ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2tnp1ge0ge0 Unicode version

Theorem 2tnp1ge0ge0 9673
Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2tnp1ge0ge0  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  +  1 )  <->  0  <_  N ) )

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0
StepHypRef Expression
1 2z 8748 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
21a1i 9 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
3 id 19 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
42, 3zmulcld 8844 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  ZZ )
54peano2zd 8841 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  ZZ )
65zred 8838 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
7 2re 8463 . . . 4  |-  2  e.  RR
87a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
9 2pos 8484 . . . 4  |-  0  <  2
109a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  0  <  2 )
11 ge0div 8304 . . 3  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  2 )  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  +  1 )  <->  0  <_  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 ) ) )
126, 8, 10, 11syl3anc 1174 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  +  1 )  <->  0  <_  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 ) ) )
134zcnd 8839 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
14 1cnd 7483 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
15 2cn 8464 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
16 2ap0 8486 . . . . . . 7  |-  2 #  0
1715, 16pm3.2i 266 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
1817a1i 9 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )
19 divdirap 8138 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
2013, 14, 18, 19syl3anc 1174 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
21 zcn 8725 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
22 2cnd 8466 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
2316a1i 9 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2 #  0 )
2421, 22, 23divcanap3d 8235 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  /  2 )  =  N )
2524oveq1d 5649 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )
2620, 25eqtrd 2120 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )
2726breq2d 3849 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 )  <->  0  <_  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
28 zre 8724 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
29 halfre 8599 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
3029a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
3128, 30readdcld 7496 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
32 halfge0 8602 . . . 4  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
3328, 30addge01d 7986 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( 1  /  2 )  <->  N  <_  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
3432, 33mpbii 146 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  <_  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) )
35 1red 7482 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
36 halflt1 8603 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  <  1
3736a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  /  2 )  <  1 )
3830, 35, 28, 37ltadd2dd 7879 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( N  + 
1 ) )
39 btwnzge0 9672 . . 3  |-  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  <_ 
( N  +  ( 1  /  2 ) )  /\  ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  < 
( N  +  1 ) ) )  -> 
( 0  <_  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  <->  0  <_  N )
)
4031, 3, 34, 38, 39syl22anc 1175 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  <->  0  <_  N ) )
4112, 27, 403bitrd 212 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  +  1 )  <->  0  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502   # cap 8034    / cdiv 8113   2c2 8444   ZZcz 8720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721
This theorem is referenced by:  oddnn02np1  10973
  Copyright terms: Public domain W3C validator