Theorem oppczeroo 50048

Description: Zero objects are zero in the opposite category. Remark 7.8 of [Adamek] p. 103. (Contributed by Zhi Wang, 27-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppczeroo	⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)))

Proof of Theorem oppczeroo

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeroorcl 18067	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		zeroorcl 18067	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
3		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	3, 4	oppcbas 17792	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(oppCat‘𝐶))
6	5	zeroo2 50045	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
7		elfvex 6920	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (Base‘𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ∈ V)
9	3, 8	oppccatb 49827	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
10	6, 7, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
11	2, 10	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
12		oppcinito 50046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝑐 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
13	12	eqriv 2762	. . . . . 6 ⊢ (InitO‘𝐶) = (TermO‘(oppCat‘𝐶))
14		oppctermo 50047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑐 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
15	14	eqriv 2762	. . . . . 6 ⊢ (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶))
16	13, 15	ineq12i 4171	. . . . 5 ⊢ ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)) = ((TermO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
17		incom 4162	. . . . 5 ⊢ ((TermO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (InitO‘(oppCat‘𝐶))) = ((InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
18	16, 17	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)) = ((InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
19		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
20		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
21	19, 4, 20	zerooval 18070	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (ZeroO‘𝐶) = ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)))
22	3	oppccat 17796	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
23		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝐶)) = (Hom ‘(oppCat‘𝐶))
24	22, 5, 23	zerooval 18070	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) = ((InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (TermO‘(oppCat‘𝐶))))
25	18, 21, 24	3eqtr4a 2826	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (ZeroO‘𝐶) = (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)))
26	25	eleq2d 2851	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶))))
27	1, 11, 26	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∩ cin 3905  ‘cfv 6540  Basecbs 17287  Hom chom 17339  Catccat 17738  oppCatcoppc 17785  InitOcinito 18056  TermOctermo 18057  ZeroOczeroo 18058

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-hom 17352  df-cco 17353  df-cat 17742  df-cid 17743  df-homf 17744  df-comf 17745  df-oppc 17786  df-inito 18059  df-termo 18060  df-zeroo 18061

This theorem is used by: (None)