Theorem resqrexlemcalc2 11759

Description: Lemma for resqrex 11770. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc2	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemcalc1 11758	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
5	1, 2, 3	resqrexlemf 11751	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
6	5	ffvelcdmda 5834	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
7	6	rpred 10076	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR )
8	7	resqcld 11115	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR )
9	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
10	8, 9	resubcld 8698	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
11	6	rpap0d 10082	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) # 0 )
12	7, 11	sqgt0apd 11117	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
13	8, 12	elrpd 10073	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR+ )
14	8, 9	readdcld 8345	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) e. RR )
15	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 <_ A )
16	8, 9	addge01d 8851	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ A <-> ( ( F ` N ) ^ 2 ) <_ ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) ) )
17	15, 16	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) <_ ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) )
18	8, 14, 9, 17	lesub1dd 8879	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) - A ) )
19	8	recnd 8344	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. CC )
20	9	recnd 8344	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. CC )
21	19, 20	pncand 8628	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + A ) - A ) = ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
22	18, 21	breqtrd 4151	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
23	10, 8, 13, 22	lediv1dd 10135	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
24	8, 12	gt0ap0d 8947	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) # 0 )
25	19, 24	dividapd 9106	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = 1 )
26	23, 25	breqtrd 4151	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) <_ 1 )
27	10, 8, 24	redivclapd 9155	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) e. RR )
28		1red 8331	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
29	1, 2, 3	resqrexlemover 11754	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
30		difrp 10072	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR+ ) )
31	9, 8, 30	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A < ( ( F ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR+ ) )
32	29, 31	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. RR+ )
33		4re 9360	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. RR )
35		4pos 9380	. . . . . . . 8 |- 0 < 4
36	35	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < 4 )
37	34, 36	elrpd 10073	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. RR+ )
38	32, 37	rpdivcld 10094	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. RR+ )
39	27, 28, 38	lemul1d 10120	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) <_ 1 <-> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) <_ ( 1 x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) ) )
40	26, 39	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) <_ ( 1 x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) )
41	10	recnd 8344	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. CC )
42	34	recnd 8344	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. CC )
43	34, 36	gt0ap0d 8947	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 # 0 )
44	41, 19, 41, 42, 24, 43	divmuldivapd 9152	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) )
45	41	sqvald 11086	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ) )
46	42, 19	mulcomd 8337	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) )
47	45, 46	oveq12d 6093	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) )
48	44, 47	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
49	38	rpcnd 10078	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. CC )
50	49	mullidd 8334	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 x. ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
51	40, 48, 50	3brtr3d 4156	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
52	4, 51	eqbrtrd 4147	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3705   class class class wbr 4125   X. cxp 4767   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   e. cmpo 6077   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   4c4 9336   RR+crp 10033   seqcseq 10862   ^cexp 10953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034  df-seqfrec 10863  df-exp 10954

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc3  11760