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Theorem 4fvwrd4 9857
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
Distinct variable groups:    P, a, b, c, d    V, a, b, c, d
Allowed substitution hints:    L( a, b, c, d)

Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  P : ( 0 ... L ) --> V )
2 0nn0 8943 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
3 elnn0uz 9312 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  <->  0  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
42, 3mpbi 144 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
5 3nn0 8946 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN0
6 elnn0uz 9312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  NN0  <->  3  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
75, 6mpbi 144 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
8 uzss 9295 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  0 ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  0 )
109sseli 3061 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  L  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
11 eluzfz 9741 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  0  e.  ( 0 ... L
) )
124, 10, 11sylancr 408 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  0  e.  ( 0 ... L
) )
1312adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  0  e.  ( 0 ... L ) )
141, 13ffvelrnd 5522 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
0 )  e.  V
)
15 risset 2438 . . . . . 6  |-  ( ( P `  0 )  e.  V  <->  E. a  e.  V  a  =  ( P `  0 ) )
16 eqcom 2117 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  0 )  =  a )
1716rexbii 2417 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  V  a  =  ( P ` 
0 )  <->  E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a )
1815, 17bitri 183 . . . . 5  |-  ( ( P `  0 )  e.  V  <->  E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a )
1914, 18sylib 121 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a )
20 1eluzge0 9318 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
21 1z 9031 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
22 3z 9034 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ZZ
23 1le3 8882 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <_  3
24 eluz2 9281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  1  <_ 
3 ) )
2521, 22, 23, 24mpbir3an 1146 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ( ZZ>= `  1 )
26 uzss 9295 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
2827sseli 3061 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  L  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
29 eluzfz 9741 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  1  e.  ( 0 ... L
) )
3020, 28, 29sylancr 408 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  e.  ( 0 ... L
) )
3130adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  1  e.  ( 0 ... L ) )
321, 31ffvelrnd 5522 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
1 )  e.  V
)
33 risset 2438 . . . . . 6  |-  ( ( P `  1 )  e.  V  <->  E. b  e.  V  b  =  ( P `  1 ) )
34 eqcom 2117 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  <->  ( P `  1 )  =  b )
3534rexbii 2417 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  V  b  =  ( P ` 
1 )  <->  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )
3633, 35bitri 183 . . . . 5  |-  ( ( P `  1 )  e.  V  <->  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )
3732, 36sylib 121 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )
3819, 37jca 302 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b ) )
39 2eluzge0 9319 . . . . . . 7  |-  2  e.  ( ZZ>= `  0 )
40 uzuzle23 9315 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  L  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
41 eluzfz 9741 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  2  e.  ( 0 ... L
) )
4239, 40, 41sylancr 408 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  e.  ( 0 ... L
) )
4342adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  2  e.  ( 0 ... L ) )
441, 43ffvelrnd 5522 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
2 )  e.  V
)
45 risset 2438 . . . . 5  |-  ( ( P `  2 )  e.  V  <->  E. c  e.  V  c  =  ( P `  2 ) )
46 eqcom 2117 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  <->  ( P `  2 )  =  c )
4746rexbii 2417 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  V  c  =  ( P ` 
2 )  <->  E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c )
4845, 47bitri 183 . . . 4  |-  ( ( P `  2 )  e.  V  <->  E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c )
4944, 48sylib 121 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c )
50 eluzfz 9741 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  3 )
)  ->  3  e.  ( 0 ... L
) )
517, 50mpan 418 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  e.  ( 0 ... L
) )
5251adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  3  e.  ( 0 ... L ) )
531, 52ffvelrnd 5522 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
3 )  e.  V
)
54 risset 2438 . . . . 5  |-  ( ( P `  3 )  e.  V  <->  E. d  e.  V  d  =  ( P `  3 ) )
55 eqcom 2117 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  <->  ( P `  3 )  =  d )
5655rexbii 2417 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  V  d  =  ( P ` 
3 )  <->  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )
5754, 56bitri 183 . . . 4  |-  ( ( P `  3 )  e.  V  <->  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )
5853, 57sylib 121 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )
5938, 49, 58jca32 306 . 2  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
60 r19.42v 2563 . . . . . 6  |-  ( E. d  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  E. d  e.  V  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
61 r19.42v 2563 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  V  ( ( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d )  <->  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )
6261anbi2i 450 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  E. d  e.  V  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
6360, 62bitri 183 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
6463rexbii 2417 . . . 4  |-  ( E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. c  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
65642rexbii 2419 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
66 r19.42v 2563 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  E. c  e.  V  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
67 r19.41v 2562 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  V  ( ( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )  <->  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )
6867anbi2i 450 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  E. c  e.  V  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  ( (
( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
6966, 68bitri 183 . . . 4  |-  ( E. c  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
70692rexbii 2419 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
71 r19.41v 2562 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( E. b  e.  V  ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
72 r19.42v 2563 . . . . . . 7  |-  ( E. b  e.  V  ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b )  <->  ( ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b ) )
7372anbi1i 451 . . . . . 6  |-  ( ( E. b  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
7471, 73bitri 183 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
7574rexbii 2417 . . . 4  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. a  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
76 r19.41v 2562 . . . 4  |-  ( E. a  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( E. a  e.  V  ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
77 r19.41v 2562 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  V  ( ( P `  0
)  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  <->  ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b ) )
7877anbi1i 451 . . . 4  |-  ( ( E. a  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
7975, 76, 783bitri 205 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
8065, 70, 793bitri 205 . 2  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
8159, 80sylibr 133 1  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   E.wrex 2392    C_ wss 3039   class class class wbr 3897   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   0cc0 7584   1c1 7585    <_ cle 7765   2c2 8728   3c3 8729   NN0cn0 8928   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275   ...cfz 9730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731
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