MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkiswwlks2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkiswwlks2lem1 28175
Description: Lemma 1 for wlkiswwlks2 28181. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkiswwlks2lem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlks2lem1 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
Distinct variable group:   𝑥,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem wlkiswwlks2lem1
StepHypRef Expression
1 lencl 14180 . . . 4 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
2 elnnnn0c 12224 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)))
32biimpri 227 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
41, 3sylan 579 . . 3 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
5 nnm1nn0 12220 . . 3 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
64, 5syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
7 fvex 6774 . . 3 (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ V
8 wlkiswwlks2lem.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
97, 8fnmpti 6565 . 2 𝐹 Fn (0..^((♯‘𝑃) − 1))
10 ffzo0hash 14105 . 2 ((((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0𝐹 Fn (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
116, 9, 10sylancl 585 1 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  {cpr 4565   class class class wbr 5075  cmpt 5158  ccnv 5584   Fn wfn 6418  cfv 6423  (class class class)co 7260  0cc0 10818  1c1 10819   + caddc 10821  cle 10957  cmin 11151  cn 11919  0cn0 12179  ..^cfzo 13327  chash 13988  Word cword 14161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-1o 8272  df-er 8461  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-fin 8700  df-card 9644  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-nn 11920  df-n0 12180  df-z 12266  df-uz 12528  df-fz 13185  df-fzo 13328  df-hash 13989  df-word 14162
This theorem is referenced by:  wlkiswwlks2lem3  28177  wlkiswwlks2lem4  28178
  Copyright terms: Public domain W3C validator