Theorem zeroo2 49803

Description: A zero object is an object in the base set. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
initoo2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
zeroo2	⊢ (𝑂 ∈ (ZeroO‘𝐶) → 𝑂 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem zeroo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeroorcl 18001	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ (ZeroO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		iszeroi 18018	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (ZeroO‘𝐶)) → (𝑂 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑂 ∈ (InitO‘𝐶) ∧ 𝑂 ∈ (TermO‘𝐶))))
3	2	simpld 497	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (ZeroO‘𝐶)) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐶))
4	1, 3	mpancom 696	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ (ZeroO‘𝐶) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐶))
5		initoo2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
6	4, 5	eleqtrrdi 2867	1 ⊢ (𝑂 ∈ (ZeroO‘𝐶) → 𝑂 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ‘cfv 6510  Basecbs 17221  Catccat 17672  InitOcinito 17990  TermOctermo 17991  ZeroOczeroo 17992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5384

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fv 6518  df-ov 7388  df-inito 17993  df-zeroo 17995

This theorem is referenced by:  oppczeroo  49806