Theorem fzsn 10160

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	|- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 10129	. . . 4 |- ( k e. ( M ... M ) -> k = M )
2		elfz3 10128	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ( M ... M ) )
3		eleq1 2259	. . . . 5 |- ( k = M -> ( k e. ( M ... M ) <-> M e. ( M ... M ) ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( k = M -> k e. ( M ... M ) ) )
5	1, 4	impbid2 143	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ( M ... M ) <-> k = M ) )
6		velsn 3640	. . 3 |- ( k e. { M } <-> k = M )
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ( M ... M ) <-> k e. { M } ) )
8	7	eqrdv 2194	1 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   {csn 3623  (class class class)co 5925   ZZcz 9345   ...cfz 10102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-apti 8013

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-neg 8219  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103

This theorem is referenced by:  fzsuc  10163  fzpred  10164  fzpr  10171  fzsuc2  10173  fz0sn  10215  1fv  10233  fzosn  10300  exfzdc  10335  uzsinds  10555  seqf1og  10632  hashsng  10909  sumsnf  11593  fsum1  11596  fsumm1  11600  fsum1p  11602  prodsnf  11776  fprod1  11778  fprod1p  11783  fprodabs  11800  ef0lem  11844  phi1  12414  strle1g  12811  gsumfzsnfd  13553  gsumfzfsumlemm  14221  ply1termlem  15086