Theorem 1fv 10095

Description: A function on a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
1fv	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Proof of Theorem 1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9223	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		f1osng 5483	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
3	1, 2	mpan 422	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
4		f1ofo 5449	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁})
5		dffo2 5424	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
6	5	biimpi 119	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
7		fzsn 10022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...0) = {0}
9	8	eqcomi 2174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0} = (0...0)
10	9	feq2i 5341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
11	10	biimpi 119	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
12		snssi 3724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
13		fss 5359	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
14	11, 12, 13	syl2an 287	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
15	14	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
16	15	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}) → (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
17	4, 6, 16	3syl 17	. . . . 5 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
18	3, 17	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
19		fvsng 5692	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
20	1, 19	mpan 422	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
21	18, 20	jca 304	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
22	21	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
23		feq1 5330	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
24		fveq1 5495	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝑁⟩}‘0))
25	24	eqeq1d 2179	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃‘0) = 𝑁 ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
26	23, 25	anbi12d 470	. . 3 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
27	26	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
28	22, 27	mpbird 166	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3121  {csn 3583  ⟨cop 3586  ran crn 4612  ⟶wf 5194  –onto→wfo 5196  –1-1-onto→wf1o 5197  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  0cc0 7774  ℤcz 9212  ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-apti 7889

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-neg 8093  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by: (None)