Theorem res0 4977

Description: A restriction to the empty set is empty. (Contributed by set.mm contributors, 12-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
res0	⊢ (A ↾ ∅) = ∅

Proof of Theorem res0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4788	. 2 ⊢ (A ↾ ∅) = (A ∩ (∅ × V))
2		xp0r 4842	. . 3 ⊢ (∅ × V) = ∅
3	2	ineq2i 3454	. 2 ⊢ (A ∩ (∅ × V)) = (A ∩ ∅)
4		in0 3576	. 2 ⊢ (A ∩ ∅) = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2377	1 ⊢ (A ↾ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1642  Vcvv 2859   ∩ cin 3208  ∅c0 3550   × cxp 4770   ↾ cres 4774

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-phi 4565  df-op 4566  df-opab 4623  df-xp 4784  df-res 4788

This theorem is referenced by:  ima0  5013  resdisj  5050