ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2tnp1ge0ge0 Unicode version
Theorem 2tnp1ge0ge0 10521
Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2tnp1ge0ge0 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ N ) )
Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0
StepHypRef Expression
1 2z 9474 . . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
21a1i 9 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. ZZ )
3 id 19 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
42, 3zmulcld 9575 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
54peano2zd 9572 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. ZZ )
65zred 9569 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
7 2re 9180 . . . 4 |- 2 e. RR
87a1i 9 . . 3 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
9 2pos 9201 . . . 4 |- 0 < 2
109a1i 9 . . 3 |- ( N e. ZZ -> 0 < 2 )
11 ge0div 9018 . . 3 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < 2 ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) )
126, 8, 10, 11syl3anc 1271 . 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) )
134zcnd 9570 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. CC )
14 1cnd 8162 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
15 2cn 9181 . . . . . . 7 |- 2 e. CC
16 2ap0 9203 . . . . . . 7 |- 2 # 0
1715, 16pm3.2i 272 . . . . . 6 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
1817a1i 9 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
19 divdirap 8844 . . . . 5 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
2013, 14, 18, 19syl3anc 1271 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
21 zcn 9451 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
22 2cnd 9183 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
2316a1i 9 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
2421, 22, 23divcanap3d 8942 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
2524oveq1d 6016 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
2620, 25eqtrd 2262 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
2726breq2d 4095 . 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) <-> 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) ) )
28 zre 9450 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
29 halfre 9324 . . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. RR
3029a1i 9 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 / 2 ) e. RR )
3128, 30readdcld 8176 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
32 halfge0 9327 . . . 4 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
3328, 30addge01d 8680 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( 1 / 2 ) <-> N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) ) )
3432, 33mpbii 148 . . 3 |- ( N e. ZZ -> N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) )
35 1red 8161 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
36 halflt1 9328 . . . . 5 |- ( 1 / 2 ) < 1
3736a1i 9 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 / 2 ) < 1 )
3830, 35, 28, 37ltadd2dd 8569 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + ( 1 / 2 ) ) < ( N + 1 ) )
39 btwnzge0 10520 . . 3 |- ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ N e. ZZ ) /\ ( N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) /\ ( N + ( 1 / 2 ) ) < ( N + 1 ) ) ) -> ( 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) <-> 0 <_ N ) )
4031, 3, 34, 38, 39syl22anc 1272 . 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) <-> 0 <_ N ) )
4112, 27, 403bitrd 214 1 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   CCcc 7997   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   x. cmul 8004   < clt 8181   <_ cle 8182   # cap 8728   / cdiv 8819   2c2 9161   ZZcz 9446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-n0 9370  df-z 9447
This theorem is referenced by:  oddnn02np1  12391
  Copyright terms: Public domain W3C validator