Theorem 2tnp1ge0ge0 10714

Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2tnp1ge0ge0	|- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ N ) )

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9651	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
2	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. ZZ )
3		id 19	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
4	2, 3	zmulcld 9753	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
5	4	peano2zd 9750	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. ZZ )
6	5	zred 9747	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
7		2re 9353	. . . 4 |- 2 e. RR
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
9		2pos 9374	. . . 4 |- 0 < 2
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ZZ -> 0 < 2 )
11		ge0div 9191	. . 3 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < 2 ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) )
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1278	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) )
13	4	zcnd 9748	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. CC )
14		1cnd 8332	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
15		2cn 9354	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
16		2ap0 9376	. . . . . . 7 |- 2 # 0
17	15, 16	pm3.2i 272	. . . . . 6 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
18	17	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
19		divdirap 9017	. . . . 5 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
20	13, 14, 18, 19	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
21		zcn 9628	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
22		2cnd 9356	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
23	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
24	21, 22, 23	divcanap3d 9115	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
25	24	oveq1d 6090	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
26	20, 25	eqtrd 2271	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
27	26	breq2d 4137	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) <-> 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) ) )
28		zre 9627	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
29		halfre 9497	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. RR
30	29	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 / 2 ) e. RR )
31	28, 30	readdcld 8345	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
32		halfge0 9500	. . . 4 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
33	28, 30	addge01d 8851	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( 1 / 2 ) <-> N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) ) )
34	32, 33	mpbii 148	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) )
35		1red 8331	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
36		halflt1 9501	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) < 1
37	36	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 / 2 ) < 1 )
38	30, 35, 28, 37	ltadd2dd 8740	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + ( 1 / 2 ) ) < ( N + 1 ) )
39		btwnzge0 10713	. . 3 |- ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ N e. ZZ ) /\ ( N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) /\ ( N + ( 1 / 2 ) ) < ( N + 1 ) ) ) -> ( 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) <-> 0 <_ N ) )
40	31, 3, 34, 38, 39	syl22anc 1279	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) <-> 0 <_ N ) )
41	12, 27, 40	3bitrd 214	1 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   <_ cle 8351   # cap 8899   / cdiv 8992   2c2 9334   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  oddnn02np1  12625