Theorem fzsn 10065

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	|- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 10034	. . . 4 |- ( k e. ( M ... M ) -> k = M )
2		elfz3 10033	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ( M ... M ) )
3		eleq1 2240	. . . . 5 |- ( k = M -> ( k e. ( M ... M ) <-> M e. ( M ... M ) ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( k = M -> k e. ( M ... M ) ) )
5	1, 4	impbid2 143	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ( M ... M ) <-> k = M ) )
6		velsn 3609	. . 3 |- ( k e. { M } <-> k = M )
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ( M ... M ) <-> k e. { M } ) )
8	7	eqrdv 2175	1 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   {csn 3592  (class class class)co 5874   ZZcz 9252   ...cfz 10007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-apti 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-neg 8130  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008

This theorem is referenced by:  fzsuc  10068  fzpred  10069  fzpr  10076  fzsuc2  10078  fz0sn  10120  1fv  10138  fzosn  10204  exfzdc  10239  uzsinds  10441  hashsng  10777  sumsnf  11416  fsum1  11419  fsumm1  11423  fsum1p  11425  prodsnf  11599  fprod1  11601  fprod1p  11606  fprodabs  11623  ef0lem  11667  phi1  12218  strle1g  12564