Theorem oppcinito 49794

Description: Initial objects are terminal in the opposite category. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppcinito	⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))

Proof of Theorem oppcinito

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		initorcl 17995	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		termorcl 17996	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
3		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	3, 4	oppcbas 17722	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(oppCat‘𝐶))
6	5	termoo2 49792	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
7		elfvex 6887	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (Base‘𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ∈ V)
9	3, 8	oppccatb 49575	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
10	6, 7, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
11	2, 10	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
12		2fveq3 6857	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (TermO‘(oppCat‘𝑐)) = (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
13		dfinito2 18008	. . . 4 ⊢ InitO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (TermO‘(oppCat‘𝑐)))
14		fvex 6865	. . . 4 ⊢ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 6960	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (InitO‘𝐶) = (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
16	15	eleq2d 2838	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶))))
17	1, 11, 16	pm5.21nii 380	1 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444  ‘cfv 6506  Basecbs 17217  Catccat 17668  oppCatcoppc 17715  InitOcinito 17986  TermOctermo 17987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-tpos 8190  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-hom 17282  df-cco 17283  df-cat 17672  df-cid 17673  df-homf 17674  df-comf 17675  df-oppc 17716  df-inito 17989  df-termo 17990

This theorem is referenced by:  oppczeroo  49796