Theorem 2omap 7312

Description: Mapping between ( 2o ^m A ) and decidable subsets of A. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
2omap.f	|- F = ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )

Assertion

Ref	Expression
2omap	|- ( A e. V -> F : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )

Distinct variable groups:   A, s, y, z, x   V, s, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, y, z, s)   V( x)

Proof of Theorem 2omap

Dummy variables u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2omap.f	. 2 |- F = ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
2		eleq2 2302	. . . . 5 |- ( x = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } -> ( y e. x <-> y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
3	2	dcbid 850	. . . 4 |- ( x = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } -> (DECID y e. x <-> DECID y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
4	3	ralbidv 2550	. . 3 |- ( x = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } -> ( A. y e. A DECID y e. x <-> A. y e. A DECID y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
5		ssrab2 3333	. . . . 5 |- { z e. A | ( s ` z ) = 1o } C_ A
6		elpw2g 4290	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. ~P A <-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } C_ A ) )
7	5, 6	mpbiri 168	. . . 4 |- ( A e. V -> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. ~P A )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) -> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. ~P A )
9		2ssom 6791	. . . . . . 7 |- 2o C_ om
10		elmapi 6938	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 2o ^m A ) -> s : A --> 2o )
11	10	ad2antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> s : A --> 2o )
12		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> y e. A )
13	11, 12	ffvelcdmd 5838	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> ( s ` y ) e. 2o )
14	9, 13	sselid 3246	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> ( s ` y ) e. om )
15		1onn 6787	. . . . . 6 |- 1o e. om
16		nndceq 6766	. . . . . 6 |- ( ( ( s ` y ) e. om /\ 1o e. om ) -> DECID ( s ` y ) = 1o )
17	14, 15, 16	sylancl 417	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> DECID ( s ` y ) = 1o )
18		ibar 301	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( ( s ` y ) = 1o <-> ( y e. A /\ ( s ` y ) = 1o ) ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> ( ( s ` y ) = 1o <-> ( y e. A /\ ( s ` y ) = 1o ) ) )
20		fveqeq2 5702	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( s ` z ) = 1o <-> ( s ` y ) = 1o ) )
21	20	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> ( y e. A /\ ( s ` y ) = 1o ) )
22	19, 21	bitr4di 198	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> ( ( s ` y ) = 1o <-> y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
23	22	dcbid 850	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> (DECID ( s ` y ) = 1o <-> DECID y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
24	17, 23	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> DECID y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
25	24	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) -> A. y e. A DECID y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
26	4, 8, 25	elrabd 2984	. 2 |- ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) -> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )
27		eleq2 2302	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( y e. x <-> y e. w ) )
28	27	dcbid 850	. . . . 5 |- ( x = w -> (DECID y e. x <-> DECID y e. w ) )
29	28	ralbidv 2550	. . . 4 |- ( x = w -> ( A. y e. A DECID y e. x <-> A. y e. A DECID y e. w ) )
30	29	elrab 2982	. . 3 |- ( w e. { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } <-> ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) )
31		1lt2o 6709	. . . . . . 7 |- 1o e. 2o
32	31	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> 1o e. 2o )
33		0lt2o 6708	. . . . . . 7 |- (/) e. 2o
34	33	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> (/) e. 2o )
35		elequ1 2213	. . . . . . . 8 |- ( y = u -> ( y e. w <-> u e. w ) )
36	35	dcbid 850	. . . . . . 7 |- ( y = u -> (DECID y e. w <-> DECID u e. w ) )
37		simplrr 542	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> A. y e. A DECID y e. w )
38		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> u e. A )
39	36, 37, 38	rspcdva 2934	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> DECID u e. w )
40	32, 34, 39	ifcldcd 3678	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> if ( u e. w , 1o , (/) ) e. 2o )
41	40	fmpttd 5857	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) : A --> 2o )
42		2onn 6788	. . . . . 6 |- 2o e. om
43	42	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> 2o e. om )
44		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> A e. V )
45	43, 44	elmapd 6930	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> ( ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) : A --> 2o ) )
46	41, 45	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m A ) )
47	30, 46	sylan2b 287	. 2 |- ( ( A e. V /\ w e. { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ) -> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m A ) )
48	30	anbi2i 461	. . 3 |- ( ( s e. ( 2o ^m A ) /\ w e. { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ) <-> ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) )
49		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ z e. w ) -> z e. w )
50		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) )
51	50	fveq1d 5695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( s ` z ) = ( ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ` z ) )
52		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) )
53		elequ1 2213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( u e. w <-> z e. w ) )
54	53	ifbid 3662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> if ( u e. w , 1o , (/) ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
55		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
56	31	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> 1o e. 2o )
57	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> (/) e. 2o )
58		elequ1 2213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> ( y e. w <-> z e. w ) )
59	58	dcbid 850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> (DECID y e. w <-> DECID z e. w ) )
60		simprrr 546	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) -> A. y e. A DECID y e. w )
61	60	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> A. y e. A DECID y e. w )
62	59, 61, 55	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> DECID z e. w )
63	56, 57, 62	ifcldcd 3678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> if ( z e. w , 1o , (/) ) e. 2o )
64	52, 54, 55, 63	fvmptd3 5796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
65	51, 64	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( s ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
66	65	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ z e. w ) -> ( s ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
67	49	iftrued 3647	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ z e. w ) -> if ( z e. w , 1o , (/) ) = 1o )
