Theorem addgt0d 8794

Description: Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addgt0d.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
addgt0d.4	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
addgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		0red 8274	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4		addgt0d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
5	3, 1, 4	ltled 8391	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
6		addgt0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
7	1, 2, 5, 6	addgegt0d 8792	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  ℝcr 8125  0cc0 8126   + caddc 8129   < clt 8307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-i2m1 8231  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-xp 4754  df-cnv 4756  df-iota 5311  df-fv 5359  df-ov 6052  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313

This theorem is referenced by:  nnoddm1d2  12592  pythagtriplem11  12968  pythagtriplem12  12969  pythagtriplem13  12970  pythagtriplem14  12971  pythagtriplem16  12973  pellexlem2  15838  gausslemma2dlem1a  15923