ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2tnp1ge0ge0 Unicode version
Theorem 2tnp1ge0ge0 10269
Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2tnp1ge0ge0 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ N ) )
Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0
StepHypRef Expression
1 2z 9252 . . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
21a1i 9 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. ZZ )
3 id 19 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
42, 3zmulcld 9352 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
54peano2zd 9349 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. ZZ )
65zred 9346 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
7 2re 8960 . . . 4 |- 2 e. RR
87a1i 9 . . 3 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
9 2pos 8981 . . . 4 |- 0 < 2
109a1i 9 . . 3 |- ( N e. ZZ -> 0 < 2 )
11 ge0div 8799 . . 3 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < 2 ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) )
126, 8, 10, 11syl3anc 1238 . 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) )
134zcnd 9347 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. CC )
14 1cnd 7948 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
15 2cn 8961 . . . . . . 7 |- 2 e. CC
16 2ap0 8983 . . . . . . 7 |- 2 # 0
1715, 16pm3.2i 272 . . . . . 6 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
1817a1i 9 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
19 divdirap 8626 . . . . 5 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
2013, 14, 18, 19syl3anc 1238 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
21 zcn 9229 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
22 2cnd 8963 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
2316a1i 9 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
2421, 22, 23divcanap3d 8724 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
2524oveq1d 5880 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
2620, 25eqtrd 2208 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
2726breq2d 4010 . 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) <-> 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) ) )
28 zre 9228 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
29 halfre 9103 . . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. RR
3029a1i 9 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 / 2 ) e. RR )
3128, 30readdcld 7961 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
32 halfge0 9106 . . . 4 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
3328, 30addge01d 8464 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( 1 / 2 ) <-> N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) ) )
3432, 33mpbii 148 . . 3 |- ( N e. ZZ -> N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) )
35 1red 7947 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
36 halflt1 9107 . . . . 5 |- ( 1 / 2 ) < 1
3736a1i 9 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 / 2 ) < 1 )
3830, 35, 28, 37ltadd2dd 8353 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + ( 1 / 2 ) ) < ( N + 1 ) )
39 btwnzge0 10268 . . 3 |- ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ N e. ZZ ) /\ ( N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) /\ ( N + ( 1 / 2 ) ) < ( N + 1 ) ) ) -> ( 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) <-> 0 <_ N ) )
4031, 3, 34, 38, 39syl22anc 1239 . 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) <-> 0 <_ N ) )
4112, 27, 403bitrd 214 1 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787   + caddc 7789   x. cmul 7791   < clt 7966   <_ cle 7967   # cap 8512   / cdiv 8601   2c2 8941   ZZcz 9224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-n0 9148  df-z 9225
This theorem is referenced by:  oddnn02np1  11850
  Copyright terms: Public domain W3C validator