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Theorem 4fvwrd4 10496
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) )
Distinct variable groups:   P, a, b, c, d   V, a, b, c, d
Allowed substitution hints:   L( a, b, c, d)
Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> P : ( 0 ... L ) --> V )
2 0nn0 9528 . . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
3 elnn0uz 9910 . . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 <-> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
42, 3mpbi 145 . . . . . . . 8 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
5 3nn0 9531 . . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN0
6 elnn0uz 9910 . . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. NN0 <-> 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
75, 6mpbi 145 . . . . . . . . . 10 |- 3 e. ( ZZ>= ` 0 )
8 uzss 9893 . . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 )
109sseli 3238 . . . . . . . 8 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
11 eluzfz 10373 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
124, 10, 11sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
1312adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
141, 13ffvelcdmd 5818 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 0 ) e. V )
15 risset 2572 . . . . . 6 |- ( ( P ` 0 ) e. V <-> E. a e. V a = ( P ` 0 ) )
16 eqcom 2236 . . . . . . 7 |- ( a = ( P ` 0 ) <-> ( P ` 0 ) = a )
1716rexbii 2551 . . . . . 6 |- ( E. a e. V a = ( P ` 0 ) <-> E. a e. V ( P ` 0 ) = a )
1815, 17bitri 184 . . . . 5 |- ( ( P ` 0 ) e. V <-> E. a e. V ( P ` 0 ) = a )
1914, 18sylib 122 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V ( P ` 0 ) = a )
20 1eluzge0 9924 . . . . . . . 8 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
21 1z 9620 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
22 3z 9623 . . . . . . . . . . 11 |- 3 e. ZZ
23 1le3 9466 . . . . . . . . . . 11 |- 1 <_ 3
24 eluz2 9877 . . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ 1 <_ 3 ) )
2521, 22, 23, 24mpbir3an 1206 . . . . . . . . . 10 |- 3 e. ( ZZ>= ` 1 )
26 uzss 9893 . . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
2827sseli 3238 . . . . . . . 8 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 1 ) )
29 eluzfz 10373 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ( 0 ... L ) )
3020, 28, 29sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 e. ( 0 ... L ) )
3130adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 1 e. ( 0 ... L ) )
321, 31ffvelcdmd 5818 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. V )
33 risset 2572 . . . . . 6 |- ( ( P ` 1 ) e. V <-> E. b e. V b = ( P ` 1 ) )
34 eqcom 2236 . . . . . . 7 |- ( b = ( P ` 1 ) <-> ( P ` 1 ) = b )
3534rexbii 2551 . . . . . 6 |- ( E. b e. V b = ( P ` 1 ) <-> E. b e. V ( P ` 1 ) = b )
3633, 35bitri 184 . . . . 5 |- ( ( P ` 1 ) e. V <-> E. b e. V ( P ` 1 ) = b )
3732, 36sylib 122 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. b e. V ( P ` 1 ) = b )
3819, 37jca 306 . . 3 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) )
39 2eluzge0 9925 . . . . . . 7 |- 2 e. ( ZZ>= ` 0 )
40 uzuzle23 9912 . . . . . . 7 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 2 ) )
41 eluzfz 10373 . . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 2 e. ( 0 ... L ) )
4239, 40, 41sylancr 414 . . . . . 6 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 e. ( 0 ... L ) )
4342adantr 276 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 2 e. ( 0 ... L ) )
441, 43ffvelcdmd 5818 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. V )
45 risset 2572 . . . . 5 |- ( ( P ` 2 ) e. V <-> E. c e. V c = ( P ` 2 ) )
46 eqcom 2236 . . . . . 6 |- ( c = ( P ` 2 ) <-> ( P ` 2 ) = c )
4746rexbii 2551 . . . . 5 |- ( E. c e. V c = ( P ` 2 ) <-> E. c e. V ( P ` 2 ) = c )
4845, 47bitri 184 . . . 4 |- ( ( P ` 2 ) e. V <-> E. c e. V ( P ` 2 ) = c )
4944, 48sylib 122 . . 3 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. c e. V ( P ` 2 ) = c )
50 eluzfz 10373 . . . . . . 7 |- ( ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 3 e. ( 0 ... L ) )
517, 50mpan 424 . . . . . 6 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 e. ( 0 ... L ) )
5251adantr 276 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 3 e. ( 0 ... L ) )
531, 52ffvelcdmd 5818 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 3 ) e. V )
54 risset 2572 . . . . 5 |- ( ( P ` 3 ) e. V <-> E. d e. V d = ( P ` 3 ) )
55 eqcom 2236 . . . . . 6 |- ( d = ( P ` 3 ) <-> ( P ` 3 ) = d )
5655rexbii 2551 . . . . 5 |- ( E. d e. V d = ( P ` 3 ) <-> E. d e. V ( P ` 3 ) = d )
5754, 56bitri 184 . . . 4 |- ( ( P ` 3 ) e. V <-> E. d e. V ( P ` 3 ) = d )
5853, 57sylib 122 . . 3 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. d e. V ( P ` 3 ) = d )
5938, 49, 58jca32 310 . 2 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
60 r19.42v 2702 . . . . . 6 |- ( E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) )
61 r19.42v 2702 . . . . . . 7 |- ( E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) <-> ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) )
6261anbi2i 457 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
6360, 62bitri 184 . . . . 5 |- ( E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
6463rexbii 2551 . . . 4 |- ( E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
65642rexbii 2553 . . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
66 r19.42v 2702 . . . . 5 |- ( E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
67 r19.41v 2701 . . . . . 6 |- ( E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) <-> ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) )
6867anbi2i 457 . . . . 5 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
6966, 68bitri 184 . . . 4 |- ( E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
70692rexbii 2553 . . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
71 r19.41v 2701 . . . . . 6 |- ( E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
72 r19.42v 2702 . . . . . . 7 |- ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) <-> ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) )
7372anbi1i 458 . . . . . 6 |- ( ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
7471, 73bitri 184 . . . . 5 |- ( E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
7574rexbii 2551 . . . 4 |- ( E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
76 r19.41v 2701 . . . 4 |- ( E. a e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
77 r19.41v 2701 . . . . 5 |- ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) <-> ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) )
7877anbi1i 458 . . . 4 |- ( ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
7975, 76, 783bitri 206 . . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
8065, 70, 793bitri 206 . 2 |- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
8159, 80sylibr 134 1 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143   1c1 8144   <_ cle 8325   2c2 9305   3c3 9306   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362
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