Theorem wlkiswwlks2lem3 29900

Description: Lemma 3 for wlkiswwlks2 29904. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkiswwlks2lem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))

Assertion

Ref	Expression
wlkiswwlks2lem3	⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem wlkiswwlks2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkiswwlks2lem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
2	1	wlkiswwlks2lem1 29898	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
3		wrdf 14553	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉)
4		lencl 14567	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
5		nn0z 12635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
6		fzoval 13696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1)))
8		oveq2 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) = (♯‘𝐹) → (0...((♯‘𝑃) − 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
9	8	eqcoms 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (0...((♯‘𝑃) − 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
10	7, 9	sylan9eq 2794	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝐹)))
11	10	feq2d 6722	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉 ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
12	11	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
13	12	expd 415	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)))
14	3, 4, 13	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
15	14	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
16	2, 15	mpd 15	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {cpr 4632   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5687  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   ≤ cle 11293   − cmin 11489  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690  ♯chash 14365  Word cword 14548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549

This theorem is referenced by:  wlkiswwlks2lem6  29903