Theorem 2omapen 7319

Description: Equinumerosity of (2_o ↑_𝑚 𝐴) and the set of decidable subsets of 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2omapen	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem 2omapen

Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6929	. . 3 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
2		2onn 6794	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
3	2	elexi 2834	. . 3 ⊢ 2o ∈ V
4		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
5		fnovex 6118	. . 3 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 2o ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1382	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (2o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
7		eqid 2238	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}) = (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o})
8	7	2omap 7318	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}):(2o ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})
9		f1oeng 7043	. 2 ⊢ (((2o ↑𝑚 𝐴) ∈ V ∧ (𝑠 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}):(2o ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥}) → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})
10	6, 8, 9	syl2anc 415	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  Vcvv 2821  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ωcom 4737   × cxp 4772   Fn wfn 5372  –1-1-onto→wf1o 5376  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  1_oc1o 6680  2_oc2o 6681   ↑_𝑚 cmap 6922   ≈ cen 7020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-2o 6688  df-map 6924  df-en 7023

This theorem is used by:  2omapfi  7320