Theorem oppcinito 50496

Description: Initial objects are terminal in the opposite category. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppcinito	⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))

Proof of Theorem oppcinito

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		initorcl 18177	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		termorcl 18178	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	3, 4	oppcbas 17904	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(oppCat‘𝐶))
6	5	termoo2 50494	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
7		elfvex 6928	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (Base‘𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ∈ V)
9	3, 8	oppccatb 50269	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
10	6, 7, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
11	2, 10	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
12		2fveq3 6898	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (TermO‘(oppCat‘𝑐)) = (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
13		dfinito2 18190	. . . 4 ⊢ InitO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (TermO‘(oppCat‘𝑐)))
14		fvex 6906	. . . 4 ⊢ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 7001	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (InitO‘𝐶) = (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
16	15	eleq2d 2849	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶))))
17	1, 11, 16	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453  ‘cfv 6546  Basecbs 17399  Catccat 17850  oppCatcoppc 17897  InitOcinito 18168  TermOctermo 18169

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-hom 17464  df-cco 17465  df-cat 17854  df-cid 17855  df-homf 17856  df-comf 17857  df-oppc 17898  df-inito 18171  df-termo 18172

This theorem is used by:  oppczeroo  50498