Theorem sinbnd 12258

Description: The sine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sinbnd	|- ( A e. RR -> ( -u 1 <_ ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) <_ 1 ) )

Proof of Theorem sinbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recoscl 12227	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( cos ` A ) e. RR )
2	1	sqge0d 10917	. . . . 5 |- ( A e. RR -> 0 <_ ( ( cos ` A ) ^ 2 ) )
3		resincl 12226	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( sin ` A ) e. RR )
4	3	resqcld 10916	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( sin ` A ) ^ 2 ) e. RR )
5	1	resqcld 10916	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. RR )
6	4, 5	addge01d 8676	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ ( ( cos ` A ) ^ 2 ) <-> ( ( sin ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) )
7	2, 6	mpbid 147	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( sin ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) )
8		recn 8128	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A e. CC )
9		sincossq 12254	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
11		sq1 10850	. . . . 5 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
12	10, 11	eqtr4di 2280	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( 1 ^ 2 ) )
13	7, 12	breqtrd 4108	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( sin ` A ) ^ 2 ) <_ ( 1 ^ 2 ) )
14		1re 8141	. . . . . 6 |- 1 e. RR
15		0le1 8624	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
16		lenegsq 11601	. . . . . 6 |- ( ( ( sin ` A ) e. RR /\ 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) -> ( ( ( sin ` A ) <_ 1 /\ -u ( sin ` A ) <_ 1 ) <-> ( ( sin ` A ) ^ 2 ) <_ ( 1 ^ 2 ) ) )
17	14, 15, 16	mp3an23 1363	. . . . 5 |- ( ( sin ` A ) e. RR -> ( ( ( sin ` A ) <_ 1 /\ -u ( sin ` A ) <_ 1 ) <-> ( ( sin ` A ) ^ 2 ) <_ ( 1 ^ 2 ) ) )
18		lenegcon1 8609	. . . . . . 7 |- ( ( ( sin ` A ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( -u ( sin ` A ) <_ 1 <-> -u 1 <_ ( sin ` A ) ) )
19	14, 18	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( ( sin ` A ) e. RR -> ( -u ( sin ` A ) <_ 1 <-> -u 1 <_ ( sin ` A ) ) )
20	19	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( ( sin ` A ) e. RR -> ( ( ( sin ` A ) <_ 1 /\ -u ( sin ` A ) <_ 1 ) <-> ( ( sin ` A ) <_ 1 /\ -u 1 <_ ( sin ` A ) ) ) )
21	17, 20	bitr3d 190	. . . 4 |- ( ( sin ` A ) e. RR -> ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) <_ ( 1 ^ 2 ) <-> ( ( sin ` A ) <_ 1 /\ -u 1 <_ ( sin ` A ) ) ) )
22	3, 21	syl 14	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) <_ ( 1 ^ 2 ) <-> ( ( sin ` A ) <_ 1 /\ -u 1 <_ ( sin ` A ) ) ) )
23	13, 22	mpbid 147	. 2 |- ( A e. RR -> ( ( sin ` A ) <_ 1 /\ -u 1 <_ ( sin ` A ) ) )
24	23	ancomd 267	1 |- ( A e. RR -> ( -u 1 <_ ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) <_ 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   RRcr 7994   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   <_ cle 8178   -ucneg 8314   2c2 9157   ^cexp 10755   sincsin 12150   cosccos 12151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-disj 4059  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-sup 7147  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-ico 10086  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-fac 10943  df-bc 10965  df-ihash 10993  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-sumdc 11860  df-ef 12154  df-sin 12156  df-cos 12157

This theorem is referenced by:  sinbnd2  12260  sinltxirr  12267