Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkiswwlks2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkiswwlks2 27181
 Description: A walk as word corresponds to the sequence of vertices in a walk in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 10-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlks2 (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺   𝑃,𝑓

Proof of Theorem wlkiswwlks2
Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21wwlkbp 27147 . . 3 (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
3 eqid 2825 . . . . 5 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
41, 3iswwlks 27142 . . . 4 (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
5 ovex 6942 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∈ V
6 mptexg 6745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∈ V → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ V)
75, 6mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ V)
8 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) → 𝐺 ∈ USPGraph)
9 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
10 hashge1 13475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝑃))
1110ancoms 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 1 ≤ (♯‘𝑃))
1211adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) → 1 ≤ (♯‘𝑃))
138, 9, 123jca 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) → (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)))
1413adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)))
15 edgval 26354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
1716eleq2d 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
1817ralbidv 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
1918biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
20 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
21 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2220, 21wlkiswwlks2lem6 27180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
2314, 19, 22sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
24 eleq1 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)))
25 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (♯‘𝑓) = (♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))
2625oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (0...(♯‘𝑓)) = (0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))))
2726feq2d 6268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺)))
2825oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))))
29 fveq1 6436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (𝑓𝑖) = ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖))
3029fveqeq2d 6445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
3128, 30raleqbidv 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
3224, 27, 313anbi123d 1564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → ((𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
3332imbi2d 332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
3433adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
3523, 34mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
367, 35spcimedv 3509 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
3736ex 403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
3837com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
39383impia 1149 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4039expd 406 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
4140impcom 398 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4241imp 397 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
43 uspgrupgr 26482 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
441, 21upgriswlk 26945 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4645adantl 475 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4746exbidv 2020 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → (∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4842, 47mpbird 249 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)
4948ex 403 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
5049ex 403 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)))
514, 50syl5bi 234 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)))
522, 51mpcom 38 . 2 (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
5352com12 32 1 (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656  ∃wex 1878   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  Vcvv 3414  ∅c0 4146  {cpr 4401   class class class wbr 4875   ↦ cmpt 4954  ◡ccnv 5345  dom cdm 5346  ran crn 5347  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   ≤ cle 10399   − cmin 10592  ...cfz 12626  ..^cfzo 12767  ♯chash 13417  Word cword 13581  Vtxcvtx 26301  iEdgciedg 26302  Edgcedg 26352  UPGraphcupgr 26385  USPGraphcuspgr 26454  Walkscwlks 26901  WWalkscwwlks 27131 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-ifp 1090  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-hash 13418  df-word 13582  df-edg 26353  df-uhgr 26363  df-upgr 26387  df-uspgr 26456  df-wlks 26904  df-wwlks 27136 This theorem is referenced by:  wlkiswwlks  27182  wlklnwwlkln2  27190
 Copyright terms: Public domain W3C validator