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Theorem 4fvwrd4 10126
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) )
Distinct variable groups:   P, a, b, c, d   V, a, b, c, d
Allowed substitution hints:   L( a, b, c, d)
Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> P : ( 0 ... L ) --> V )
2 0nn0 9180 . . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
3 elnn0uz 9554 . . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 <-> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
42, 3mpbi 145 . . . . . . . 8 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
5 3nn0 9183 . . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN0
6 elnn0uz 9554 . . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. NN0 <-> 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
75, 6mpbi 145 . . . . . . . . . 10 |- 3 e. ( ZZ>= ` 0 )
8 uzss 9537 . . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 )
109sseli 3151 . . . . . . . 8 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
11 eluzfz 10006 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
124, 10, 11sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
1312adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
141, 13ffvelcdmd 5648 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 0 ) e. V )
15 risset 2505 . . . . . 6 |- ( ( P ` 0 ) e. V <-> E. a e. V a = ( P ` 0 ) )
16 eqcom 2179 . . . . . . 7 |- ( a = ( P ` 0 ) <-> ( P ` 0 ) = a )
1716rexbii 2484 . . . . . 6 |- ( E. a e. V a = ( P ` 0 ) <-> E. a e. V ( P ` 0 ) = a )
1815, 17bitri 184 . . . . 5 |- ( ( P ` 0 ) e. V <-> E. a e. V ( P ` 0 ) = a )
1914, 18sylib 122 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V ( P ` 0 ) = a )
20 1eluzge0 9563 . . . . . . . 8 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
21 1z 9268 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
22 3z 9271 . . . . . . . . . . 11 |- 3 e. ZZ
23 1le3 9119 . . . . . . . . . . 11 |- 1 <_ 3
24 eluz2 9523 . . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ 1 <_ 3 ) )
2521, 22, 23, 24mpbir3an 1179 . . . . . . . . . 10 |- 3 e. ( ZZ>= ` 1 )
26 uzss 9537 . . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
2827sseli 3151 . . . . . . . 8 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 1 ) )
29 eluzfz 10006 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ( 0 ... L ) )
3020, 28, 29sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 e. ( 0 ... L ) )
3130adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 1 e. ( 0 ... L ) )
321, 31ffvelcdmd 5648 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. V )
33 risset 2505 . . . . . 6 |- ( ( P ` 1 ) e. V <-> E. b e. V b = ( P ` 1 ) )
34 eqcom 2179 . . . . . . 7 |- ( b = ( P ` 1 ) <-> ( P ` 1 ) = b )
3534rexbii 2484 . . . . . 6 |- ( E. b e. V b = ( P ` 1 ) <-> E. b e. V ( P ` 1 ) = b )
3633, 35bitri 184 . . . . 5 |- ( ( P ` 1 ) e. V <-> E. b e. V ( P ` 1 ) = b )
3732, 36sylib 122 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. b e. V ( P ` 1 ) = b )
3819, 37jca 306 . . 3 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) )
39 2eluzge0 9564 . . . . . . 7 |- 2 e. ( ZZ>= ` 0 )
40 uzuzle23 9560 . . . . . . 7 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 2 ) )
41 eluzfz 10006 . . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 2 e. ( 0 ... L ) )
4239, 40, 41sylancr 414 . . . . . 6 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 e. ( 0 ... L ) )
4342adantr 276 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 2 e. ( 0 ... L ) )
441, 43ffvelcdmd 5648 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. V )
45 risset 2505 . . . . 5 |- ( ( P ` 2 ) e. V <-> E. c e. V c = ( P ` 2 ) )
46 eqcom 2179 . . . . . 6 |- ( c = ( P ` 2 ) <-> ( P ` 2 ) = c )
4746rexbii 2484 . . . . 5 |- ( E. c e. V c = ( P ` 2 ) <-> E. c e. V ( P ` 2 ) = c )
4845, 47bitri 184 . . . 4 |- ( ( P ` 2 ) e. V <-> E. c e. V ( P ` 2 ) = c )
4944, 48sylib 122 . . 3 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. c e. V ( P ` 2 ) = c )
50 eluzfz 10006 . . . . . . 7 |- ( ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 3 e. ( 0 ... L ) )
517, 50mpan 424 . . . . . 6 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 e. ( 0 ... L ) )
5251adantr 276 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 3 e. ( 0 ... L ) )
531, 52ffvelcdmd 5648 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 3 ) e. V )
54 risset 2505 . . . . 5 |- ( ( P ` 3 ) e. V <-> E. d e. V d = ( P ` 3 ) )
55 eqcom 2179 . . . . . 6 |- ( d = ( P ` 3 ) <-> ( P ` 3 ) = d )
5655rexbii 2484 . . . . 5 |- ( E. d e. V d = ( P ` 3 ) <-> E. d e. V ( P ` 3 ) = d )
5754, 56bitri 184 . . . 4 |- ( ( P ` 3 ) e. V <-> E. d e. V ( P ` 3 ) = d )
5853, 57sylib 122 . . 3 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. d e. V ( P ` 3 ) = d )
5938, 49, 58jca32 310 . 2 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
60 r19.42v 2634 . . . . . 6 |- ( E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) )
61 r19.42v 2634 . . . . . . 7 |- ( E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) <-> ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) )
6261anbi2i 457 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
6360, 62bitri 184 . . . . 5 |- ( E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
6463rexbii 2484 . . . 4 |- ( E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
65642rexbii 2486 . . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
66 r19.42v 2634 . . . . 5 |- ( E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
67 r19.41v 2633 . . . . . 6 |- ( E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) <-> ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) )
6867anbi2i 457 . . . . 5 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
6966, 68bitri 184 . . . 4 |- ( E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
70692rexbii 2486 . . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
71 r19.41v 2633 . . . . . 6 |- ( E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
72 r19.42v 2634 . . . . . . 7 |- ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) <-> ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) )
7372anbi1i 458 . . . . . 6 |- ( ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
7471, 73bitri 184 . . . . 5 |- ( E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
7574rexbii 2484 . . . 4 |- ( E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
76 r19.41v 2633 . . . 4 |- ( E. a e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
77 r19.41v 2633 . . . . 5 |- ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) <-> ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) )
7877anbi1i 458 . . . 4 |- ( ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
7975, 76, 783bitri 206 . . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
8065, 70, 793bitri 206 . 2 |- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
8159, 80sylibr 134 1 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   C_ wss 3129   class class class wbr 4000   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   0cc0 7802   1c1 7803   <_ cle 7983   2c2 8959   3c3 8960   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996
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