MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkiswwlks2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkiswwlks2 27805
Description: A walk as word corresponds to the sequence of vertices in a walk in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 10-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlks2 (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺   𝑃,𝑓

Proof of Theorem wlkiswwlks2
Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21wwlkbp 27771 . . 3 (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
3 eqid 2738 . . . . 5 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
41, 3iswwlks 27766 . . . 4 (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
5 ovex 7197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∈ V
6 mptexg 6988 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∈ V → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ V)
75, 6mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ V)
8 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) → 𝐺 ∈ USPGraph)
9 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
10 hashge1 13835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝑃))
1110ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 1 ≤ (♯‘𝑃))
1211adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) → 1 ≤ (♯‘𝑃))
138, 9, 123jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) → (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)))
1413adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)))
15 edgval 26986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
1716eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
1817ralbidv 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
1918biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
20 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
21 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2220, 21wlkiswwlks2lem6 27804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
2314, 19, 22sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
24 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)))
25 fveq2 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (♯‘𝑓) = (♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))
2625oveq2d 7180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (0...(♯‘𝑓)) = (0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))))
2726feq2d 6484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺)))
2825oveq2d 7180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))))
29 fveq1 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (𝑓𝑖) = ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖))
3029fveqeq2d 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
3128, 30raleqbidv 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
3224, 27, 313anbi123d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → ((𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
3332imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
3433adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
3523, 34mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
367, 35spcimedv 3497 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
3736ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
3837com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
39383impia 1118 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4039expd 419 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
4140impcom 411 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4241imp 410 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
43 uspgrupgr 27113 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
441, 21upgriswlk 27574 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4645adantl 485 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4746exbidv 1927 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → (∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4842, 47mpbird 260 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)
4948ex 416 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
5049ex 416 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)))
514, 50syl5bi 245 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)))
522, 51mpcom 38 . 2 (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
5352com12 32 1 (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  Vcvv 3397  c0 4209  {cpr 4515   class class class wbr 5027  cmpt 5107  ccnv 5518  dom cdm 5519  ran crn 5520  wf 6329  cfv 6333  (class class class)co 7164  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611  cle 10747  cmin 10941  ...cfz 12974  ..^cfzo 13117  chash 13775  Word cword 13948  Vtxcvtx 26933  iEdgciedg 26934  Edgcedg 26984  UPGraphcupgr 27017  USPGraphcuspgr 27085  Walkscwlks 27530  WWalkscwwlks 27755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-oadd 8128  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-dju 9396  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-n0 11970  df-xnn0 12042  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-hash 13776  df-word 13949  df-edg 26985  df-uhgr 26995  df-upgr 27019  df-uspgr 27087  df-wlks 27533  df-wwlks 27760
This theorem is referenced by:  wlkiswwlks  27806  wlklnwwlkln2  27813
  Copyright terms: Public domain W3C validator