Theorem resqrexlemcalc2 11575

Description: Lemma for resqrex 11586. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc2	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemcalc1 11574	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
5	1, 2, 3	resqrexlemf 11567	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
6	5	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
7	6	rpred 9930	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR )
8	7	resqcld 10960	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR )
9	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
10	8, 9	resubcld 8559	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
11	6	rpap0d 9936	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) # 0 )
12	7, 11	sqgt0apd 10962	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
13	8, 12	elrpd 9927	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR+ )
14	8, 9	readdcld 8208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) e. RR )
15	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 <_ A )
16	8, 9	addge01d 8712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ A <-> ( ( F ` N ) ^ 2 ) <_ ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) ) )
17	15, 16	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) <_ ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) )
18	8, 14, 9, 17	lesub1dd 8740	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) - A ) )
19	8	recnd 8207	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. CC )
20	9	recnd 8207	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. CC )
21	19, 20	pncand 8490	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) - A ) = ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
22	18, 21	breqtrd 4114	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
23	10, 8, 13, 22	lediv1dd 9989	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
24	8, 12	gt0ap0d 8808	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) # 0 )
25	19, 24	dividapd 8965	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = 1 )
26	23, 25	breqtrd 4114	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) <_ 1 )
27	10, 8, 24	redivclapd 9014	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) e. RR )
28		1red 8193	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
29	1, 2, 3	resqrexlemover 11570	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
30		difrp 9926	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR+ ) )
31	9, 8, 30	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR+ ) )
32	29, 31	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR+ )
33		4re 9219	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. RR )
35		4pos 9239	. . . . . . . 8 |- 0 < 4
36	35	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < 4 )
37	34, 36	elrpd 9927	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. RR+ )
38	32, 37	rpdivcld 9948	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. RR+ )
39	27, 28, 38	lemul1d 9974	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) <_ 1 <-> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) <_ ( 1 x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) ) )
40	26, 39	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) <_ ( 1 x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) )
41	10	recnd 8207	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. CC )
42	34	recnd 8207	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. CC )
43	34, 36	gt0ap0d 8808	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 # 0 )
44	41, 19, 41, 42, 24, 43	divmuldivapd 9011	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) )
45	41	sqvald 10931	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ) )
46	42, 19	mulcomd 8200	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) )
47	45, 46	oveq12d 6035	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) )
48	44, 47	eqtr4d 2267	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
49	38	rpcnd 9932	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. CC )
50	49	mulid2d 8197	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
51	40, 48, 50	3brtr3d 4119	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
52	4, 51	eqbrtrd 4110	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   {csn 3669   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   / cdiv 8851   NNcn 9142   2c2 9193   4c4 9195   RR+crp 9887   seqcseq 10708   ^cexp 10799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc3  11576