ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnoddm1d2 Unicode version

Theorem nnoddm1d2 11618
Description: A positive integer is odd iff its successor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnoddm1d2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  2  ||  N  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nnoddm1d2
StepHypRef Expression
1 nnz 9085 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2 oddp1d2 11598 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  2  ||  N  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
4 peano2nn 8744 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
54nnred 8745 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
6 2re 8802 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
76a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
8 nnre 8739 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
9 1red 7793 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
10 nngt0 8757 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
11 0lt1 7901 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
1211a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
138, 9, 10, 12addgt0d 8295 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
14 2pos 8823 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
1514a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  2 )
165, 7, 13, 15divgt0d 8705 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )
1716anim1i 338 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( 0  < 
( ( N  + 
1 )  /  2
)  /\  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
1817ancomd 265 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  < 
( ( N  + 
1 )  /  2
) ) )
19 elnnz 9076 . . . . 5  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  ( (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( N  + 
1 )  /  2
) ) )
2018, 19sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN )
2120ex 114 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
22 nnz 9085 . . 3  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
2321, 22impbid1 141 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
243, 23bitrd 187 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  2  ||  N  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7631   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    < clt 7812    / cdiv 8444   NNcn 8732   2c2 8783   ZZcz 9066    || cdvds 11504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-n0 8990  df-z 9067  df-dvds 11505
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator