Theorem 2omap 16006

Description: Mapping between ( 2o ^m A ) and decidable subsets of A. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
2omap.f	|- F = ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )

Assertion

Ref	Expression
2omap	|- ( A e. V -> F : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )

Distinct variable groups:   A, s, y, z, x   V, s, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, y, z, s)   V( x)

Proof of Theorem 2omap

Dummy variables u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2omap.f	. 2 |- F = ( s e. ( 2o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
2		eleq2 2270	. . . . 5 |- ( x = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } -> ( y e. x <-> y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
3	2	dcbid 840	. . . 4 |- ( x = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } -> (DECID y e. x <-> DECID y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
4	3	ralbidv 2507	. . 3 |- ( x = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } -> ( A. y e. A DECID y e. x <-> A. y e. A DECID y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
5		ssrab2 3279	. . . . 5 |- { z e. A | ( s ` z ) = 1o } C_ A
6		elpw2g 4204	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. ~P A <-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } C_ A ) )
7	5, 6	mpbiri 168	. . . 4 |- ( A e. V -> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. ~P A )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) -> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. ~P A )
9		2ssom 6617	. . . . . . 7 |- 2o C_ om
10		elmapi 6764	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 2o ^m A ) -> s : A --> 2o )
11	10	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> s : A --> 2o )
12		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> y e. A )
13	11, 12	ffvelcdmd 5723	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> ( s ` y ) e. 2o )
14	9, 13	sselid 3192	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> ( s ` y ) e. om )
15		1onn 6613	. . . . . 6 |- 1o e. om
16		nndceq 6592	. . . . . 6 |- ( ( ( s ` y ) e. om /\ 1o e. om ) -> DECID ( s ` y ) = 1o )
17	14, 15, 16	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> DECID ( s ` y ) = 1o )
18		ibar 301	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( ( s ` y ) = 1o <-> ( y e. A /\ ( s ` y ) = 1o ) ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> ( ( s ` y ) = 1o <-> ( y e. A /\ ( s ` y ) = 1o ) ) )
20		fveqeq2 5592	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( s ` z ) = 1o <-> ( s ` y ) = 1o ) )
21	20	elrab 2930	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> ( y e. A /\ ( s ` y ) = 1o ) )
22	19, 21	bitr4di 198	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> ( ( s ` y ) = 1o <-> y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
23	22	dcbid 840	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> (DECID ( s ` y ) = 1o <-> DECID y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
24	17, 23	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) /\ y e. A ) -> DECID y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
25	24	ralrimiva 2580	. . 3 |- ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) -> A. y e. A DECID y e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
26	4, 8, 25	elrabd 2932	. 2 |- ( ( A e. V /\ s e. ( 2o ^m A ) ) -> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )
27		eleq2 2270	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( y e. x <-> y e. w ) )
28	27	dcbid 840	. . . . 5 |- ( x = w -> (DECID y e. x <-> DECID y e. w ) )
29	28	ralbidv 2507	. . . 4 |- ( x = w -> ( A. y e. A DECID y e. x <-> A. y e. A DECID y e. w ) )
30	29	elrab 2930	. . 3 |- ( w e. { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } <-> ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) )
31		1lt2o 6535	. . . . . . 7 |- 1o e. 2o
32	31	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> 1o e. 2o )
33		0lt2o 6534	. . . . . . 7 |- (/) e. 2o
34	33	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> (/) e. 2o )
35		elequ1 2181	. . . . . . . 8 |- ( y = u -> ( y e. w <-> u e. w ) )
36	35	dcbid 840	. . . . . . 7 |- ( y = u -> (DECID y e. w <-> DECID u e. w ) )
37		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> A. y e. A DECID y e. w )
38		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> u e. A )
39	36, 37, 38	rspcdva 2883	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> DECID u e. w )
40	32, 34, 39	ifcldcd 3609	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) /\ u e. A ) -> if ( u e. w , 1o , (/) ) e. 2o )
41	40	fmpttd 5742	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) : A --> 2o )
42		2onn 6614	. . . . . 6 |- 2o e. om
43	42	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> 2o e. om )
44		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> A e. V )
