Theorem fzsn 9480

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	|- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 9449	. . . 4 |- ( k e. ( M ... M ) -> k = M )
2		elfz3 9448	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ( M ... M ) )
3		eleq1 2150	. . . . 5 |- ( k = M -> ( k e. ( M ... M ) <-> M e. ( M ... M ) ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 155	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( k = M -> k e. ( M ... M ) ) )
5	1, 4	impbid2 141	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ( M ... M ) <-> k = M ) )
6		velsn 3463	. . 3 |- ( k e. { M } <-> k = M )
7	5, 6	syl6bbr 196	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ( M ... M ) <-> k e. { M } ) )
8	7	eqrdv 2086	1 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1289   e. wcel 1438   {csn 3446  (class class class)co 5652   ZZcz 8750   ...cfz 9424

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-apti 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-neg 7656  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425

This theorem is referenced by:  fzsuc  9483  fzpred  9484  fzpr  9491  fzsuc2  9493  1fv  9550  fzosn  9616  exfzdc  9651  uzsinds  9848  hashsng  10206  sumsnf  10803  fsum1  10806  fsumm1  10810  fsum1p  10812  ef0lem  10950  phi1  11473  strle1g  11583