Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climserle Unicode version

Theorem climserle 11224
 Description: The partial sums of a converging infinite series with nonnegative terms are bounded by its limit. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2iser.1
climserle.2
climserle.3
climserle.4
climserle.5
Assertion
Ref Expression
climserle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem climserle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2iser.1 . 2
2 climserle.2 . 2
3 climserle.3 . 2
42, 1eleqtrdi 2250 . . . . 5
5 eluzel2 9427 . . . . 5
64, 5syl 14 . . . 4
7 climserle.4 . . . 4
81, 6, 7serfre 10356 . . 3
98ffvelrnda 5599 . 2
101peano2uzs 9478 . . . . 5
11 fveq2 5465 . . . . . . . . 9
1211breq2d 3977 . . . . . . . 8
1312imbi2d 229 . . . . . . 7
14 climserle.5 . . . . . . . 8
1514expcom 115 . . . . . . 7
1613, 15vtoclga 2778 . . . . . 6
1716impcom 124 . . . . 5
1810, 17sylan2 284 . . . 4
1911eleq1d 2226 . . . . . . . . 9
2019imbi2d 229 . . . . . . . 8
217expcom 115 . . . . . . . 8
2220, 21vtoclga 2778 . . . . . . 7
2322impcom 124 . . . . . 6
2410, 23sylan2 284 . . . . 5
259, 24addge01d 8391 . . . 4
2618, 25mpbid 146 . . 3
271eleq2i 2224 . . . . . 6
2827biimpi 119 . . . . 5
2928adantl 275 . . . 4
30 simpll 519 . . . . 5
311eleq2i 2224 . . . . . . 7
3231biimpri 132 . . . . . 6
3332adantl 275 . . . . 5
3430, 33, 7syl2anc 409 . . . 4
35 readdcl 7841 . . . . 5
3635adantl 275 . . . 4
3729, 34, 36seq3p1 10343 . . 3
3826, 37breqtrrd 3992 . 2
391, 2, 3, 9, 38climub 11223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1335   wcel 2128   class class class wbr 3965  cfv 5167  (class class class)co 5818  cr 7714  cc0 7715  c1 7716   caddc 7718   cle 7896  cz 9150  cuz 9422   cseq 10326   cli 11157 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-rp 9543  df-fz 9895  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158 This theorem is referenced by:  isumrpcl  11373  ege2le3  11550
 Copyright terms: Public domain W3C validator