Theorem oppcinito 49206

Description: Initial objects are terminal in the opposite category. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppcinito	⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))

Proof of Theorem oppcinito

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		initorcl 17958	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		termorcl 17959	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	3, 4	oppcbas 17685	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(oppCat‘𝐶))
6	5	termoo2 49204	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
7		elfvex 6898	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (Base‘𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ∈ V)
9	3, 8	oppccatb 48993	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
10	6, 7, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
11	2, 10	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
12		2fveq3 6865	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (TermO‘(oppCat‘𝑐)) = (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
13		dfinito2 17971	. . . 4 ⊢ InitO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (TermO‘(oppCat‘𝑐)))
14		fvex 6873	. . . 4 ⊢ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 6970	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (InitO‘𝐶) = (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
16	15	eleq2d 2815	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶))))
17	1, 11, 16	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ‘cfv 6513  Basecbs 17185  Catccat 17631  oppCatcoppc 17678  InitOcinito 17949  TermOctermo 17950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-homf 17637  df-comf 17638  df-oppc 17679  df-inito 17952  df-termo 17953

This theorem is referenced by:  oppczeroo  49208