Theorem pythagtriplem12 12998

Description: Lemma for pythagtrip 13006. Calculate the square of M. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
pythagtriplem11.1	|- M = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 )

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem12	|- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( M ^ 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )

Proof of Theorem pythagtriplem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem11.1	. . 3 |- M = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 )
2	1	oveq1i 6068	. 2 |- ( M ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 )
3		simp3 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. NN )
4		simp2 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. NN )
5	3, 4	nnaddcld 9302	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. NN )
6	5	nnrpd 10045	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. RR+ )
7	6	rpsqrtcld 11868	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( sqr ` ( C + B ) ) e. RR+ )
8	7	rpcnd 10049	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( sqr ` ( C + B ) ) e. CC )
9	8	3ad2ant1 1045	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( C + B ) ) e. CC )
10	3	nnred 9267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. RR )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> C e. RR )
12	4	nnred 9267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. RR )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> B e. RR )
14	11, 13	resubcld 8671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( C - B ) e. RR )
15		pythagtriplem10 12992	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 < ( C - B ) )
16	14, 15	elrpd 10044	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( C - B ) e. RR+ )
17	16	rpsqrtcld 11868	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( sqr ` ( C - B ) ) e. RR+ )
18	17	3adant3 1044	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( C - B ) ) e. RR+ )
19	18	rpcnd 10049	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( C - B ) ) e. CC )
20	9, 19	addcld 8309	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC )
21		2cn 9325	. . . . . 6 |- 2 e. CC
22		2ap0 9347	. . . . . 6 |- 2 # 0
23		sqdivap 10989	. . . . . 6 |- ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
24	21, 22, 23	mp3an23 1366	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
25	21	sqvali 11005	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 )
26	25	oveq2i 6069	. . . . 5 |- ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) )
27	24, 26	eqtrdi 2283	. . . 4 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
28	20, 27	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
29		binom2 11037	. . . . . . 7 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) e. CC /\ ( sqr ` ( C - B ) ) e. CC ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) ) )
30	9, 19, 29	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) ) )
31		nnre 9261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. NN -> C e. RR )
32		nnre 9261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. NN -> B e. RR )
33		readdcl 8269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C + B ) e. RR )
34	31, 32, 33	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. RR )
35	34	3adant1 1042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. RR )
36	35	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C + B ) e. RR )
37	31	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. RR )
38	32	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. RR )
39		nngt0 9279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. NN -> 0 < C )
40	39	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < C )
41		nngt0 9279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. NN -> 0 < B )
42	41	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < B )
43	37, 38, 40, 42	addgt0d 8812	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < ( C + B ) )
44	43	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 < ( C + B ) )
45		0re 8290	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
46		ltle 8377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ ( C + B ) e. RR ) -> ( 0 < ( C + B ) -> 0 <_ ( C + B ) ) )
47	45, 46	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C + B ) e. RR -> ( 0 < ( C + B ) -> 0 <_ ( C + B ) ) )
48	36, 44, 47	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 <_ ( C + B ) )
49		resqrtth 11741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C + B ) e. RR /\ 0 <_ ( C + B ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) = ( C + B ) )
50	36, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) = ( C + B ) )
51	50	oveq1d 6073	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) = ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) )
52		resubcl 8553	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C - B ) e. RR )
53	31, 32, 52	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. RR )
54	53	3adant1 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. RR )
55	54	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C - B ) e. RR )
56	15	3adant3 1044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 < ( C - B ) )
57		ltle 8377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( C - B ) e. RR ) -> ( 0 < ( C - B ) -> 0 <_ ( C - B ) ) )
58	45, 57	mpan 424	. . . . . . . . 9 |- ( ( C - B ) e. RR -> ( 0 < ( C - B ) -> 0 <_ ( C - B ) ) )
59	55, 56, 58	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 <_ ( C - B ) )
60		resqrtth 11741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C - B ) e. RR /\ 0 <_ ( C - B ) ) -> ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) = ( C - B ) )
61	55, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) = ( C - B ) )
62	51, 61	oveq12d 6076	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( C - B ) ) )
63		nncn 9262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. NN -> C e. CC )
64	63	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. CC )
65	64	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> C e. CC )
66		nncn 9262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. NN -> B e. CC )
67	66	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. CC )
68	67	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> B e. CC )
69	65, 68, 65	ppncand 8640	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C + B ) + ( C - B ) ) = ( C + C ) )
70	65	2timesd 9498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. C ) = ( C + C ) )
71	69, 70	eqtr4d 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C + B ) + ( C - B ) ) = ( 2 x. C ) )
72		oveq1 6065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )
73	72	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )
74		nncn 9262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. NN -> A e. CC )
75	74	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. CC )
76	75	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> A e. CC )
77	76	sqcld 11058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
78	68	sqcld 11058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
79	77, 78	pncand 8601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( B ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
80		subsq 11032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) )
81	65, 68, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) )
82	73, 79, 81	3eqtr3rd 2276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) = ( A ^ 2 ) )
83	82	fveq2d 5679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) ) = ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) )
84	36, 48, 55, 59	sqrtmuld 11879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) ) = ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) )
85		nnre 9261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> A e. RR )
86	85	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. RR )
87	86	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> A e. RR )
88		nnnn0 9520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. NN -> A e. NN0 )
89	88	nn0ge0d 9573	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> 0 <_ A )
90	89	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 <_ A )
91	90	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 <_ A )
92	87, 91	sqrtsqd 11875	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) = A )
93	83, 84, 92	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) = A )
94	93	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) = ( 2 x. A ) )
95	71, 94	oveq12d 6076	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( C + B ) + ( C - B ) ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. C ) + ( 2 x. A ) ) )
96		addcl 8268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( C + B ) e. CC )
97	63, 66, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. CC )
98	97	3adant1 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. CC )
99	98	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C + B ) e. CC )
100	9, 19	mulcld 8310	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC )
101		mulcl 8270	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) e. CC )
102	21, 100, 101	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) e. CC )
103		subcl 8488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( C - B ) e. CC )
104	63, 66, 103	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. CC )
105	104	3adant1 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. CC )
106	105	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C - B ) e. CC )
107	99, 102, 106	add32d 8457	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( C - B ) ) = ( ( ( C + B ) + ( C - B ) ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) )
108		adddi 8275	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ C e. CC /\ A e. CC ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) = ( ( 2 x. C ) + ( 2 x. A ) ) )
109	21, 65, 76, 108	mp3an2i 1379	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) = ( ( 2 x. C ) + ( 2 x. A ) ) )
110	95, 107, 109	3eqtr4d 2277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( C - B ) ) = ( 2 x. ( C + A ) ) )
111	30, 62, 110	3eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) = ( 2 x. ( C + A ) ) )
112	111	oveq1d 6073	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( 2 x. ( C + A ) ) / ( 2 x. 2 ) ) )
113		addcl 8268	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. CC /\ A e. CC ) -> ( C + A ) e. CC )
114	63, 74, 113	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + A ) e. CC )
115	114	3adant2 1043	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + A ) e. CC )
116	115	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C + A ) e. CC )
117		mulcl 8270	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( C + A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) e. CC )
118	21, 116, 117	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) e. CC )
119	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 2 e. CC )
120	22	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 2 # 0 )
121	118, 119, 119, 120, 120	divdivap1d 9113	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) / 2 ) = ( ( 2 x. ( C + A ) ) / ( 2 x. 2 ) ) )
122	112, 121	eqtr4d 2270	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) / 2 ) )
123	116, 119, 120	divcanap3d 9086	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) = ( C + A ) )
124	123	oveq1d 6073	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) / 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )
125	28, 122, 124	3eqtrd 2271	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )
126	2, 125	eqtrid 2279	1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( M ^ 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   RR+crp 10004   ^cexp 10924   sqrcsqrt 11706   || cdvds 12498   gcd cgcd 12674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-rsqrt 11708

This theorem is referenced by:  pythagtriplem15  13001  pythagtriplem17  13003