Theorem 2omapen 16389

Description: Equinumerosity of (2_o ↑_𝑚 𝐴) and the set of decidable subsets of 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2omapen	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem 2omapen

Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6810	. . 3 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
2		2onn 6675	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
3	2	elexi 2812	. . 3 ⊢ 2o ∈ V
4		elex 2811	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
5		fnovex 6040	. . 3 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 2o ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1375	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
7		eqid 2229	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}) = (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o})
8	7	2omap 16388	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}):(2o ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})
9		f1oeng 6916	. 2 ⊢ (((2o ↑𝑚 𝐴) ∈ V ∧ (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}):(2o ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥}) → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})
10	6, 8, 9	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  {crab 2512  Vcvv 2799  𝒫 cpw 3649   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  ωcom 4682   × cxp 4717   Fn wfn 5313  –1-1-onto→wf1o 5317  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  1_oc1o 6561  2_oc2o 6562   ↑_𝑚 cmap 6803   ≈ cen 6893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-map 6805  df-en 6896

This theorem is referenced by: (None)