Theorem 2omapen 16616

Description: Equinumerosity of ( 2o ^m A ) and the set of decidable subsets of A. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2omapen	|- ( A e. V -> ( 2o ^m A ) ~~ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem 2omapen

Dummy variables s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6824	. . 3 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		2onn 6689	. . . 4 |- 2o e. om
3	2	elexi 2815	. . 3 |- 2o e. _V
4		elex 2814	. . 3 |- ( A e. V -> A e. _V )
5		fnovex 6051	. . 3 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ 2o e. _V /\ A e. _V ) -> ( 2o ^m A ) e. _V )
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1377	. 2 |- ( A e. V -> ( 2o ^m A ) e. _V )
7		eqid 2231	. . 3 |- ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) = ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
8	7	2omap 16615	. 2 |- ( A e. V -> ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )
9		f1oeng 6930	. 2 |- ( ( ( 2o ^m A ) e. _V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ) -> ( 2o ^m A ) ~~ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )
10	6, 8, 9	syl2anc 411	1 |- ( A e. V -> ( 2o ^m A ) ~~ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   _Vcvv 2802   ~Pcpw 3652   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   omcom 4688   X. cxp 4723   Fn wfn 5321   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   1oc1o 6575   2oc2o 6576   ^m cmap 6817   ~~ cen 6907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-1o 6582  df-2o 6583  df-map 6819  df-en 6910

This theorem is referenced by: (None)