Theorem fzsn 9877

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	|- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 9846	. . . 4 |- ( k e. ( M ... M ) -> k = M )
2		elfz3 9845	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ( M ... M ) )
3		eleq1 2203	. . . . 5 |- ( k = M -> ( k e. ( M ... M ) <-> M e. ( M ... M ) ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( k = M -> k e. ( M ... M ) ) )
5	1, 4	impbid2 142	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ( M ... M ) <-> k = M ) )
6		velsn 3549	. . 3 |- ( k e. { M } <-> k = M )
7	5, 6	syl6bbr 197	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ( M ... M ) <-> k e. { M } ) )
8	7	eqrdv 2138	1 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   {csn 3532  (class class class)co 5782   ZZcz 9078   ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-apti 7759

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-neg 7960  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822

This theorem is referenced by:  fzsuc  9880  fzpred  9881  fzpr  9888  fzsuc2  9890  1fv  9947  fzosn  10013  exfzdc  10048  uzsinds  10246  hashsng  10576  sumsnf  11210  fsum1  11213  fsumm1  11217  fsum1p  11219  ef0lem  11403  phi1  11931  strle1g  12088