ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzsn Unicode version

Theorem fzsn 9797
Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzsn  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )

Proof of Theorem fzsn
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1eq 9766 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... M )  ->  k  =  M )
2 elfz3 9765 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( M ... M
) )
3 eleq1 2178 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  M  e.  ( M ... M ) ) )
42, 3syl5ibrcom 156 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  =  M  -> 
k  e.  ( M ... M ) ) )
51, 4impbid2 142 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  k  =  M ) )
6 velsn 3512 . . 3  |-  ( k  e.  { M }  <->  k  =  M )
75, 6syl6bbr 197 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  k  e.  { M } ) )
87eqrdv 2113 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1314    e. wcel 1463   {csn 3495  (class class class)co 5740   ZZcz 9008   ...cfz 9741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-apti 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-neg 7900  df-z 9009  df-uz 9279  df-fz 9742
This theorem is referenced by:  fzsuc  9800  fzpred  9801  fzpr  9808  fzsuc2  9810  1fv  9867  fzosn  9933  exfzdc  9968  uzsinds  10166  hashsng  10495  sumsnf  11129  fsum1  11132  fsumm1  11136  fsum1p  11138  ef0lem  11276  phi1  11801  strle1g  11955
  Copyright terms: Public domain W3C validator