ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2tnp1ge0ge0 Unicode version

Theorem 2tnp1ge0ge0 9857
Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2tnp1ge0ge0  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  +  1 )  <->  0  <_  N ) )

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0
StepHypRef Expression
1 2z 8876 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
21a1i 9 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
3 id 19 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
42, 3zmulcld 8973 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  ZZ )
54peano2zd 8970 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  ZZ )
65zred 8967 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
7 2re 8590 . . . 4  |-  2  e.  RR
87a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
9 2pos 8611 . . . 4  |-  0  <  2
109a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  0  <  2 )
11 ge0div 8429 . . 3  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  2 )  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  +  1 )  <->  0  <_  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 ) ) )
126, 8, 10, 11syl3anc 1181 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  +  1 )  <->  0  <_  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 ) ) )
134zcnd 8968 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
14 1cnd 7601 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
15 2cn 8591 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
16 2ap0 8613 . . . . . . 7  |-  2 #  0
1715, 16pm3.2i 267 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
1817a1i 9 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )
19 divdirap 8261 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
2013, 14, 18, 19syl3anc 1181 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
21 zcn 8853 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
22 2cnd 8593 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
2316a1i 9 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2 #  0 )
2421, 22, 23divcanap3d 8359 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  /  2 )  =  N )
2524oveq1d 5705 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )
2620, 25eqtrd 2127 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )
2726breq2d 3879 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 )  <->  0  <_  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
28 zre 8852 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
29 halfre 8727 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
3029a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
3128, 30readdcld 7614 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
32 halfge0 8730 . . . 4  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
3328, 30addge01d 8107 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( 1  /  2 )  <->  N  <_  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
3432, 33mpbii 147 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  <_  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) )
35 1red 7600 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
36 halflt1 8731 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  <  1
3736a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  /  2 )  <  1 )
3830, 35, 28, 37ltadd2dd 7997 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( N  + 
1 ) )
39 btwnzge0 9856 . . 3  |-  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  <_ 
( N  +  ( 1  /  2 ) )  /\  ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  < 
( N  +  1 ) ) )  -> 
( 0  <_  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  <->  0  <_  N )
)
4031, 3, 34, 38, 39syl22anc 1182 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  <->  0  <_  N ) )
4112, 27, 403bitrd 213 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  +  1 )  <->  0  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1296    e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   CCcc 7445   RRcr 7446   0cc0 7447   1c1 7448    + caddc 7450    x. cmul 7452    < clt 7619    <_ cle 7620   # cap 8155    / cdiv 8236   2c2 8571   ZZcz 8848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-n0 8772  df-z 8849
This theorem is referenced by:  oddnn02np1  11323
  Copyright terms: Public domain W3C validator