Theorem 2omapen 15727

Description: Equinumerosity of (2_o ↑_𝑚 𝐴) and the set of decidable subsets of 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2omapen	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem 2omapen

Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6723	. . 3 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
2		2onn 6588	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
3	2	elexi 2775	. . 3 ⊢ 2o ∈ V
4		elex 2774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
5		fnovex 5958	. . 3 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 2o ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1352	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
7		eqid 2196	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}) = (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o})
8	7	2omap 15726	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}):(2o ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})
9		f1oeng 6825	. 2 ⊢ (((2o ↑𝑚 𝐴) ∈ V ∧ (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}):(2o ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥}) → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})
10	6, 8, 9	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {crab 2479  Vcvv 2763  𝒫 cpw 3606   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  ωcom 4627   × cxp 4662   Fn wfn 5254  –1-1-onto→wf1o 5258  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  1_oc1o 6476  2_oc2o 6477   ↑_𝑚 cmap 6716   ≈ cen 6806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-1o 6483  df-2o 6484  df-map 6718  df-en 6809

This theorem is referenced by: (None)