45	43, 44	elmapd 6756	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> ( ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) : A --> 2o ) )
46	41, 45	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m A ) )
47	30, 46	sylan2b 287	. 2 |- ( ( A e. V /\ w e. { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ) -> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) e. ( 2o ^m A ) )
48	30	anbi2i 457	. . 3 |- ( ( s e. ( 2o ^m A ) /\ w e. { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ) <-> ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) )
49		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ z e. w ) -> z e. w )
50		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) )
51	50	fveq1d 5585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( s ` z ) = ( ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ` z ) )
52		eqid 2206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) )
53		elequ1 2181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( u e. w <-> z e. w ) )
54	53	ifbid 3593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> if ( u e. w , 1o , (/) ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
55		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
56	31	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> 1o e. 2o )
57	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> (/) e. 2o )
58		elequ1 2181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> ( y e. w <-> z e. w ) )
59	58	dcbid 840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> (DECID y e. w <-> DECID z e. w ) )
60		simprrr 540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) -> A. y e. A DECID y e. w )
61	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> A. y e. A DECID y e. w )
62	59, 61, 55	rspcdva 2883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> DECID z e. w )
63	56, 57, 62	ifcldcd 3609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> if ( z e. w , 1o , (/) ) e. 2o )
64	52, 54, 55, 63	fvmptd3 5680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
65	51, 64	eqtrd 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( s ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
66	65	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ z e. w ) -> ( s ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
67	49	iftrued 3579	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ z e. w ) -> if ( z e. w , 1o , (/) ) = 1o )
68	66, 67	eqtrd 2239	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ z e. w ) -> ( s ` z ) = 1o )
69	49, 68	2thd 175	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ z e. w ) -> ( z e. w <-> ( s ` z ) = 1o ) )
70		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> -. z e. w )
71		1n0 6525	. . . . . . . . . 10 |- 1o =/= (/)
72	71	nesymi 2423	. . . . . . . . 9 |- -. (/) = 1o
73	65	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> ( s ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
74	70	iffalsed 3582	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> if ( z e. w , 1o , (/) ) = (/) )
75	73, 74	eqtrd 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> ( s ` z ) = (/) )
76	75	eqeq1d 2215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> ( ( s ` z ) = 1o <-> (/) = 1o ) )
77	72, 76	mtbiri 677	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> -. ( s ` z ) = 1o )
78	70, 77	2falsed 704	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) /\ -. z e. w ) -> ( z e. w <-> ( s ` z ) = 1o ) )
79		exmiddc 838	. . . . . . . 8 |- (DECID z e. w -> ( z e. w \/ -. z e. w ) )
80	62, 79	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z e. w \/ -. z e. w ) )
81	69, 78, 80	mpjaodan 800	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z e. w <-> ( s ` z ) = 1o ) )
82	81	rabbidva 2761	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) -> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
83		elpwi 3626	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ~P A -> w C_ A )
84		dfss1 3378	. . . . . . . . . 10 |- ( w C_ A <-> ( A i^i w ) = w )
85	83, 84	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ~P A -> ( A i^i w ) = w )
86		dfin5 3174	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i w ) = { z e. A | z e. w }
87	85, 86	eqtr3di 2254	. . . . . . . 8 |- ( w e. ~P A -> w = { z e. A | z e. w } )
88	87	eqeq1d 2215	. . . . . . 7 |- ( w e. ~P A -> ( w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
89	88	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) -> ( w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
90	89	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) -> ( w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
91	82, 90	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) -> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
92		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s e. ( 2o ^m A ) )
93	42	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> 2o e. om )
