Theorem 2omap 15726

Description: Mapping between ( 2o ^m A ) and decidable subsets of A. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
2omap.f	|- F = ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )

Assertion

Ref	Expression
2omap	|- ( A e. V -> F : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )

Distinct variable groups:   A, s, y, z, x   V, s, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, y, z, s)   V( x)

Proof of Theorem 2omap

Dummy variables u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2omap.f	. 2 |- F = ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
2		eleq2 2260	. . . . 5 |- ( x = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } -> ( y e. x <-> y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
3	2	dcbid 839	. . . 4 |- ( x = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } -> (DECID y e. x <-> DECID y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
4	3	ralbidv 2497	. . 3 |- ( x = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } -> ( A. y e. A DECID y e. x <-> A. y e. A DECID y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
5		ssrab2 3269	. . . . 5 |- { z e. A | ( s ` z ) = 1o } C_ A
6		elpw2g 4190	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. ~P A <-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } C_ A ) )
7	5, 6	mpbiri 168	. . . 4 |- ( A e. V -> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. ~P A )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) -> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. ~P A )
9		2ssom 6591	. . . . . . 7 |- 2o C_ om
10		elmapi 6738	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 2o ^m A ) -> s : A --> 2o )
11	10	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> s : A --> 2o )
12		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> y e. A )
13	11, 12	ffvelcdmd 5701	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> ( s ` y ) e. 2o )
14	9, 13	sselid 3182	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> ( s ` y ) e. om )
15		1onn 6587	. . . . . 6 |- 1o e. om
16		nndceq 6566	. . . . . 6 |- ( ( ( s ` y ) e. om /\ 1o e. om ) -> DECID ( s ` y ) = 1o )
17	14, 15, 16	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> DECID ( s ` y ) = 1o )
18		ibar 301	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( ( s ` y ) = 1o <-> ( y e. A /\ ( s ` y ) = 1o ) ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> ( ( s ` y ) = 1o <-> ( y e. A /\ ( s ` y ) = 1o ) ) )
20		fveqeq2 5570	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( s ` z ) = 1o <-> ( s ` y ) = 1o ) )
21	20	elrab 2920	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> ( y e. A /\ ( s ` y ) = 1o ) )
22	19, 21	bitr4di 198	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> ( ( s ` y ) = 1o <-> y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
23	22	dcbid 839	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> (DECID ( s ` y ) = 1o <-> DECID y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
24	17, 23	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> DECID y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
25	24	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) -> A. y e. A DECID y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
26	4, 8, 25	elrabd 2922	. 2 |- ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) -> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )
27		eleq2 2260	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( y e. x <-> y e. w ) )
28	27	dcbid 839	. . . . 5 |- ( x = w -> (DECID y e. x <-> DECID y e. w ) )
29	28	ralbidv 2497	. . . 4 |- ( x = w -> ( A. y e. A DECID y e. x <-> A. y e. A DECID y e. w ) )
30	29	elrab 2920	. . 3 |- ( w e. { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } <-> ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) )
31		1lt2o 6509	. . . . . . 7 |- 1o e. 2o
32	31	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> 1o e. 2o )
33		0lt2o 6508	. . . . . . 7 |- (/) e. 2o
34	33	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> (/) e. 2o )
35		elequ1 2171	. . . . . . . 8 |- ( y = u -> ( y e. w <-> u e. w ) )
36	35	dcbid 839	. . . . . . 7 |- ( y = u -> (DECID y e. w <-> DECID u e. w ) )
37		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> A. y e. A DECID y e. w )
38		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> u e. A )
39	36, 37, 38	rspcdva 2873	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> DECID u e. w )
40	32, 34, 39	ifcldcd 3598	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> if ( u e. w , 1o , (/) ) e. 2o )
41	40	fmpttd 5720	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) : A --> 2o )
42		2onn 6588	. . . . . 6 |- 2o e. om
43	42	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> 2o e. om )
44		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> A e. V )
45	43, 44	elmapd 6730	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> ( ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) : A --> 2o ) )
46	41, 45	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m A ) )
47	30, 46	sylan2b 287	. 2 |- ( ( A e. V /\ w e. { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ) -> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m A ) )
48	30	anbi2i 457	. . 3 |- ( ( s e. ( 2o ^m A ) /\ w e. { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ) <-> ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) )
49		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ z e. w ) -> z e. w )
50		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) )
51	50	fveq1d 5563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( s ` z ) = ( ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ` z ) )
52		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) )
53		elequ1 2171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( u e. w <-> z e. w ) )
54	53	ifbid 3583	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> if ( u e. w , 1o , (/) ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
55		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
56	31	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> 1o e. 2o )
57	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> (/) e. 2o )
58		elequ1 2171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> ( y e. w <-> z e. w ) )
59	58	dcbid 839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> (DECID y e. w <-> DECID z e. w ) )
60		simprrr 540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) -> A. y e. A DECID y e. w )
61	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> A. y e. A DECID y e. w )
62	59, 61, 55	rspcdva 2873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> DECID z e. w )
63	56, 57, 62	ifcldcd 3598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> if ( z e. w , 1o , (/) ) e. 2o )
64	52, 54, 55, 63	fvmptd3 5658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
65	51, 64	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( s ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
66	65	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ z e. w ) -> ( s ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
67	49	iftrued 3569	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ z e. w ) -> if ( z e. w , 1o , (/) ) = 1o )
