Theorem resqrexlemcalc2 11026

Description: Lemma for resqrex 11037. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc2	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemcalc1 11025	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
5	1, 2, 3	resqrexlemf 11018	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
6	5	ffvelcdmda 5653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
7	6	rpred 9698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR )
8	7	resqcld 10682	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR )
9	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
10	8, 9	resubcld 8340	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
11	6	rpap0d 9704	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) # 0 )
12	7, 11	sqgt0apd 10684	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
13	8, 12	elrpd 9695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR+ )
14	8, 9	readdcld 7989	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) e. RR )
15	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 <_ A )
16	8, 9	addge01d 8492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ A <-> ( ( F ` N ) ^ 2 ) <_ ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) ) )
17	15, 16	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) <_ ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) )
18	8, 14, 9, 17	lesub1dd 8520	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) - A ) )
19	8	recnd 7988	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. CC )
20	9	recnd 7988	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. CC )
21	19, 20	pncand 8271	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) - A ) = ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
22	18, 21	breqtrd 4031	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
23	10, 8, 13, 22	lediv1dd 9757	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
24	8, 12	gt0ap0d 8588	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) # 0 )
25	19, 24	dividapd 8745	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = 1 )
26	23, 25	breqtrd 4031	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) <_ 1 )
27	10, 8, 24	redivclapd 8794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) e. RR )
28		1red 7974	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
29	1, 2, 3	resqrexlemover 11021	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
30		difrp 9694	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR+ ) )
31	9, 8, 30	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR+ ) )
32	29, 31	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR+ )
33		4re 8998	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. RR )
35		4pos 9018	. . . . . . . 8 |- 0 < 4
36	35	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < 4 )
37	34, 36	elrpd 9695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. RR+ )
38	32, 37	rpdivcld 9716	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. RR+ )
39	27, 28, 38	lemul1d 9742	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) <_ 1 <-> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) <_ ( 1 x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) ) )
40	26, 39	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) <_ ( 1 x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) )
41	10	recnd 7988	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. CC )
42	34	recnd 7988	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. CC )
43	34, 36	gt0ap0d 8588	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 # 0 )
44	41, 19, 41, 42, 24, 43	divmuldivapd 8791	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) )
45	41	sqvald 10653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ) )
46	42, 19	mulcomd 7981	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) )
47	45, 46	oveq12d 5895	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) )
48	44, 47	eqtr4d 2213	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
49	38	rpcnd 9700	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. CC )
50	49	mulid2d 7978	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
51	40, 48, 50	3brtr3d 4036	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
52	4, 51	eqbrtrd 4027	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {csn 3594   class class class wbr 4005   X. cxp 4626   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   e. cmpo 5879   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   < clt 7994   <_ cle 7995   - cmin 8130   / cdiv 8631   NNcn 8921   2c2 8972   4c4 8974   RR+crp 9655   seqcseq 10447   ^cexp 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc3  11027