ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  posdifd Unicode version

Theorem posdifd 8476
Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
posdifd  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )

Proof of Theorem posdifd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 posdif 8399 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
41, 2, 3syl2anc 411 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   RRcr 7798   0cc0 7799    < clt 7979    - cmin 8115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-ltxr 7984  df-sub 8117  df-neg 8118
This theorem is referenced by:  possumd  8513  ltmul1a  8535  ztri3or  9282  qbtwnre  10240  expnbnd  10626  resqrexlemover  11000  fsumlt  11453  cvgratnnlembern  11512  cvgratnnlemsumlt  11517  cvgratnnlemfm  11518  cvgratnnlemrate  11519  cvgratnn  11520  sin01gt0  11750  cos12dec  11756  nno  11891  pythagtriplem10  12249  ivthinclemlopn  13774  ivthinclemuopn  13776  sin0pilem1  13862  cosordlem  13930  cosq34lt1  13931  iooref1o  14431  trilpolemlt1  14438  trirec0  14441
  Copyright terms: Public domain W3C validator