MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkiswwlks2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkiswwlks2lem4 28703
Description: Lemma 4 for wlkiswwlks2 28706. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.) (Revised by AV, 10-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkiswwlks2lem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
wlkiswwlks2lem.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlks2lem4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑃,𝑖   𝑖,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem wlkiswwlks2lem4
StepHypRef Expression
1 wlkiswwlks2lem.f . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
21wlkiswwlks2lem1 28700 . . 3 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
323adant1 1130 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
4 lencl 14413 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
543ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
61wlkiswwlks2lem2 28701 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐹𝑖) = (𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
75, 6sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐹𝑖) = (𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
87adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐹𝑖) = (𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
98fveq2d 6843 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
10 wlkiswwlks2lem.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
1110uspgrf1oedg 28010 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺))
1210rneqi 5890 . . . . . . . . . . . 12 ran 𝐸 = ran (iEdg‘𝐺)
13 edgval 27886 . . . . . . . . . . . 12 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
1412, 13eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐸 = (Edg‘𝐺)
15 f1oeq3 6771 . . . . . . . . . . 11 (ran 𝐸 = (Edg‘𝐺) → (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺))
1711, 16sylibr 233 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
18173ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
1918adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
20 f1ocnvfv2 7219 . . . . . . 7 ((𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
2119, 20sylan 580 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
229, 21eqtrd 2776 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
2322ex 413 . . . 4 (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
2423ralimdva 3162 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
25 oveq2 7361 . . . . 5 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
2625raleqdv 3311 . . . 4 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
2726imbi2d 340 . . 3 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
2824, 27syl5ibr 245 . 2 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
293, 28mpcom 38 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  {cpr 4586   class class class wbr 5103  cmpt 5186  ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632  1-1-ontowf1o 6492  cfv 6493  (class class class)co 7353  0cc0 11047  1c1 11048   + caddc 11050  cle 11186  cmin 11381  0cn0 12409  ..^cfzo 13559  chash 14222  Word cword 14394  iEdgciedg 27834  Edgcedg 27884  USPGraphcuspgr 27985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-hash 14223  df-word 14395  df-edg 27885  df-uspgr 27987
This theorem is referenced by:  wlkiswwlks2lem6  28705
  Copyright terms: Public domain W3C validator