ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2tnp1ge0ge0 Unicode version

Theorem 2tnp1ge0ge0 10086
Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2tnp1ge0ge0  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  +  1 )  <->  0  <_  N ) )

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0
StepHypRef Expression
1 2z 9094 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
21a1i 9 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
3 id 19 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
42, 3zmulcld 9191 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  ZZ )
54peano2zd 9188 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  ZZ )
65zred 9185 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
7 2re 8802 . . . 4  |-  2  e.  RR
87a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
9 2pos 8823 . . . 4  |-  0  <  2
109a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  0  <  2 )
11 ge0div 8641 . . 3  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  2 )  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  +  1 )  <->  0  <_  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 ) ) )
126, 8, 10, 11syl3anc 1216 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  +  1 )  <->  0  <_  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 ) ) )
134zcnd 9186 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
14 1cnd 7794 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
15 2cn 8803 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
16 2ap0 8825 . . . . . . 7  |-  2 #  0
1715, 16pm3.2i 270 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
1817a1i 9 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )
19 divdirap 8469 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
2013, 14, 18, 19syl3anc 1216 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
21 zcn 9071 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
22 2cnd 8805 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
2316a1i 9 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2 #  0 )
2421, 22, 23divcanap3d 8567 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  /  2 )  =  N )
2524oveq1d 5789 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )
2620, 25eqtrd 2172 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )
2726breq2d 3941 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 )  <->  0  <_  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
28 zre 9070 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
29 halfre 8945 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
3029a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
3128, 30readdcld 7807 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
32 halfge0 8948 . . . 4  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
3328, 30addge01d 8307 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( 1  /  2 )  <->  N  <_  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
3432, 33mpbii 147 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  <_  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) )
35 1red 7793 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
36 halflt1 8949 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  <  1
3736a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  /  2 )  <  1 )
3830, 35, 28, 37ltadd2dd 8196 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( N  + 
1 ) )
39 btwnzge0 10085 . . 3  |-  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  <_ 
( N  +  ( 1  /  2 ) )  /\  ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  < 
( N  +  1 ) ) )  -> 
( 0  <_  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  <->  0  <_  N )
)
4031, 3, 34, 38, 39syl22anc 1217 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  <->  0  <_  N ) )
4112, 27, 403bitrd 213 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  +  1 )  <->  0  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7630   RRcr 7631   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    x. cmul 7637    < clt 7812    <_ cle 7813   # cap 8355    / cdiv 8444   2c2 8783   ZZcz 9066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-n0 8990  df-z 9067
This theorem is referenced by:  oddnn02np1  11588
  Copyright terms: Public domain W3C validator