Theorem wlkiswwlks2lem3 30325

Description: Lemma 3 for wlkiswwlks2 30329. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkiswwlks2lem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))

Assertion

Ref	Expression
wlkiswwlks2lem3	⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem wlkiswwlks2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkiswwlks2lem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
2	1	wlkiswwlks2lem1 30323	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
3		wrdf 14585	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉)
4		lencl 14600	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
5		nn0z 12642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
6		fzoval 13717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1)))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1)))
8		oveq2 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) = (♯‘𝐹) → (0...((♯‘𝑃) − 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
9	8	eqcoms 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (0...((♯‘𝑃) − 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
10	7, 9	sylan9eq 2817	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝐹)))
11	10	feq2d 6690	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉 ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
12	11	biimpcd 252	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
13	12	expd 421	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)))
14	3, 4, 13	sylc 66	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
15	14	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
16	2, 15	mpd 16	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   ≤ cle 11271   − cmin 11468  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ...cfz 13563  ..^cfzo 13711  ♯chash 14396  Word cword 14580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581

This theorem is used by:  wlkiswwlks2lem6  30328