Theorem wlkiswwlks2lem4 30221

Description: Lemma 4 for wlkiswwlks2 30224. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.) (Revised by AV, 10-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkiswwlks2lem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
wlkiswwlks2lem.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkiswwlks2lem4	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑃,𝑖   𝑖,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem wlkiswwlks2lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkiswwlks2lem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
2	1	wlkiswwlks2lem1 30218	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
3	2	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
4		lencl 14566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
6	1	wlkiswwlks2lem2 30219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐹‘𝑖) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
7	5, 6	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐹‘𝑖) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
8	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐹‘𝑖) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
9	8	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐸‘(◡𝐸‘{(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
10		wlkiswwlks2lem.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
11	10	uspgrf1oedg 29523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
12	10	rneqi 5927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran 𝐸 = ran (iEdg‘𝐺)
13		edgval 29399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
14	12, 13	eqtr4i 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐸 = (Edg‘𝐺)
15		f1oeq3 6810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ran 𝐸 = (Edg‘𝐺) → (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
17	11, 16	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
18	17	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
19	18	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
20		f1ocnvfv2 7275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(◡𝐸‘{(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
21	19, 20	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(◡𝐸‘{(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
22	9, 21	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
23	22	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
24	23	ralimdva 3177	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
25		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
26	25	raleqdv 3323	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
27	26	imbi2d 343	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
28	24, 27	imbitrrid 249	. 2 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
29	3, 28	mpcom 39	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {cpr 4591   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661  ran crn 5662  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   ≤ cle 11239   − cmin 11436  ℕ₀cn0 12499  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546  iEdgciedg 29347  Edgcedg 29397  USPGraphcuspgr 29498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-edg 29398  df-uspgr 29500

This theorem is referenced by:  wlkiswwlks2lem6  30223