Theorem wlkiswwlks2lem4 29902

Description: Lemma 4 for wlkiswwlks2 29905. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.) (Revised by AV, 10-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkiswwlks2lem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
wlkiswwlks2lem.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkiswwlks2lem4	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑃,𝑖   𝑖,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem wlkiswwlks2lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkiswwlks2lem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
2	1	wlkiswwlks2lem1 29899	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
3	2	3adant1 1129	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
4		lencl 14568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
6	1	wlkiswwlks2lem2 29900	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐹‘𝑖) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
7	5, 6	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐹‘𝑖) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐹‘𝑖) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
9	8	fveq2d 6911	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐸‘(◡𝐸‘{(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
10		wlkiswwlks2lem.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
11	10	uspgrf1oedg 29205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
12	10	rneqi 5951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran 𝐸 = ran (iEdg‘𝐺)
13		edgval 29081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
14	12, 13	eqtr4i 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐸 = (Edg‘𝐺)
15		f1oeq3 6839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ran 𝐸 = (Edg‘𝐺) → (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
17	11, 16	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
18	17	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
20		f1ocnvfv2 7297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(◡𝐸‘{(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
21	19, 20	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(◡𝐸‘{(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
22	9, 21	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
23	22	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
24	23	ralimdva 3165	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
25		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
26	25	raleqdv 3324	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
27	26	imbi2d 340	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
28	24, 27	imbitrrid 246	. 2 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
29	3, 28	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {cpr 4633   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕ₀cn0 12524  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549  iEdgciedg 29029  Edgcedg 29079  USPGraphcuspgr 29180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-edg 29080  df-uspgr 29182

This theorem is referenced by:  wlkiswwlks2lem6  29904