ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sinbnd Unicode version

Theorem sinbnd 11649
Description: The sine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
sinbnd  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  <_ 
1 ) )

Proof of Theorem sinbnd
StepHypRef Expression
1 recoscl 11618 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
21sqge0d 10578 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )
3 resincl 11617 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
43resqcld 10577 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
51resqcld 10577 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
64, 5addge01d 8408 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( ( cos `  A ) ^
2 )  <->  ( ( sin `  A ) ^
2 )  <_  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) ) )
72, 6mpbid 146 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) ) )
8 recn 7865 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
9 sincossq 11645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
108, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
11 sq1 10512 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
1210, 11eqtr4di 2208 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 1 ^ 2 ) )
137, 12breqtrd 3990 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) )
14 1re 7877 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
15 0le1 8356 . . . . . 6  |-  0  <_  1
16 lenegsq 10995 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  ->  (
( ( sin `  A
)  <_  1  /\  -u ( sin `  A
)  <_  1 )  <-> 
( ( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) ) )
1714, 15, 16mp3an23 1311 . . . . 5  |-  ( ( sin `  A )  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
)  <_  1  /\  -u ( sin `  A
)  <_  1 )  <-> 
( ( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) ) )
18 lenegcon1 8341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u ( sin `  A )  <_  1  <->  -u 1  <_  ( sin `  A ) ) )
1914, 18mpan2 422 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  A )  e.  RR  ->  ( -u ( sin `  A
)  <_  1  <->  -u 1  <_ 
( sin `  A
) ) )
2019anbi2d 460 . . . . 5  |-  ( ( sin `  A )  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
)  <_  1  /\  -u ( sin `  A
)  <_  1 )  <-> 
( ( sin `  A
)  <_  1  /\  -u 1  <_  ( sin `  A ) ) ) )
2117, 20bitr3d 189 . . . 4  |-  ( ( sin `  A )  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 )  <->  ( ( sin `  A )  <_ 
1  /\  -u 1  <_ 
( sin `  A
) ) ) )
223, 21syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 )  <->  ( ( sin `  A )  <_ 
1  /\  -u 1  <_ 
( sin `  A
) ) ) )
2313, 22mpbid 146 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
)  <_  1  /\  -u 1  <_  ( sin `  A ) ) )
2423ancomd 265 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  <_ 
1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   CCcc 7730   RRcr 7731   0cc0 7732   1c1 7733    + caddc 7735    <_ cle 7913   -ucneg 8047   2c2 8884   ^cexp 10418   sincsin 11541   cosccos 11542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-disj 3943  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-frec 6338  df-1o 6363  df-oadd 6367  df-er 6480  df-en 6686  df-dom 6687  df-fin 6688  df-sup 6928  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-ico 9798  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-fac 10600  df-bc 10622  df-ihash 10650  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176  df-sumdc 11251  df-ef 11545  df-sin 11547  df-cos 11548
This theorem is referenced by:  sinbnd2  11651
  Copyright terms: Public domain W3C validator