Theorem 1fv 9803

Description: A function on a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
1fv	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Proof of Theorem 1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 8963	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		f1osng 5362	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
3	1, 2	mpan 418	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
4		f1ofo 5328	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁})
5		dffo2 5305	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
6	5	biimpi 119	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
7		fzsn 9733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
8	1, 7	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...0) = {0}
9	8	eqcomi 2117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0} = (0...0)
10	9	feq2i 5222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
11	10	biimpi 119	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
12		snssi 3628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
13		fss 5240	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
14	11, 12, 13	syl2an 285	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
15	14	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
16	15	adantr 272	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}) → (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
17	4, 6, 16	3syl 17	. . . . 5 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
18	3, 17	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
19		fvsng 5568	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
20	1, 19	mpan 418	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
21	18, 20	jca 302	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
22	21	adantr 272	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
23		feq1 5211	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
24		fveq1 5372	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝑁⟩}‘0))
25	24	eqeq1d 2121	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃‘0) = 𝑁 ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
26	23, 25	anbi12d 462	. . 3 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
27	26	adantl 273	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
28	22, 27	mpbird 166	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1312   ∈ wcel 1461   ⊆ wss 3035  {csn 3491  ⟨cop 3494  ran crn 4498  ⟶wf 5075  –onto→wfo 5077  –1-1-onto→wf1o 5078  ‘cfv 5079  (class class class)co 5726  0cc0 7541  ℤcz 8952  ...cfz 9677

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1re 7633  ax-addrcl 7636  ax-rnegex 7648  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-apti 7654

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-neg 7853  df-z 8953  df-uz 9223  df-fz 9678

This theorem is referenced by: (None)