Theorem 1fv 10016

Description: A function on a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
1fv	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Proof of Theorem 1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9157	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		f1osng 5448	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
3	1, 2	mpan 421	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
4		f1ofo 5414	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁})
5		dffo2 5389	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
6	5	biimpi 119	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
7		fzsn 9946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...0) = {0}
9	8	eqcomi 2158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0} = (0...0)
10	9	feq2i 5306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
11	10	biimpi 119	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
12		snssi 3696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
13		fss 5324	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
14	11, 12, 13	syl2an 287	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
15	14	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
16	15	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}) → (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
17	4, 6, 16	3syl 17	. . . . 5 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
18	3, 17	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
19		fvsng 5656	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
20	1, 19	mpan 421	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
21	18, 20	jca 304	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
22	21	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
23		feq1 5295	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
24		fveq1 5460	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝑁⟩}‘0))
25	24	eqeq1d 2163	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃‘0) = 𝑁 ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
26	23, 25	anbi12d 465	. . 3 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
27	26	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
28	22, 27	mpbird 166	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   ⊆ wss 3098  {csn 3556  ⟨cop 3559  ran crn 4580  ⟶wf 5159  –onto→wfo 5161  –1-1-onto→wf1o 5162  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  0cc0 7711  ℤcz 9146  ...cfz 9890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1re 7805  ax-addrcl 7808  ax-rnegex 7820  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-apti 7826

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-neg 8028  df-z 9147  df-uz 9419  df-fz 9891

This theorem is referenced by: (None)