MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkiswwlks2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkiswwlks2lem2 27563
Description: Lemma 2 for wlkiswwlks2 27568. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkiswwlks2lem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlks2lem2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem wlkiswwlks2lem2
StepHypRef Expression
1 wlkiswwlks2lem.f . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
2 fveq2 6666 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐼))
3 fvoveq1 7174 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
42, 3preq12d 4675 . . 3 (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
54fveq2d 6670 . 2 (𝑥 = 𝐼 → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
6 simpr 485 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
7 fvexd 6681 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}) ∈ V)
81, 5, 6, 7fvmptd3 6786 1 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106  Vcvv 3499  {cpr 4565  cmpt 5142  ccnv 5552  cfv 6351  (class class class)co 7151  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  cmin 10862  0cn0 11889  ..^cfzo 13026  chash 13683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pr 5325
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fv 6359  df-ov 7154
This theorem is referenced by:  wlkiswwlks2lem4  27565
  Copyright terms: Public domain W3C validator