Theorem oppczeroo 49727

Description: Zero objects are zero in the opposite category. Remark 7.8 of [Adamek] p. 103. (Contributed by Zhi Wang, 27-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppczeroo	⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)))

Proof of Theorem oppczeroo

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeroorcl 17950	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		zeroorcl 17950	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
3		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	3, 4	oppcbas 17675	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(oppCat‘𝐶))
6	5	zeroo2 49724	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
7		elfvex 6862	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (Base‘𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ∈ V)
9	3, 8	oppccatb 49506	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
10	6, 7, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
11	2, 10	mpbird 258	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
12		oppcinito 49725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝑐 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
13	12	eqriv 2736	. . . . . 6 ⊢ (InitO‘𝐶) = (TermO‘(oppCat‘𝐶))
14		oppctermo 49726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝑐 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
15	14	eqriv 2736	. . . . . 6 ⊢ (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶))
16	13, 15	ineq12i 4147	. . . . 5 ⊢ ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)) = ((TermO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
17		incom 4138	. . . . 5 ⊢ ((TermO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (InitO‘(oppCat‘𝐶))) = ((InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
18	16, 17	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)) = ((InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
19		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
20		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
21	19, 4, 20	zerooval 17953	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (ZeroO‘𝐶) = ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)))
22	3	oppccat 17679	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
23		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝐶)) = (Hom ‘(oppCat‘𝐶))
24	22, 5, 23	zerooval 17953	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)) = ((InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∩ (TermO‘(oppCat‘𝐶))))
25	18, 21, 24	3eqtr4a 2800	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (ZeroO‘𝐶) = (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)))
26	25	eleq2d 2825	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶))))
27	1, 11, 26	pm5.21nii 379	1 ⊢ (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (ZeroO‘(oppCat‘𝐶)))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∩ cin 3882  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  Hom chom 17222  Catccat 17621  oppCatcoppc 17668  InitOcinito 17939  TermOctermo 17940  ZeroOczeroo 17941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-cat 17625  df-cid 17626  df-homf 17627  df-comf 17628  df-oppc 17669  df-inito 17942  df-termo 17943  df-zeroo 17944

This theorem is referenced by: (None)