ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnoddm1d2 Unicode version

Theorem nnoddm1d2 11795
Description: A positive integer is odd iff its successor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnoddm1d2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  2  ||  N  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nnoddm1d2
StepHypRef Expression
1 nnz 9181 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2 oddp1d2 11775 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  2  ||  N  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
4 peano2nn 8840 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
54nnred 8841 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
6 2re 8898 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
76a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
8 nnre 8835 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
9 1red 7888 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
10 nngt0 8853 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
11 0lt1 7997 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
1211a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
138, 9, 10, 12addgt0d 8391 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
14 2pos 8919 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
1514a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  2 )
165, 7, 13, 15divgt0d 8801 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )
1716anim1i 338 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( 0  < 
( ( N  + 
1 )  /  2
)  /\  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
1817ancomd 265 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  < 
( ( N  + 
1 )  /  2
) ) )
19 elnnz 9172 . . . . 5  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  ( (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( N  + 
1 )  /  2
) ) )
2018, 19sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN )
2120ex 114 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
22 nnz 9181 . . 3  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
2321, 22impbid1 141 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
243, 23bitrd 187 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  2  ||  N  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   RRcr 7726   0cc0 7727   1c1 7728    + caddc 7730    < clt 7907    / cdiv 8540   NNcn 8828   2c2 8879   ZZcz 9162    || cdvds 11678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-xor 1358  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-n0 9086  df-z 9163  df-dvds 11679
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator