Theorem wlkiswwlks2lem3 27357

Description: Lemma 3 for wlkiswwlks2 27361. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkiswwlks2lem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))

Assertion

Ref	Expression
wlkiswwlks2lem3	⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem wlkiswwlks2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkiswwlks2lem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
2	1	wlkiswwlks2lem1 27355	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
3		wrdf 13677	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉)
4		lencl 13694	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
5		nn0z 11818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
6		fzoval 12855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1)))
8		oveq2 6984	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) = (♯‘𝐹) → (0...((♯‘𝑃) − 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
9	8	eqcoms 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (0...((♯‘𝑃) − 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
10	7, 9	sylan9eq 2835	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝐹)))
11	10	feq2d 6330	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉 ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
12	11	biimpcd 241	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
13	12	expd 408	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)))
14	3, 4, 13	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
15	14	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
16	2, 15	mpd 15	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  {cpr 4443   class class class wbr 4929   ↦ cmpt 5008  ^◡ccnv 5406  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   ≤ cle 10475   − cmin 10670  ℕ₀cn0 11707  ℤcz 11793  ...cfz 12708  ..^cfzo 12849  ♯chash 13505  Word cword 13672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-hash 13506  df-word 13673

This theorem is referenced by:  wlkiswwlks2lem6  27360