MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkiswwlks2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkiswwlks2lem4 29892
Description: Lemma 4 for wlkiswwlks2 29895. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.) (Revised by AV, 10-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkiswwlks2lem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
wlkiswwlks2lem.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlks2lem4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑃,𝑖   𝑖,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem wlkiswwlks2lem4
StepHypRef Expression
1 wlkiswwlks2lem.f . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
21wlkiswwlks2lem1 29889 . . 3 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
323adant1 1131 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
4 lencl 14571 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
543ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
61wlkiswwlks2lem2 29890 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐹𝑖) = (𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
75, 6sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝐹𝑖) = (𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
87adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐹𝑖) = (𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
98fveq2d 6910 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
10 wlkiswwlks2lem.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
1110uspgrf1oedg 29190 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺))
1210rneqi 5948 . . . . . . . . . . . 12 ran 𝐸 = ran (iEdg‘𝐺)
13 edgval 29066 . . . . . . . . . . . 12 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
1412, 13eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐸 = (Edg‘𝐺)
15 f1oeq3 6838 . . . . . . . . . . 11 (ran 𝐸 = (Edg‘𝐺) → (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺))
1711, 16sylibr 234 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
18173ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
1918adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
20 f1ocnvfv2 7297 . . . . . . 7 ((𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
2119, 20sylan 580 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
229, 21eqtrd 2777 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
2322ex 412 . . . 4 (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
2423ralimdva 3167 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
25 oveq2 7439 . . . . 5 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
2625raleqdv 3326 . . . 4 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
2726imbi2d 340 . . 3 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
2824, 27imbitrrid 246 . 2 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
293, 28mpcom 38 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cle 11296  cmin 11492  0cn0 12526  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  iEdgciedg 29014  Edgcedg 29064  USPGraphcuspgr 29165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-edg 29065  df-uspgr 29167
This theorem is referenced by:  wlkiswwlks2lem6  29894
  Copyright terms: Public domain W3C validator