ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addgt0d GIF version

Theorem addgt0d 8052
Description: Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
addgt0d.3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
addgt0d.4 (𝜑 → 0 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
addgt0d (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addgt0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 0red 7543 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4 addgt0d.3 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
53, 1, 4ltled 7656 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
6 addgt0d.4 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐵)
71, 2, 5, 6addgegt0d 8051 1 (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  cr 7403  0cc0 7404   + caddc 7407   < clt 7576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-i2m1 7504  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-ltadd 7515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4457  df-cnv 4459  df-iota 4993  df-fv 5036  df-ov 5669  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582
This theorem is referenced by:  nnoddm1d2  11242
  Copyright terms: Public domain W3C validator