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Theorem 4fvwrd4 10547
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) )
Distinct variable groups:   P, a, b, c, d   V, a, b, c, d
Allowed substitution hints:   L( a, b, c, d)
Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> P : ( 0 ... L ) --> V )
2 0nn0 9578 . . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
3 elnn0uz 9960 . . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 <-> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
42, 3mpbi 145 . . . . . . . 8 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
5 3nn0 9581 . . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN0
6 elnn0uz 9960 . . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. NN0 <-> 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
75, 6mpbi 145 . . . . . . . . . 10 |- 3 e. ( ZZ>= ` 0 )
8 uzss 9943 . . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 )
109sseli 3244 . . . . . . . 8 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
11 eluzfz 10423 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
124, 10, 11sylancr 418 . . . . . . 7 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
1312adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
141, 13ffvelcdmd 5844 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 0 ) e. V )
15 risset 2578 . . . . . 6 |- ( ( P ` 0 ) e. V <-> E. a e. V a = ( P ` 0 ) )
16 eqcom 2240 . . . . . . 7 |- ( a = ( P ` 0 ) <-> ( P ` 0 ) = a )
1716rexbii 2557 . . . . . 6 |- ( E. a e. V a = ( P ` 0 ) <-> E. a e. V ( P ` 0 ) = a )
1815, 17bitri 184 . . . . 5 |- ( ( P ` 0 ) e. V <-> E. a e. V ( P ` 0 ) = a )
1914, 18sylib 122 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V ( P ` 0 ) = a )
20 1eluzge0 9974 . . . . . . . 8 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
21 1z 9670 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
22 3z 9673 . . . . . . . . . . 11 |- 3 e. ZZ
23 1le3 9516 . . . . . . . . . . 11 |- 1 <_ 3
24 eluz2 9927 . . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ 1 <_ 3 ) )
2521, 22, 23, 24mpbir3an 1210 . . . . . . . . . 10 |- 3 e. ( ZZ>= ` 1 )
26 uzss 9943 . . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
2827sseli 3244 . . . . . . . 8 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 1 ) )
29 eluzfz 10423 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ( 0 ... L ) )
3020, 28, 29sylancr 418 . . . . . . 7 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 e. ( 0 ... L ) )
3130adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 1 e. ( 0 ... L ) )
321, 31ffvelcdmd 5844 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. V )
33 risset 2578 . . . . . 6 |- ( ( P ` 1 ) e. V <-> E. b e. V b = ( P ` 1 ) )
34 eqcom 2240 . . . . . . 7 |- ( b = ( P ` 1 ) <-> ( P ` 1 ) = b )
3534rexbii 2557 . . . . . 6 |- ( E. b e. V b = ( P ` 1 ) <-> E. b e. V ( P ` 1 ) = b )
3633, 35bitri 184 . . . . 5 |- ( ( P ` 1 ) e. V <-> E. b e. V ( P ` 1 ) = b )
3732, 36sylib 122 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. b e. V ( P ` 1 ) = b )
3819, 37jca 306 . . 3 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) )
39 2eluzge0 9975 . . . . . . 7 |- 2 e. ( ZZ>= ` 0 )
40 uzuzle23 9962 . . . . . . 7 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 2 ) )
41 eluzfz 10423 . . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 2 e. ( 0 ... L ) )
4239, 40, 41sylancr 418 . . . . . 6 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 e. ( 0 ... L ) )
4342adantr 276 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 2 e. ( 0 ... L ) )
441, 43ffvelcdmd 5844 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. V )
45 risset 2578 . . . . 5 |- ( ( P ` 2 ) e. V <-> E. c e. V c = ( P ` 2 ) )
46 eqcom 2240 . . . . . 6 |- ( c = ( P ` 2 ) <-> ( P ` 2 ) = c )
4746rexbii 2557 . . . . 5 |- ( E. c e. V c = ( P ` 2 ) <-> E. c e. V ( P ` 2 ) = c )
4845, 47bitri 184 . . . 4 |- ( ( P ` 2 ) e. V <-> E. c e. V ( P ` 2 ) = c )
4944, 48sylib 122 . . 3 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. c e. V ( P ` 2 ) = c )
50 eluzfz 10423 . . . . . . 7 |- ( ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 3 e. ( 0 ... L ) )
517, 50mpan 428 . . . . . 6 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 e. ( 0 ... L ) )
5251adantr 276 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 3 e. ( 0 ... L ) )
531, 52ffvelcdmd 5844 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 3 ) e. V )
54 risset 2578 . . . . 5 |- ( ( P ` 3 ) e. V <-> E. d e. V d = ( P ` 3 ) )
55 eqcom 2240 . . . . . 6 |- ( d = ( P ` 3 ) <-> ( P ` 3 ) = d )
5655rexbii 2557 . . . . 5 |- ( E. d e. V d = ( P ` 3 ) <-> E. d e. V ( P ` 3 ) = d )
5754, 56bitri 184 . . . 4 |- ( ( P ` 3 ) e. V <-> E. d e. V ( P ` 3 ) = d )
5853, 57sylib 122 . . 3 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. d e. V ( P ` 3 ) = d )
5938, 49, 58jca32 310 . 2 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
60 r19.42v 2708 . . . . . 6 |- ( E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) )
61 r19.42v 2708 . . . . . . 7 |- ( E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) <-> ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) )
6261anbi2i 461 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
6360, 62bitri 184 . . . . 5 |- ( E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
6463rexbii 2557 . . . 4 |- ( E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
65642rexbii 2559 . . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
66 r19.42v 2708 . . . . 5 |- ( E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
67 r19.41v 2707 . . . . . 6 |- ( E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) <-> ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) )
6867anbi2i 461 . . . . 5 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
6966, 68bitri 184 . . . 4 |- ( E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
70692rexbii 2559 . . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
71 r19.41v 2707 . . . . . 6 |- ( E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
72 r19.42v 2708 . . . . . . 7 |- ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) <-> ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) )
7372anbi1i 462 . . . . . 6 |- ( ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
7471, 73bitri 184 . . . . 5 |- ( E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
7574rexbii 2557 . . . 4 |- ( E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
76 r19.41v 2707 . . . 4 |- ( E. a e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
77 r19.41v 2707 . . . . 5 |- ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) <-> ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) )
7877anbi1i 462 . . . 4 |- ( ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
7975, 76, 783bitri 206 . . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
8065, 70, 793bitri 206 . 2 |- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
8159, 80sylibr 134 1 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   0cc0 8179   1c1 8180   <_ cle 8361   2c2 9355   3c3 9356   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412
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