Theorem resqrexlemcalc2 10979

Description: Lemma for resqrex 10990. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc2	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemcalc1 10978	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
5	1, 2, 3	resqrexlemf 10971	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
6	5	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
7	6	rpred 9653	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR )
8	7	resqcld 10635	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR )
9	2	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
10	8, 9	resubcld 8300	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
11	6	rpap0d 9659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) # 0 )
12	7, 11	sqgt0apd 10637	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
13	8, 12	elrpd 9650	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR+ )
14	8, 9	readdcld 7949	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) e. RR )
15	3	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 <_ A )
16	8, 9	addge01d 8452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ A <-> ( ( F ` N ) ^ 2 ) <_ ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) ) )
17	15, 16	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) <_ ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) )
18	8, 14, 9, 17	lesub1dd 8480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) - A ) )
19	8	recnd 7948	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. CC )
20	9	recnd 7948	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. CC )
21	19, 20	pncand 8231	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) - A ) = ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
22	18, 21	breqtrd 4015	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
23	10, 8, 13, 22	lediv1dd 9712	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
24	8, 12	gt0ap0d 8548	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) # 0 )
25	19, 24	dividapd 8703	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = 1 )
26	23, 25	breqtrd 4015	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) <_ 1 )
27	10, 8, 24	redivclapd 8752	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) e. RR )
28		1red 7935	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
29	1, 2, 3	resqrexlemover 10974	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
30		difrp 9649	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR+ ) )
31	9, 8, 30	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR+ ) )
32	29, 31	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR+ )
33		4re 8955	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. RR )
35		4pos 8975	. . . . . . . 8 |- 0 < 4
36	35	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < 4 )
37	34, 36	elrpd 9650	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. RR+ )
38	32, 37	rpdivcld 9671	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. RR+ )
39	27, 28, 38	lemul1d 9697	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) <_ 1 <-> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) <_ ( 1 x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) ) )
40	26, 39	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) <_ ( 1 x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) )
41	10	recnd 7948	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. CC )
42	34	recnd 7948	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. CC )
43	34, 36	gt0ap0d 8548	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 # 0 )
44	41, 19, 41, 42, 24, 43	divmuldivapd 8749	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) )
45	41	sqvald 10606	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ) )
46	42, 19	mulcomd 7941	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) )
47	45, 46	oveq12d 5871	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) )
48	44, 47	eqtr4d 2206	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
49	38	rpcnd 9655	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. CC )
50	49	mulid2d 7938	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
51	40, 48, 50	3brtr3d 4020	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
52	4, 51	eqbrtrd 4011	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {csn 3583   class class class wbr 3989   X. cxp 4609   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   4c4 8931   RR+crp 9610   seqcseq 10401   ^cexp 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc3  10980