . . . 5 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
53, 4preq12d 4478 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
65fveq2d 6421 . . 3 (𝑥 = 𝐼 → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
76adantl 469 . 2 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
8 simpr 473 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
9 fvexd 6432 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}) ∈ V)
102, 7, 8, 9fvmptd 6518 1 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  Vcvv 3402  {cpr 4383  cmpt 4934  ccnv 5323  cfv 6110  (class class class)co 6883  0cc0 10230  1c1 10231   + caddc 10233  cmin 10560  0cn0 11578  ..^cfzo 12708  chash 13356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pr 5109
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5232  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fv 6118  df-ov 6886
This theorem is referenced by:  wlkiswwlks2lem4  27021
  Copyright terms: Public domain W3C validator