Theorem oppcinito 49898

Description: Initial objects are terminal in the opposite category. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppcinito	⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))

Proof of Theorem oppcinito

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		initorcl 18047	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		termorcl 18048	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
3		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	3, 4	oppcbas 17774	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(oppCat‘𝐶))
6	5	termoo2 49896	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
7		elfvex 6917	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (Base‘𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ∈ V)
9	3, 8	oppccatb 49679	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
10	6, 7, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
11	2, 10	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
12		2fveq3 6887	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (TermO‘(oppCat‘𝑐)) = (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
13		dfinito2 18060	. . . 4 ⊢ InitO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (TermO‘(oppCat‘𝑐)))
14		fvex 6895	. . . 4 ⊢ (TermO‘(oppCat‘𝐶)) ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 6990	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (InitO‘𝐶) = (TermO‘(oppCat‘𝐶)))
16	15	eleq2d 2855	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶))))
17	1, 11, 16	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (TermO‘(oppCat‘𝐶)))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  Catccat 17720  oppCatcoppc 17767  InitOcinito 18038  TermOctermo 18039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-hom 17334  df-cco 17335  df-cat 17724  df-cid 17725  df-homf 17726  df-comf 17727  df-oppc 17768  df-inito 18041  df-termo 18042

This theorem is referenced by:  oppczeroo  49900