Theorem fzsn 9839

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	|- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 9808	. . . 4 |- ( k e. ( M ... M ) -> k = M )
2		elfz3 9807	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ( M ... M ) )
3		eleq1 2200	. . . . 5 |- ( k = M -> ( k e. ( M ... M ) <-> M e. ( M ... M ) ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( k = M -> k e. ( M ... M ) ) )
5	1, 4	impbid2 142	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ( M ... M ) <-> k = M ) )
6		velsn 3539	. . 3 |- ( k e. { M } <-> k = M )
7	5, 6	syl6bbr 197	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ( M ... M ) <-> k e. { M } ) )
8	7	eqrdv 2135	1 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   {csn 3522  (class class class)co 5767   ZZcz 9047   ...cfz 9783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-apti 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-neg 7929  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784

This theorem is referenced by:  fzsuc  9842  fzpred  9843  fzpr  9850  fzsuc2  9852  1fv  9909  fzosn  9975  exfzdc  10010  uzsinds  10208  hashsng  10537  sumsnf  11171  fsum1  11174  fsumm1  11178  fsum1p  11180  ef0lem  11355  phi1  11884  strle1g  12038