Theorem oppczeroo 49895

Description: Zero objects are zero in the opposite category. Remark 7.8 of [Adamek] p. 103. (Contributed by Zhi Wang, 27-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppczeroo	⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)))

Proof of Theorem oppczeroo

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeroorcl 18045	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		zeroorcl 18045	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
3		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	3, 4	oppcbas 17770	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(oppCat‘𝐶))
6	5	zeroo2 49892	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
7		elfvex 6914	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (Base‘𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ∈ V)
9	3, 8	oppccatb 49674	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
10	6, 7, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
11	2, 10	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
12		oppcinito 49893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝑐 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
13	12	eqriv 2766	. . . . . 6 ⊢ (InitO‘𝐶) = (TermO‘(oppCat‘𝐶))
14		oppctermo 49894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑐 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
15	14	eqriv 2766	. . . . . 6 ⊢ (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶))
16	13, 15	ineq12i 4179	. . . . 5 ⊢ ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)) = ((TermO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
17		incom 4170	. . . . 5 ⊢ ((TermO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (InitO‘(oppCat‘𝐶))) = ((InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
18	16, 17	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)) = ((InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
19		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
20		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
21	19, 4, 20	zerooval 18048	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (ZeroO‘𝐶) = ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)))
22	3	oppccat 17774	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
23		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝐶)) = (Hom ‘(oppCat‘𝐶))
24	22, 5, 23	zerooval 18048	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) = ((InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (TermO‘(oppCat‘𝐶))))
25	18, 21, 24	3eqtr4a 2830	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (ZeroO‘𝐶) = (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)))
26	25	eleq2d 2855	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶))))
27	1, 11, 26	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∩ cin 3912  ‘cfv 6534  Basecbs 17265  Hom chom 17317  Catccat 17716  oppCatcoppc 17763  InitOcinito 18034  TermOctermo 18035  ZeroOczeroo 18036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-hom 17330  df-cco 17331  df-cat 17720  df-cid 17721  df-homf 17722  df-comf 17723  df-oppc 17764  df-inito 18037  df-termo 18038  df-zeroo 18039

This theorem is referenced by: (None)