MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkiswwlks2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkiswwlks2lem2 28701
Description: Lemma 2 for wlkiswwlks2 28706. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkiswwlks2lem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlks2lem2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem wlkiswwlks2lem2
StepHypRef Expression
1 wlkiswwlks2lem.f . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
2 fveq2 6839 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐼))
3 fvoveq1 7376 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
42, 3preq12d 4700 . . 3 (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
54fveq2d 6843 . 2 (𝑥 = 𝐼 → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
6 simpr 485 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
7 fvexd 6854 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}) ∈ V)
81, 5, 6, 7fvmptd3 6968 1 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  {cpr 4586  cmpt 5186  ccnv 5630  cfv 6493  (class class class)co 7353  0cc0 11047  1c1 11048   + caddc 11050  cmin 11381  0cn0 12409  ..^cfzo 13559  chash 14222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7356
This theorem is referenced by:  wlkiswwlks2lem4  28703
  Copyright terms: Public domain W3C validator