Theorem nnoddm1d2 12041

Description: A positive integer is odd iff its successor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnoddm1d2	|- ( N e. NN -> ( -. 2 || N <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Proof of Theorem nnoddm1d2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9326	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2		oddp1d2 12021	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. NN -> ( -. 2 || N <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4		peano2nn 8984	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
5	4	nnred 8985	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. RR )
6		2re 9042	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
8		nnre 8979	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. RR )
9		1red 8024	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
10		nngt0 8997	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < N )
11		0lt1 8136	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
13	8, 9, 10, 12	addgt0d 8530	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < ( N + 1 ) )
14		2pos 9063	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
15	14	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < 2 )
16	5, 7, 13, 15	divgt0d 8944	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( N + 1 ) / 2 ) )
17	16	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 0 < ( ( N + 1 ) / 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
18	17	ancomd 267	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
19		elnnz 9317	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
20	18, 19	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN )
21	20	ex 115	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
22		nnz 9326	. . 3 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
23	21, 22	impbid1 142	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
24	3, 23	bitrd 188	1 |- ( N e. NN -> ( -. 2 || N <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5910   RRcr 7861   0cc0 7862   1c1 7863   + caddc 7865   < clt 8044   / cdiv 8681   NNcn 8972   2c2 9023   ZZcz 9307   || cdvds 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-pre-mulext 7980

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-div 8682  df-inn 8973  df-2 9031  df-n0 9231  df-z 9308  df-dvds 11921

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0b  15114