Theorem zeroo2 49479

Description: A zero object is an object in the base set. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
initoo2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
zeroo2	⊢ (𝑂 ∈ (ZeroO‘𝐶) → 𝑂 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem zeroo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeroorcl 17916	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ (ZeroO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		iszeroi 17933	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (ZeroO‘𝐶)) → (𝑂 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑂 ∈ (InitO‘𝐶) ∧ 𝑂 ∈ (TermO‘𝐶))))
3	2	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (ZeroO‘𝐶)) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐶))
4	1, 3	mpancom 688	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ (ZeroO‘𝐶) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐶))
5		initoo2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
6	4, 5	eleqtrrdi 2847	1 ⊢ (𝑂 ∈ (ZeroO‘𝐶) → 𝑂 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  Catccat 17587  InitOcinito 17905  TermOctermo 17906  ZeroOczeroo 17907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-inito 17908  df-zeroo 17910

This theorem is referenced by:  oppczeroo  49482