Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispi2 39584
Description: An alternative version of Wallis' formula for π ; this second formula uses factorials and it is later used to prove Stirling's approximation formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispi2.1 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
Assertion
Ref Expression
wallispi2 𝑉 ⇝ (π / 2)

Proof of Theorem wallispi2
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2626 . 2 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2 1cnd 10001 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3 2cnd 11038 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4 nncn 10973 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
53, 4mulcld 10005 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
65, 2addcld 10004 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
7 elnnuz 11668 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
87biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
9 eqidd 2627 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))
10 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → 𝑘 = 𝑚)
1110oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑚))
1211oveq1d 6620 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘)↑4) = ((2 · 𝑚)↑4))
1311oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑚) − 1))
1411, 13oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)))
1514oveq1d 6620 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2) = (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2))
1612, 15oveq12d 6623 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
17 elfznn 12309 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ)
18 2cnd 11038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℂ)
1917nncnd 10981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℂ)
2018, 19mulcld 10005 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21 4nn0 11256 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 4 ∈ ℕ0)
2320, 22expcld 12945 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚)↑4) ∈ ℂ)
24 1cnd 10001 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℂ)
2520, 24subcld 10337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ∈ ℂ)
2620, 25mulcld 10005 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
2726sqcld 12943 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ∈ ℂ)
28 2ne0 11058 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ≠ 0)
3017nnne0d 11010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ≠ 0)
3118, 19, 29, 30mulne0d 10624 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 0)
32 1red 10000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℝ)
33 2re 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
3534, 32remulcld 10015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ∈ ℝ)
3617nnred 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℝ)
3734, 36remulcld 10015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℝ)
38 1lt2 11139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < 2)
40 2t1e2 11121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 1) = 2
4139, 40syl6breqr 4660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 1))
42 0le2 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 2
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
44 elfzle1 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ≤ 𝑚)
4532, 36, 34, 43, 44lemul2ad 10909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑚))
4632, 35, 37, 41, 45ltletrd 10142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 𝑚))
4732, 46gtned 10117 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 1)
4820, 24, 47subne0d 10346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ≠ 0)
4920, 25, 31, 48mulne0d 10624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ≠ 0)
50 2z 11354 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℤ)
5226, 49, 51expne0d 12951 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ≠ 0)
5323, 27, 52divcld 10746 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)) ∈ ℂ)
549, 16, 17, 53fvmptd 6246 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
5554, 53eqeltrd 2704 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
5655adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
57 mulcl 9965 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
5857adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
598, 56, 58seqcl 12758 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) ∈ ℂ)
60 2nn 11130 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
62 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
6361, 62nnmulcld 11013 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
6463peano2nnd 10982 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
6564nnne0d 11010 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
662, 6, 59, 65div32d 10769 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))))
6759, 6, 65divcld 10746 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
6867mulid2d 10003 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
69 wallispi2lem2 39583 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) = (((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)))
7069oveq1d 6620 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7166, 68, 703eqtrd 2664 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7271mpteq2ia 4705 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
73 wallispi2lem1 39582 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
7473mpteq2ia 4705 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
75 wallispi2.1 . . 3 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7672, 74, 753eqtr4ri 2659 . 2 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛))
771, 76wallispi 39581 1 𝑉 ⇝ (π / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  cn 10965  2c2 11015  4c4 11017  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265  seqcseq 12738  cexp 12797  !cfa 12997  cli 14144  πcpi 14717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cc 9202  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-ofr 6852  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-omul 7511  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-shft 13736  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-ef 14718  df-sin 14720  df-cos 14721  df-pi 14723  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-cmp 21095  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-ovol 23135  df-vol 23136  df-mbf 23289  df-itg1 23290  df-itg2 23291  df-ibl 23292  df-itg 23293  df-0p 23338  df-limc 23531  df-dv 23532
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  39599
  Copyright terms: Public domain W3C validator