68	66, 67	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ z e. w ) -> ( s ` z ) = 1o )
69	49, 68	2thd 175	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ z e. w ) -> ( z e. w <-> ( s ` z ) = 1o ) )
70		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> -. z e. w )
71		1n0 6699	. . . . . . . . . 10 |- 1o =/= (/)
72	71	nesymi 2466	. . . . . . . . 9 |- -. (/) = 1o
73	65	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> ( s ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
74	70	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> if ( z e. w , 1o , (/) ) = (/) )
75	73, 74	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> ( s ` z ) = (/) )
76	75	eqeq1d 2247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> ( ( s ` z ) = 1o <-> (/) = 1o ) )
77	72, 76	mtbiri 686	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> -. ( s ` z ) = 1o )
78	70, 77	2falsed 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> ( z e. w <-> ( s ` z ) = 1o ) )
79		exmiddc 848	. . . . . . . 8 |- (DECID z e. w -> ( z e. w \/ -. z e. w ) )
80	62, 79	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z e. w \/ -. z e. w ) )
81	69, 78, 80	mpjaodan 810	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z e. w <-> ( s ` z ) = 1o ) )
82	81	rabbidva 2809	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) -> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
83		elpwi 3697	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ~P A -> w C_ A )
84		dfss1 3435	. . . . . . . . . 10 |- ( w C_ A <-> ( A i^i w ) = w )
85	83, 84	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ~P A -> ( A i^i w ) = w )
86		dfin5 3227	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i w ) = { z e. A | z e. w }
87	85, 86	eqtr3di 2286	. . . . . . . 8 |- ( w e. ~P A -> w = { z e. A | z e. w } )
88	87	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 |- ( w e. ~P A -> ( w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
89	88	ad2antrl 494	. . . . . 6 |- ( ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> ( w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
90	89	ad2antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) -> ( w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
91	82, 90	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) -> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
92		simplrl 541	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s e. ( 2o ^m A ) )
93	42	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> 2o e. om )
94		simpll 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> A e. V )
95	93, 94	elmapd 6930	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( s e. ( 2o ^m A ) <-> s : A --> 2o ) )
96	92, 95	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s : A --> 2o )
97	96	feqmptd 5753	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s = ( u e. A |-> ( s ` u ) ) )
98		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
99	98	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( u e. w <-> u e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
100		fveqeq2 5702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = u -> ( ( s ` z ) = 1o <-> ( s ` u ) = 1o ) )
101	100	elrab 2982	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> ( u e. A /\ ( s ` u ) = 1o ) )
102	99, 101	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( u e. w <-> ( u e. A /\ ( s ` u ) = 1o ) ) )
103	102	baibd 935	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w <-> ( s ` u ) = 1o ) )
104	103	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ u e. w ) -> ( s ` u ) = 1o )
105		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ u e. w ) -> u e. w )
106	105	iftrued 3647	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ u e. w ) -> if ( u e. w , 1o , (/) ) = 1o )
107	104, 106	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ u e. w ) -> ( s ` u ) = if ( u e. w , 1o , (/) ) )
108		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> -. u e. w )
109		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> u e. A )
110		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
111	110	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w <-> u e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
112	111, 101	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w <-> ( u e. A /\ ( s ` u ) = 1o ) ) )
113	109, 112	mpbirand 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w <-> ( s ` u ) = 1o ) )
114	113	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> ( u e. w <-> ( s ` u ) = 1o ) )
115	108, 114	mtbid 683	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> -. ( s ` u ) = 1o )
116	96	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> s : A --> 2o )
117	116, 109	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( s ` u ) e. 2o )
118		df2o3 6696	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o = { (/) , 1o }
119	117, 118	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( s ` u ) e. { (/) , 1o } )
120		elpri 3731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s ` u ) e. { (/) , 1o } -> ( ( s ` u ) = (/) \/ ( s ` u ) = 1o ) )
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( ( s ` u ) = (/) \/ ( s ` u ) = 1o ) )
122	121	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> ( ( s ` u ) = (/) \/ ( s ` u ) = 1o ) )
123	115, 122	ecased 1390	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> ( s ` u ) = (/) )
124	108	iffalsed 3650	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> if ( u e. w , 1o , (/) ) = (/) )
125	123, 124	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> ( s ` u ) = if ( u e. w , 1o , (/) ) )
126	60	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> A. y e. A DECID y e. w )
127	36, 126, 109	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> DECID u e. w )
128		exmiddc 848	. . . . . . . 8 |- (DECID u e. w -> ( u e. w \/ -. u e. w ) )
129	127, 128	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w \/ -. u e. w ) )
130	107, 125, 129	mpjaodan 810	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( s ` u ) = if ( u e. w , 1o , (/) ) )
131	130	mpteq2dva 4219	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( u e. A |-> ( s ` u ) ) = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) )
132	97, 131	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) )
133	91, 132	impbida 604	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) -> ( s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) <-> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
134	48, 133	sylan2b 287	. 2 |- ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ w e. { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ) ) -> ( s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) <-> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
135	1, 26, 47, 134	f1o2d 6289	1 |- ( A e. V -> F : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3638   ~Pcpw 3688   {cpr 3709   |-> cmpt 4190   omcom 4735   -->wf 5371   -1-1-onto->wf1o 5374   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   1oc1o 6674   2oc2o 6675   ^m cmap 6916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1o 6681  df-2o 6682  df-map 6918

This theorem is referenced by:  2omapen  7313