ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2tnp1ge0ge0 Unicode version
Theorem 2tnp1ge0ge0 10370
Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2tnp1ge0ge0 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ N ) )
Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0
StepHypRef Expression
1 2z 9345 . . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
21a1i 9 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. ZZ )
3 id 19 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
42, 3zmulcld 9445 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
54peano2zd 9442 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. ZZ )
65zred 9439 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
7 2re 9052 . . . 4 |- 2 e. RR
87a1i 9 . . 3 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
9 2pos 9073 . . . 4 |- 0 < 2
109a1i 9 . . 3 |- ( N e. ZZ -> 0 < 2 )
11 ge0div 8890 . . 3 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < 2 ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) )
126, 8, 10, 11syl3anc 1249 . 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) )
134zcnd 9440 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. CC )
14 1cnd 8035 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
15 2cn 9053 . . . . . . 7 |- 2 e. CC
16 2ap0 9075 . . . . . . 7 |- 2 # 0
1715, 16pm3.2i 272 . . . . . 6 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
1817a1i 9 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
19 divdirap 8716 . . . . 5 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
2013, 14, 18, 19syl3anc 1249 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
21 zcn 9322 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
22 2cnd 9055 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
2316a1i 9 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
2421, 22, 23divcanap3d 8814 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
2524oveq1d 5933 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
2620, 25eqtrd 2226 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
2726breq2d 4041 . 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) <-> 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) ) )
28 zre 9321 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
29 halfre 9195 . . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. RR
3029a1i 9 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 / 2 ) e. RR )
3128, 30readdcld 8049 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
32 halfge0 9198 . . . 4 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
3328, 30addge01d 8552 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( 1 / 2 ) <-> N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) ) )
3432, 33mpbii 148 . . 3 |- ( N e. ZZ -> N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) )
35 1red 8034 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
36 halflt1 9199 . . . . 5 |- ( 1 / 2 ) < 1
3736a1i 9 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 / 2 ) < 1 )
3830, 35, 28, 37ltadd2dd 8441 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + ( 1 / 2 ) ) < ( N + 1 ) )
39 btwnzge0 10369 . . 3 |- ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ N e. ZZ ) /\ ( N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) /\ ( N + ( 1 / 2 ) ) < ( N + 1 ) ) ) -> ( 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) <-> 0 <_ N ) )
4031, 3, 34, 38, 39syl22anc 1250 . 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) <-> 0 <_ N ) )
4112, 27, 403bitrd 214 1 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   < clt 8054   <_ cle 8055   # cap 8600   / cdiv 8691   2c2 9033   ZZcz 9317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318
This theorem is referenced by:  oddnn02np1  12021
  Copyright terms: Public domain W3C validator