Theorem 1fv 10205

Description: A function on a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
1fv	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Proof of Theorem 1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9328	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		f1osng 5541	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
3	1, 2	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
4		f1ofo 5507	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁})
5		dffo2 5480	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
6	5	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
7		fzsn 10132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...0) = {0}
9	8	eqcomi 2197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0} = (0...0)
10	9	feq2i 5397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
11	10	biimpi 120	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
12		snssi 3762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
13		fss 5415	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
15	14	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
16	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}) → (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
17	4, 6, 16	3syl 17	. . . . 5 ⊢ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
18	3, 17	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
19		fvsng 5754	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
20	1, 19	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
21	18, 20	jca 306	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
22	21	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
23		feq1 5386	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
24		fveq1 5553	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝑁⟩}‘0))
25	24	eqeq1d 2202	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃‘0) = 𝑁 ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
26	23, 25	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
27	26	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
28	22, 27	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3153  {csn 3618  ⟨cop 3621  ran crn 4660  ⟶wf 5250  –onto→wfo 5252  –1-1-onto→wf1o 5253  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  0cc0 7872  ℤcz 9317  ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-apti 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-neg 8193  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by: (None)