Theorem 2omapen 16007

Description: Equinumerosity of ( 2o ^m A ) and the set of decidable subsets of A. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2omapen	|- ( A e. V -> ( 2o ^m A ) ~~ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem 2omapen

Dummy variables s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6749	. . 3 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		2onn 6614	. . . 4 |- 2o e. om
3	2	elexi 2785	. . 3 |- 2o e. _V
4		elex 2784	. . 3 |- ( A e. V -> A e. _V )
5		fnovex 5984	. . 3 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ 2o e. _V /\ A e. _V ) -> ( 2o ^m A ) e. _V )
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1354	. 2 |- ( A e. V -> ( 2o ^m A ) e. _V )
7		eqid 2206	. . 3 |- ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) = ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
8	7	2omap 16006	. 2 |- ( A e. V -> ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )
9		f1oeng 6855	. 2 |- ( ( ( 2o ^m A ) e. _V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ) -> ( 2o ^m A ) ~~ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )
10	6, 8, 9	syl2anc 411	1 |- ( A e. V -> ( 2o ^m A ) ~~ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   {crab 2489   _Vcvv 2773   ~Pcpw 3617   class class class wbr 4047   |-> cmpt 4109   omcom 4642   X. cxp 4677   Fn wfn 5271   -1-1-onto->wf1o 5275   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   1oc1o 6502   2oc2o 6503   ^m cmap 6742   ~~ cen 6832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-1o 6509  df-2o 6510  df-map 6744  df-en 6835

This theorem is referenced by: (None)