Theorem 2omapen 7269

Description: Equinumerosity of (2_o ↑_𝑚 𝐴) and the set of decidable subsets of 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2omapen	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem 2omapen

Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6888	. . 3 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
2		2onn 6753	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
3	2	elexi 2825	. . 3 ⊢ 2o ∈ V
4		elex 2824	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
5		fnovex 6082	. . 3 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 2o ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1378	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
7		eqid 2232	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}) = (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o})
8	7	2omap 7268	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}):(2o ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})
9		f1oeng 6995	. 2 ⊢ (((2o ↑𝑚 𝐴) ∈ V ∧ (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}):(2o ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥}) → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})
10	6, 8, 9	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  {crab 2524  Vcvv 2812  𝒫 cpw 3668   class class class wbr 4108   ↦ cmpt 4170  ωcom 4711   × cxp 4746   Fn wfn 5346  –1-1-onto→wf1o 5350  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  1_oc1o 6639  2_oc2o 6640   ↑_𝑚 cmap 6881   ≈ cen 6972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-1o 6646  df-2o 6647  df-map 6883  df-en 6975

This theorem is referenced by:  2omapfi  7270