Theorem oppczeroo 50466

Description: Zero objects are zero in the opposite category. Remark 7.8 of [Adamek] p. 103. (Contributed by Zhi Wang, 27-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppczeroo	⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)))

Proof of Theorem oppczeroo

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeroorcl 18174	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		zeroorcl 18174	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	3, 4	oppcbas 17899	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(oppCat‘𝐶))
6	5	zeroo2 50463	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
7		elfvex 6923	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (Base‘𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ∈ V)
9	3, 8	oppccatb 50237	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
10	6, 7, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
11	2, 10	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
12		oppcinito 50464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝑐 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
13	12	eqriv 2757	. . . . . 6 ⊢ (InitO‘𝐶) = (TermO‘(oppCat‘𝐶))
14		oppctermo 50465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑐 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
15	14	eqriv 2757	. . . . . 6 ⊢ (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶))
16	13, 15	ineq12i 4114	. . . . 5 ⊢ ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)) = ((TermO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
17		incom 4105	. . . . 5 ⊢ ((TermO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (InitO‘(oppCat‘𝐶))) = ((InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
18	16, 17	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)) = ((InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
19		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
20		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
21	19, 4, 20	zerooval 18177	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (ZeroO‘𝐶) = ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)))
22	3	oppccat 17903	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
23		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝐶)) = (Hom ‘(oppCat‘𝐶))
24	22, 5, 23	zerooval 18177	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) = ((InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (TermO‘(oppCat‘𝐶))))
25	18, 21, 24	3eqtr4a 2821	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (ZeroO‘𝐶) = (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)))
26	25	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶))))
27	1, 11, 26	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∩ cin 4088  ‘cfv 6541  Basecbs 17394  Hom chom 17446  Catccat 17845  oppCatcoppc 17892  InitOcinito 18163  TermOctermo 18164  ZeroOczeroo 18165

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8248  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-hom 17459  df-cco 17460  df-cat 17849  df-cid 17850  df-homf 17851  df-comf 17852  df-oppc 17893  df-inito 18166  df-termo 18167  df-zeroo 18168

This theorem is used by: (None)