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Theorem resqrexlemcalc2 10289
Description: Lemma for resqrex 10300. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  4
) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
2 resqrexlemex.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemcalc1 10288 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
51, 2, 3resqrexlemf 10281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
65ffvelrnda 5382 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR+ )
76rpred 9082 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR )
87resqcld 9961 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  RR )
92adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
108, 9resubcld 7780 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
116rpap0d 9088 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N ) #  0 )
127, 11sqgt0apd 9963 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  < 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
138, 12elrpd 9080 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  RR+ )
148, 9readdcld 7438 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  A )  e.  RR )
153adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  A )
168, 9addge01d 7928 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  A
) ) )
1715, 16mpbid 145 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  A
) )
188, 14, 9, 17lesub1dd 7956 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  A )  -  A
) )
198recnd 7437 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  CC )
209recnd 7437 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
2119, 20pncand 7715 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  A )  -  A )  =  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )
2218, 21breqtrd 3838 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
2310, 8, 13, 22lediv1dd 9141 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( F `
 N ) ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
248, 12gt0ap0d 8023 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 ) #  0 )
2519, 24dividapd 8169 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  1 )
2623, 25breqtrd 3838 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  <_ 
1 )
2710, 8, 24redivclapd 8215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  e.  RR )
28 1red 7424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
291, 2, 3resqrexlemover 10284 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
30 difrp 9079 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( A  < 
( ( F `  N ) ^ 2 )  <->  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  e.  RR+ ) )
319, 8, 30syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  <  ( ( F `
 N ) ^
2 )  <->  ( (
( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR+ ) )
3229, 31mpbid 145 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR+ )
33 4re 8411 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
3433a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  RR )
35 4pos 8431 . . . . . . . 8  |-  0  <  4
3635a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  4 )
3734, 36elrpd 9080 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  RR+ )
3832, 37rpdivcld 9100 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  4 )  e.  RR+ )
3927, 28, 38lemul1d 9126 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  <_  1  <->  ( (
( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  / 
4 ) )  <_ 
( 1  x.  (
( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  /  4 ) ) ) )
4026, 39mpbid 145 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  / 
4 ) )  <_ 
( 1  x.  (
( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  /  4 ) ) )
4110recnd 7437 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  e.  CC )
4234recnd 7437 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  CC )
4334, 36gt0ap0d 8023 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4 #  0 )
4441, 19, 41, 42, 24, 43divmuldivapd 8213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  / 
4 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  x.  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
) )  /  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  4 ) ) )
4541sqvald 9932 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ) )
4642, 19mulcomd 7430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 4  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  x.  4 ) )
4745, 46oveq12d 5612 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
) ^ 2 )  /  ( 4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  x.  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
) )  /  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  4 ) ) )
4844, 47eqtr4d 2120 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  / 
4 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
4938rpcnd 9084 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  4 )  e.  CC )
5049mulid2d 7427 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  x.  ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  / 
4 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  4
) )
5140, 48, 503brtr3d 3843 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
) ^ 2 )  /  ( 4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) )  <_ 
( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  4
) )
524, 51eqbrtrd 3834 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  4
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   {csn 3425   class class class wbr 3814    X. cxp 4402   ` cfv 4972  (class class class)co 5594    |-> cmpt2 5596   RRcr 7270   0cc0 7271   1c1 7272    + caddc 7274    x. cmul 7276    < clt 7443    <_ cle 7444    - cmin 7574    / cdiv 8055   NNcn 8334   2c2 8384   4c4 8386   RR+crp 9043    seqcseq 9754   ^cexp 9805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-2 8393  df-3 8394  df-4 8395  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-rp 9044  df-iseq 9755  df-iexp 9806
This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc3  10290
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