Theorem 1fv 10139

Description: A function on a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
1fv	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Proof of Theorem 1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9264	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		f1osng 5503	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
3	1, 2	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
4		f1ofo 5469	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁})
5		dffo2 5443	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
6	5	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
7		fzsn 10066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...0) = {0}
9	8	eqcomi 2181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0} = (0...0)
10	9	feq2i 5360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
11	10	biimpi 120	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
12		snssi 3737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
13		fss 5378	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
15	14	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
16	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}) → (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
17	4, 6, 16	3syl 17	. . . . 5 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
18	3, 17	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
19		fvsng 5713	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
20	1, 19	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
21	18, 20	jca 306	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
22	21	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
23		feq1 5349	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
24		fveq1 5515	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝑁⟩}‘0))
25	24	eqeq1d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃‘0) = 𝑁 ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
26	23, 25	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
27	26	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
28	22, 27	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3130  {csn 3593  ⟨cop 3596  ran crn 4628  ⟶wf 5213  –onto→wfo 5215  –1-1-onto→wf1o 5216  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  0cc0 7811  ℤcz 9253  ...cfz 10008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-apti 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-neg 8131  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009

This theorem is referenced by: (None)