ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1fv GIF version

Theorem 1fv 9803
Description: A function on a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1fv ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Proof of Theorem 1fv
StepHypRef Expression
1 0z 8963 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
2 f1osng 5362 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
31, 2mpan 418 . . . . 5 (𝑁𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
4 f1ofo 5328 . . . . . 6 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁})
5 dffo2 5305 . . . . . . 7 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
65biimpi 119 . . . . . 6 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
7 fzsn 9733 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
81, 7ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12 (0...0) = {0}
98eqcomi 2117 . . . . . . . . . . 11 {0} = (0...0)
109feq2i 5222 . . . . . . . . . 10 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
1110biimpi 119 . . . . . . . . 9 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
12 snssi 3628 . . . . . . . . 9 (𝑁𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
13 fss 5240 . . . . . . . . 9 (({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
1411, 12, 13syl2an 285 . . . . . . . 8 (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ 𝑁𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
1514ex 114 . . . . . . 7 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → (𝑁𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
1615adantr 272 . . . . . 6 (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}) → (𝑁𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
174, 6, 163syl 17 . . . . 5 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → (𝑁𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
183, 17mpcom 36 . . . 4 (𝑁𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
19 fvsng 5568 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
201, 19mpan 418 . . . 4 (𝑁𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
2118, 20jca 302 . . 3 (𝑁𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
2221adantr 272 . 2 ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
23 feq1 5211 . . . 4 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
24 fveq1 5372 . . . . 5 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝑁⟩}‘0))
2524eqeq1d 2121 . . . 4 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃‘0) = 𝑁 ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
2623, 25anbi12d 462 . . 3 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
2726adantl 273 . 2 ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
2822, 27mpbird 166 1 ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1312  wcel 1461  wss 3035  {csn 3491  cop 3494  ran crn 4498  wf 5075  ontowfo 5077  1-1-ontowf1o 5078  cfv 5079  (class class class)co 5726  0cc0 7541  cz 8952  ...cfz 9677
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1re 7633  ax-addrcl 7636  ax-rnegex 7648  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-apti 7654
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-neg 7853  df-z 8953  df-uz 9223  df-fz 9678
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator