Theorem pythagtriplem12 12969

Description: Lemma for pythagtrip 12977. Calculate the square of M. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
pythagtriplem11.1	|- M = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 )

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem12	|- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( M ^ 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )

Proof of Theorem pythagtriplem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem11.1	. . 3 |- M = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 )
2	1	oveq1i 6059	. 2 |- ( M ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 )
3		simp3 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. NN )
4		simp2 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. NN )
5	3, 4	nnaddcld 9284	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. NN )
6	5	nnrpd 10026	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. RR+ )
7	6	rpsqrtcld 11839	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( sqr ` ( C + B ) ) e. RR+ )
8	7	rpcnd 10030	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( sqr ` ( C + B ) ) e. CC )
9	8	3ad2ant1 1045	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( C + B ) ) e. CC )
10	3	nnred 9249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. RR )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> C e. RR )
12	4	nnred 9249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. RR )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> B e. RR )
14	11, 13	resubcld 8653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( C - B ) e. RR )
15		pythagtriplem10 12963	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 < ( C - B ) )
16	14, 15	elrpd 10025	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( C - B ) e. RR+ )
17	16	rpsqrtcld 11839	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( sqr ` ( C - B ) ) e. RR+ )
18	17	3adant3 1044	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( C - B ) ) e. RR+ )
19	18	rpcnd 10030	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( C - B ) ) e. CC )
20	9, 19	addcld 8292	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC )
21		2cn 9307	. . . . . 6 |- 2 e. CC
22		2ap0 9329	. . . . . 6 |- 2 # 0
23		sqdivap 10964	. . . . . 6 |- ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
24	21, 22, 23	mp3an23 1366	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
25	21	sqvali 10980	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 )
26	25	oveq2i 6060	. . . . 5 |- ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) )
27	24, 26	eqtrdi 2281	. . . 4 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
28	20, 27	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
29		binom2 11012	. . . . . . 7 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) e. CC /\ ( sqr ` ( C - B ) ) e. CC ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) ) )
30	9, 19, 29	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) ) )
31		nnre 9243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. NN -> C e. RR )
32		nnre 9243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. NN -> B e. RR )
33		readdcl 8252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C + B ) e. RR )
34	31, 32, 33	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. RR )
35	34	3adant1 1042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. RR )
36	35	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C + B ) e. RR )
37	31	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. RR )
38	32	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. RR )
39		nngt0 9261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. NN -> 0 < C )
40	39	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < C )
41		nngt0 9261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. NN -> 0 < B )
42	41	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < B )
43	37, 38, 40, 42	addgt0d 8794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < ( C + B ) )
44	43	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 < ( C + B ) )
45		0re 8273	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
46		ltle 8360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ ( C + B ) e. RR ) -> ( 0 < ( C + B ) -> 0 <_ ( C + B ) ) )
47	45, 46	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C + B ) e. RR -> ( 0 < ( C + B ) -> 0 <_ ( C + B ) ) )
48	36, 44, 47	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 <_ ( C + B ) )
49		resqrtth 11712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C + B ) e. RR /\ 0 <_ ( C + B ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) = ( C + B ) )
50	36, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) = ( C + B ) )
51	50	oveq1d 6064	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) = ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) )
52		resubcl 8536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C - B ) e. RR )
53	31, 32, 52	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. RR )
54	53	3adant1 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. RR )
55	54	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C - B ) e. RR )
56	15	3adant3 1044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 < ( C - B ) )
57		ltle 8360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( C - B ) e. RR ) -> ( 0 < ( C - B ) -> 0 <_ ( C - B ) ) )
58	45, 57	mpan 424	. . . . . . . . 9 |- ( ( C - B ) e. RR -> ( 0 < ( C - B ) -> 0 <_ ( C - B ) ) )
59	55, 56, 58	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 <_ ( C - B ) )
60		resqrtth 11712	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C - B ) e. RR /\ 0 <_ ( C - B ) ) -> ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) = ( C - B ) )
61	55, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) = ( C - B ) )
62	51, 61	oveq12d 6067	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( C - B ) ) )
63		nncn 9244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. NN -> C e. CC )
64	63	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. CC )
65	64	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> C e. CC )
66		nncn 9244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. NN -> B e. CC )
67	66	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. CC )
68	67	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> B e. CC )
69	65, 68, 65	ppncand 8623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C + B ) + ( C - B ) ) = ( C + C ) )
70	65	2timesd 9480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. C ) = ( C + C ) )
71	69, 70	eqtr4d 2268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C + B ) + ( C - B ) ) = ( 2 x. C ) )
72		oveq1 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )
73	72	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )
74		nncn 9244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. NN -> A e. CC )
75	74	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. CC )
76	75	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> A e. CC )
77	76	sqcld 11032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
78	68	sqcld 11032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
79	77, 78	pncand 8584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( B ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
80		subsq 11007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) )
81	65, 68, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) )
82	73, 79, 81	3eqtr3rd 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) = ( A ^ 2 ) )
83	82	fveq2d 5673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) ) = ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) )
84	36, 48, 55, 59	sqrtmuld 11850	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) ) = ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) )
85		nnre 9243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> A e. RR )
86	85	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. RR )
87	86	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> A e. RR )
88		nnnn0 9502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. NN -> A e. NN0 )
89	88	nn0ge0d 9555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> 0 <_ A )
90	89	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 <_ A )
91	90	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 <_ A )
92	87, 91	sqrtsqd 11846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) = A )
93	83, 84, 92	3eqtr3d 2273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) = A )
94	93	oveq2d 6065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) = ( 2 x. A ) )
95	71, 94	oveq12d 6067	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( C + B ) + ( C - B ) ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. C ) + ( 2 x. A ) ) )
96		addcl 8251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( C + B ) e. CC )
97	63, 66, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. CC )
98	97	3adant1 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. CC )
99	98	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C + B ) e. CC )
100	9, 19	mulcld 8293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC )
101		mulcl 8253	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) e. CC )
102	21, 100, 101	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) e. CC )
103		subcl 8471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( C - B ) e. CC )
104	63, 66, 103	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. CC )
105	104	3adant1 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. CC )
106	105	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C - B ) e. CC )
107	99, 102, 106	add32d 8440	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( C - B ) ) = ( ( ( C + B ) + ( C - B ) ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) )
108		adddi 8258	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ C e. CC /\ A e. CC ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) = ( ( 2 x. C ) + ( 2 x. A ) ) )
109	21, 65, 76, 108	mp3an2i 1379	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) = ( ( 2 x. C ) + ( 2 x. A ) ) )
110	95, 107, 109	3eqtr4d 2275	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( C - B ) ) = ( 2 x. ( C + A ) ) )
111	30, 62, 110	3eqtrd 2269	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) = ( 2 x. ( C + A ) ) )
112	111	oveq1d 6064	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( 2 x. ( C + A ) ) / ( 2 x. 2 ) ) )
113		addcl 8251	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. CC /\ A e. CC ) -> ( C + A ) e. CC )
114	63, 74, 113	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + A ) e. CC )
115	114	3adant2 1043	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + A ) e. CC )
116	115	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C + A ) e. CC )
117		mulcl 8253	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( C + A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) e. CC )
118	21, 116, 117	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) e. CC )
119	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 2 e. CC )
120	22	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 2 # 0 )
121	118, 119, 119, 120, 120	divdivap1d 9095	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) / 2 ) = ( ( 2 x. ( C + A ) ) / ( 2 x. 2 ) ) )
122	112, 121	eqtr4d 2268	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) / 2 ) )
123	116, 119, 120	divcanap3d 9068	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) = ( C + A ) )
124	123	oveq1d 6064	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) / 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )
125	28, 122, 124	3eqtrd 2269	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )
126	2, 125	eqtrid 2277	1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( M ^ 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4108   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   CCcc 8124   RRcr 8125   0cc0 8126   1c1 8127   + caddc 8129   x. cmul 8131   < clt 8307   <_ cle 8308   - cmin 8443   # cap 8854   / cdiv 8945   NNcn 9236   2c2 9287   RR+crp 9985   ^cexp 10899   sqrcsqrt 11677   || cdvds 12469   gcd cgcd 12645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-rp 9986  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-rsqrt 11679

This theorem is referenced by:  pythagtriplem15  12972  pythagtriplem17  12974