68	66, 67	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ z e. w ) -> ( s ` z ) = 1o )
69	49, 68	2thd 175	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ z e. w ) -> ( z e. w <-> ( s ` z ) = 1o ) )
70		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> -. z e. w )
71		1n0 6499	. . . . . . . . . 10 |- 1o =/= (/)
72	71	nesymi 2413	. . . . . . . . 9 |- -. (/) = 1o
73	65	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> ( s ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
74	70	iffalsed 3572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> if ( z e. w , 1o , (/) ) = (/) )
75	73, 74	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> ( s ` z ) = (/) )
76	75	eqeq1d 2205	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> ( ( s ` z ) = 1o <-> (/) = 1o ) )
77	72, 76	mtbiri 676	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> -. ( s ` z ) = 1o )
78	70, 77	2falsed 703	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> ( z e. w <-> ( s ` z ) = 1o ) )
79		exmiddc 837	. . . . . . . 8 |- (DECID z e. w -> ( z e. w \/ -. z e. w ) )
80	62, 79	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z e. w \/ -. z e. w ) )
81	69, 78, 80	mpjaodan 799	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z e. w <-> ( s ` z ) = 1o ) )
82	81	rabbidva 2751	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) -> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
83		elpwi 3615	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ~P A -> w C_ A )
84		dfss1 3368	. . . . . . . . . 10 |- ( w C_ A <-> ( A i^i w ) = w )
85	83, 84	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ~P A -> ( A i^i w ) = w )
86		dfin5 3164	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i w ) = { z e. A | z e. w }
87	85, 86	eqtr3di 2244	. . . . . . . 8 |- ( w e. ~P A -> w = { z e. A | z e. w } )
88	87	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 |- ( w e. ~P A -> ( w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
89	88	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> ( w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
90	89	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) -> ( w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
91	82, 90	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) -> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
92		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s e. ( 2o ^m A ) )
93	42	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> 2o e. om )
94		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> A e. V )
95	93, 94	elmapd 6730	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( s e. ( 2o ^m A ) <-> s : A --> 2o ) )
96	92, 95	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s : A --> 2o )
97	96	feqmptd 5617	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s = ( u e. A |-> ( s ` u ) ) )
98		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
99	98	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( u e. w <-> u e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
100		fveqeq2 5570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = u -> ( ( s ` z ) = 1o <-> ( s ` u ) = 1o ) )
101	100	elrab 2920	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> ( u e. A /\ ( s ` u ) = 1o ) )
102	99, 101	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( u e. w <-> ( u e. A /\ ( s ` u ) = 1o ) ) )
103	102	baibd 924	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w <-> ( s ` u ) = 1o ) )
104	103	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ u e. w ) -> ( s ` u ) = 1o )
105		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ u e. w ) -> u e. w )
106	105	iftrued 3569	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ u e. w ) -> if ( u e. w , 1o , (/) ) = 1o )
107	104, 106	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ u e. w ) -> ( s ` u ) = if ( u e. w , 1o , (/) ) )
108		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> -. u e. w )
109		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> u e. A )
110		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
111	110	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w <-> u e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
112	111, 101	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w <-> ( u e. A /\ ( s ` u ) = 1o ) ) )
113	109, 112	mpbirand 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w <-> ( s ` u ) = 1o ) )
114	113	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> ( u e. w <-> ( s ` u ) = 1o ) )
115	108, 114	mtbid 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> -. ( s ` u ) = 1o )
116	96	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> s : A --> 2o )
117	116, 109	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( s ` u ) e. 2o )
118		df2o3 6497	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o = { (/) , 1o }
119	117, 118	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( s ` u ) e. { (/) , 1o } )
120		elpri 3646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s ` u ) e. { (/) , 1o } -> ( ( s ` u ) = (/) \/ ( s ` u ) = 1o ) )
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( ( s ` u ) = (/) \/ ( s ` u ) = 1o ) )
122	121	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> ( ( s ` u ) = (/) \/ ( s ` u ) = 1o ) )
123	115, 122	ecased 1360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> ( s ` u ) = (/) )
124	108	iffalsed 3572	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> if ( u e. w , 1o , (/) ) = (/) )
125	123, 124	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> ( s ` u ) = if ( u e. w , 1o , (/) ) )
126	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> A. y e. A DECID y e. w )
127	36, 126, 109	rspcdva 2873	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> DECID u e. w )
128		exmiddc 837	. . . . . . . 8 |- (DECID u e. w -> ( u e. w \/ -. u e. w ) )
129	127, 128	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w \/ -. u e. w ) )
130	107, 125, 129	mpjaodan 799	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( s ` u ) = if ( u e. w , 1o , (/) ) )
131	130	mpteq2dva 4124	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( u e. A |-> ( s ` u ) ) = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) )
132	97, 131	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) )
133	91, 132	impbida 596	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) -> ( s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) <-> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
134	48, 133	sylan2b 287	. 2 |- ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ w e. { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ) ) -> ( s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) <-> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
135	1, 26, 47, 134	f1o2d 6132	1 |- ( A e. V -> F : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3451   ifcif 3562   ~Pcpw 3606   {cpr 3624   |-> cmpt 4095   omcom 4627   -->wf 5255   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   1oc1o 6476   2oc2o 6477   ^m cmap 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1o 6483  df-2o 6484  df-map 6718

This theorem is referenced by:  2omapen  15727