Theorem 2omapen 7283

Description: Equinumerosity of ( 2o ^m A ) and the set of decidable subsets of A. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2omapen	|- ( A e. V -> ( 2o ^m A ) ~~ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem 2omapen

Dummy variables s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6902	. . 3 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		2onn 6767	. . . 4 |- 2o e. om
3	2	elexi 2828	. . 3 |- 2o e. _V
4		elex 2827	. . 3 |- ( A e. V -> A e. _V )
5		fnovex 6091	. . 3 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ 2o e. _V /\ A e. _V ) -> ( 2o ^m A ) e. _V )
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1378	. 2 |- ( A e. V -> ( 2o ^m A ) e. _V )
7		eqid 2234	. . 3 |- ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) = ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
8	7	2omap 7282	. 2 |- ( A e. V -> ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )
9		f1oeng 7009	. 2 |- ( ( ( 2o ^m A ) e. _V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ) -> ( 2o ^m A ) ~~ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )
10	6, 8, 9	syl2anc 411	1 |- ( A e. V -> ( 2o ^m A ) ~~ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   _Vcvv 2815   ~Pcpw 3674   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   omcom 4717   X. cxp 4752   Fn wfn 5352   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1oc1o 6653   2oc2o 6654   ^m cmap 6895   ~~ cen 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-2o 6661  df-map 6897  df-en 6989

This theorem is referenced by:  2omapfi  7284