Theorem 2omapen 16655

Description: Equinumerosity of (2_o ↑_𝑚 𝐴) and the set of decidable subsets of 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2omapen	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem 2omapen

Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6829	. . 3 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
2		2onn 6694	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
3	2	elexi 2814	. . 3 ⊢ 2o ∈ V
4		elex 2813	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
5		fnovex 6056	. . 3 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 2o ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1377	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
7		eqid 2230	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}) = (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o})
8	7	2omap 16654	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}):(2o ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})
9		f1oeng 6935	. 2 ⊢ (((2o ↑𝑚 𝐴) ∈ V ∧ (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}):(2o ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥}) → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})
10	6, 8, 9	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∀wral 2509  {crab 2513  Vcvv 2801  𝒫 cpw 3653   class class class wbr 4089   ↦ cmpt 4151  ωcom 4690   × cxp 4725   Fn wfn 5323  –1-1-onto→wf1o 5327  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  1_oc1o 6580  2_oc2o 6581   ↑_𝑚 cmap 6822   ≈ cen 6912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-1o 6587  df-2o 6588  df-map 6824  df-en 6915

This theorem is referenced by: (None)