ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemcalc2 Unicode version

Theorem resqrexlemcalc2 10511
Description: Lemma for resqrex 10522. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  4
) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
2 resqrexlemex.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemcalc1 10510 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
51, 2, 3resqrexlemf 10503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
65ffvelrnda 5450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR+ )
76rpred 9236 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR )
87resqcld 10175 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  RR )
92adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
108, 9resubcld 7922 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
116rpap0d 9242 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N ) #  0 )
127, 11sqgt0apd 10177 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  < 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
138, 12elrpd 9234 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  RR+ )
148, 9readdcld 7580 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  A )  e.  RR )
153adantr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  A )
168, 9addge01d 8073 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  A
) ) )
1715, 16mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  A
) )
188, 14, 9, 17lesub1dd 8101 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  A )  -  A
) )
198recnd 7579 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  CC )
209recnd 7579 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
2119, 20pncand 7857 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  A )  -  A )  =  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )
2218, 21breqtrd 3877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
2310, 8, 13, 22lediv1dd 9295 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  <_ 
( ( ( F `
 N ) ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
248, 12gt0ap0d 8168 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 ) #  0 )
2519, 24dividapd 8316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  1 )
2623, 25breqtrd 3877 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  <_ 
1 )
2710, 8, 24redivclapd 8364 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  e.  RR )
28 1red 7566 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
291, 2, 3resqrexlemover 10506 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
30 difrp 9233 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( A  < 
( ( F `  N ) ^ 2 )  <->  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  e.  RR+ ) )
319, 8, 30syl2anc 404 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  <  ( ( F `
 N ) ^
2 )  <->  ( (
( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR+ ) )
3229, 31mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR+ )
33 4re 8562 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
3433a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  RR )
35 4pos 8582 . . . . . . . 8  |-  0  <  4
3635a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  4 )
3734, 36elrpd 9234 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  RR+ )
3832, 37rpdivcld 9254 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  4 )  e.  RR+ )
3927, 28, 38lemul1d 9280 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  <_  1  <->  ( (
( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  / 
4 ) )  <_ 
( 1  x.  (
( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  /  4 ) ) ) )
4026, 39mpbid 146 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  / 
4 ) )  <_ 
( 1  x.  (
( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  /  4 ) ) )
4110recnd 7579 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  e.  CC )
4234recnd 7579 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  CC )
4334, 36gt0ap0d 8168 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4 #  0 )
4441, 19, 41, 42, 24, 43divmuldivapd 8362 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  / 
4 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  x.  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
) )  /  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  4 ) ) )
4541sqvald 10146 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ) )
4642, 19mulcomd 7572 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 4  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  x.  4 ) )
4745, 46oveq12d 5686 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
) ^ 2 )  /  ( 4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  x.  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
) )  /  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  4 ) ) )
4844, 47eqtr4d 2124 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  / 
4 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
4938rpcnd 9238 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  4 )  e.  CC )
5049mulid2d 7569 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  x.  ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  / 
4 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  4
) )
5140, 48, 503brtr3d 3882 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
) ^ 2 )  /  ( 4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) )  <_ 
( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  4
) )
524, 51eqbrtrd 3873 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  /  4
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1290    e. wcel 1439   {csn 3452   class class class wbr 3853    X. cxp 4452   ` cfv 5030  (class class class)co 5668    |-> cmpt2 5670   RRcr 7412   0cc0 7413   1c1 7414    + caddc 7416    x. cmul 7418    < clt 7585    <_ cle 7586    - cmin 7716    / cdiv 8202   NNcn 8485   2c2 8536   4c4 8538   RR+crp 9197    seqcseq 9915   ^cexp 10017
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-rp 9198  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018
This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc3  10512
  Copyright terms: Public domain W3C validator