Theorem oppczeroo 49806

Description: Zero objects are zero in the opposite category. Remark 7.8 of [Adamek] p. 103. (Contributed by Zhi Wang, 27-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppczeroo	⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)))

Proof of Theorem oppczeroo

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeroorcl 18001	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		zeroorcl 18001	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
3		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	3, 4	oppcbas 17726	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(oppCat‘𝐶))
6	5	zeroo2 49803	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
7		elfvex 6891	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (Base‘𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ∈ V)
9	3, 8	oppccatb 49585	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
10	6, 7, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
11	2, 10	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
12		oppcinito 49804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝑐 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
13	12	eqriv 2753	. . . . . 6 ⊢ (InitO‘𝐶) = (TermO‘(oppCat‘𝐶))
14		oppctermo 49805	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑐 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
15	14	eqriv 2753	. . . . . 6 ⊢ (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶))
16	13, 15	ineq12i 4165	. . . . 5 ⊢ ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)) = ((TermO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
17		incom 4156	. . . . 5 ⊢ ((TermO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (InitO‘(oppCat‘𝐶))) = ((InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
18	16, 17	eqtri 2779	. . . 4 ⊢ ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)) = ((InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
19		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
20		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
21	19, 4, 20	zerooval 18004	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (ZeroO‘𝐶) = ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)))
22	3	oppccat 17730	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
23		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝐶)) = (Hom ‘(oppCat‘𝐶))
24	22, 5, 23	zerooval 18004	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) = ((InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (TermO‘(oppCat‘𝐶))))
25	18, 21, 24	3eqtr4a 2817	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (ZeroO‘𝐶) = (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)))
26	25	eleq2d 2842	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶))))
27	1, 11, 26	pm5.21nii 380	1 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2136  Vcvv 3448   ∩ cin 3898  ‘cfv 6510  Basecbs 17221  Hom chom 17273  Catccat 17672  oppCatcoppc 17719  InitOcinito 17990  TermOctermo 17991  ZeroOczeroo 17992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8194  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-hom 17286  df-cco 17287  df-cat 17676  df-cid 17677  df-homf 17678  df-comf 17679  df-oppc 17720  df-inito 17993  df-termo 17994  df-zeroo 17995

This theorem is referenced by: (None)