94		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> A e. V )
95	93, 94	elmapd 6756	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( s e. ( 2o ^m A ) <-> s : A --> 2o ) )
96	92, 95	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s : A --> 2o )
97	96	feqmptd 5639	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s = ( u e. A |-> ( s ` u ) ) )
98		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
99	98	eleq2d 2276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( u e. w <-> u e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
100		fveqeq2 5592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = u -> ( ( s ` z ) = 1o <-> ( s ` u ) = 1o ) )
101	100	elrab 2930	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> ( u e. A /\ ( s ` u ) = 1o ) )
102	99, 101	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( u e. w <-> ( u e. A /\ ( s ` u ) = 1o ) ) )
103	102	baibd 925	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w <-> ( s ` u ) = 1o ) )
104	103	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ u e. w ) -> ( s ` u ) = 1o )
105		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ u e. w ) -> u e. w )
106	105	iftrued 3579	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ u e. w ) -> if ( u e. w , 1o , (/) ) = 1o )
107	104, 106	eqtr4d 2242	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ u e. w ) -> ( s ` u ) = if ( u e. w , 1o , (/) ) )
108		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> -. u e. w )
109		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> u e. A )
110		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
111	110	eleq2d 2276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w <-> u e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
112	111, 101	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w <-> ( u e. A /\ ( s ` u ) = 1o ) ) )
113	109, 112	mpbirand 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w <-> ( s ` u ) = 1o ) )
114	113	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> ( u e. w <-> ( s ` u ) = 1o ) )
115	108, 114	mtbid 674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> -. ( s ` u ) = 1o )
116	96	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> s : A --> 2o )
117	116, 109	ffvelcdmd 5723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( s ` u ) e. 2o )
118		df2o3 6523	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o = { (/) , 1o }
119	117, 118	eleqtrdi 2299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( s ` u ) e. { (/) , 1o } )
120		elpri 3657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s ` u ) e. { (/) , 1o } -> ( ( s ` u ) = (/) \/ ( s ` u ) = 1o ) )
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( ( s ` u ) = (/) \/ ( s ` u ) = 1o ) )
122	121	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> ( ( s ` u ) = (/) \/ ( s ` u ) = 1o ) )
123	115, 122	ecased 1362	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> ( s ` u ) = (/) )
124	108	iffalsed 3582	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> if ( u e. w , 1o , (/) ) = (/) )
125	123, 124	eqtr4d 2242	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) /\ -. u e. w ) -> ( s ` u ) = if ( u e. w , 1o , (/) ) )
126	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> A. y e. A DECID y e. w )
127	36, 126, 109	rspcdva 2883	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> DECID u e. w )
128		exmiddc 838	. . . . . . . 8 |- (DECID u e. w -> ( u e. w \/ -. u e. w ) )
129	127, 128	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w \/ -. u e. w ) )
130	107, 125, 129	mpjaodan 800	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( s ` u ) = if ( u e. w , 1o , (/) ) )
131	130	mpteq2dva 4138	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( u e. A |-> ( s ` u ) ) = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) )
132	97, 131	eqtrd 2239	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) )
133	91, 132	impbida 596	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ ( w e. ~P A /\ A. y e. A DECID y e. w ) ) ) -> ( s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) <-> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
134	48, 133	sylan2b 287	. 2 |- ( ( A e. V /\ ( s e. ( 2o ^m A ) /\ w e. { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ) ) -> ( s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) <-> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
135	1, 26, 47, 134	f1o2d 6158	1 |- ( A e. V -> F : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   {crab 2489   i^i cin 3166   C_ wss 3167   (/)c0 3461   ifcif 3572   ~Pcpw 3617   {cpr 3635   |-> cmpt 4109   omcom 4642   -->wf 5272   -1-1-onto->wf1o 5275   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   1oc1o 6502   2oc2o 6503   ^m cmap 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1o 6509  df-2o 6510  df-map 6744

This theorem is referenced by:  2omapen  16007