Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ser3mono Unicode version

Theorem ser3mono 10282
 Description: The partial sums in an infinite series of positive terms form a monotonic sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sermono.1
sermono.2
ser3mono.3
sermono.4
Assertion
Ref Expression
ser3mono
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ser3mono
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sermono.2 . 2
2 eqid 2140 . . . 4
3 sermono.1 . . . . . 6
4 eluzel2 9355 . . . . . 6
53, 4syl 14 . . . . 5
65adantr 274 . . . 4
7 ser3mono.3 . . . . 5
87adantlr 469 . . . 4
92, 6, 8serfre 10279 . . 3
10 elfzuz 9833 . . . 4
11 uztrn 9366 . . . 4
1210, 3, 11syl2anr 288 . . 3
139, 12ffvelrnd 5564 . 2
14 fveq2 5429 . . . . . 6
1514breq2d 3949 . . . . 5
16 sermono.4 . . . . . . 7
1716ralrimiva 2508 . . . . . 6
1817adantr 274 . . . . 5
19 simpr 109 . . . . . . 7
203adantr 274 . . . . . . . . 9
21 eluzelz 9359 . . . . . . . . 9
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8
231adantr 274 . . . . . . . . . 10
24 eluzelz 9359 . . . . . . . . . 10
2523, 24syl 14 . . . . . . . . 9
26 peano2zm 9116 . . . . . . . . 9
2725, 26syl 14 . . . . . . . 8
28 elfzelz 9837 . . . . . . . . 9
2928adantl 275 . . . . . . . 8
30 1zzd 9105 . . . . . . . 8
31 fzaddel 9870 . . . . . . . 8
3222, 27, 29, 30, 31syl22anc 1218 . . . . . . 7
3319, 32mpbid 146 . . . . . 6
34 zcn 9083 . . . . . . . . 9
35 ax-1cn 7737 . . . . . . . . 9
36 npcan 7995 . . . . . . . . 9
3734, 35, 36sylancl 410 . . . . . . . 8
3825, 37syl 14 . . . . . . 7
3938oveq2d 5798 . . . . . 6
4033, 39eleqtrd 2219 . . . . 5
4115, 18, 40rspcdva 2798 . . . 4
42 fzelp1 9885 . . . . . . . 8
4342adantl 275 . . . . . . 7
4438oveq2d 5798 . . . . . . 7
4543, 44eleqtrd 2219 . . . . . 6
4645, 13syldan 280 . . . . 5
4714eleq1d 2209 . . . . . 6
487ralrimiva 2508 . . . . . . 7
4948adantr 274 . . . . . 6
50 fzss1 9874 . . . . . . . . 9
5120, 50syl 14 . . . . . . . 8
52 fzp1elp1 9886 . . . . . . . . . 10
5352adantl 275 . . . . . . . . 9
5453, 44eleqtrd 2219 . . . . . . . 8
5551, 54sseldd 3103 . . . . . . 7
56 elfzuz 9833 . . . . . . 7
5755, 56syl 14 . . . . . 6
5847, 49, 57rspcdva 2798 . . . . 5
5946, 58addge01d 8319 . . . 4
6041, 59mpbid 146 . . 3
6145, 12syldan 280 . . . 4
627adantlr 469 . . . 4
63 readdcl 7770 . . . . 5
6463adantl 275 . . . 4
6561, 62, 64seq3p1 10266 . . 3
6660, 65breqtrrd 3964 . 2
671, 13, 66monoord 10280 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417   wss 3076   class class class wbr 3937  cfv 5131  (class class class)co 5782  cc 7642  cr 7643  cc0 7644  c1 7645   caddc 7647   cle 7825   cmin 7957  cz 9078  cuz 9350  cfz 9821   cseq 10249 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-seqfrec 10250 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator