Theorem oppcinito 50162

Description: Initial objects are terminal in the opposite category. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppcinito	⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))

Proof of Theorem oppcinito

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		initorcl 18080	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		termorcl 18081	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	3, 4	oppcbas 17807	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(oppCat‘𝐶))
6	5	termoo2 50160	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
7		elfvex 6914	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (Base‘𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ∈ V)
9	3, 8	oppccatb 49943	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
10	6, 7, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
11	2, 10	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
12		2fveq3 6884	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (TermO‘(oppCat‘𝑐)) = (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
13		dfinito2 18093	. . . 4 ⊢ InitO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (TermO‘(oppCat‘𝑐)))
14		fvex 6892	. . . 4 ⊢ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 6987	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (InitO‘𝐶) = (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
16	15	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶))))
17	1, 11, 16	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ‘cfv 6533  Basecbs 17302  Catccat 17753  oppCatcoppc 17800  InitOcinito 18071  TermOctermo 18072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-hom 17367  df-cco 17368  df-cat 17757  df-cid 17758  df-homf 17759  df-comf 17760  df-oppc 17801  df-inito 18074  df-termo 18075

This theorem is used by:  oppczeroo  50164