Theorem addgt0d 8812

Description: Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addgt0d.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
addgt0d.4	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
addgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		0red 8291	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4		addgt0d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
5	3, 1, 4	ltled 8408	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
6		addgt0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
7	1, 2, 5, 6	addgegt0d 8810	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  0cc0 8143   + caddc 8146   < clt 8324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330

This theorem is referenced by:  nnoddm1d2  12621  pythagtriplem11  12997  pythagtriplem12  12998  pythagtriplem13  12999  pythagtriplem14  13000  pythagtriplem16  13002  pellexlem2  15958  gausslemma2dlem1a  16043