Theorem pythagtriplem12 12258

Description: Lemma for pythagtrip 12266. Calculate the square of M. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
pythagtriplem11.1	|- M = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 )

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem12	|- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( M ^ 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )

Proof of Theorem pythagtriplem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem11.1	. . 3 |- M = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 )
2	1	oveq1i 5879	. 2 |- ( M ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 )
3		simp3 999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. NN )
4		simp2 998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. NN )
5	3, 4	nnaddcld 8956	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. NN )
6	5	nnrpd 9681	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. RR+ )
7	6	rpsqrtcld 11151	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( sqr ` ( C + B ) ) e. RR+ )
8	7	rpcnd 9685	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( sqr ` ( C + B ) ) e. CC )
9	8	3ad2ant1 1018	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( C + B ) ) e. CC )
10	3	nnred 8921	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. RR )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> C e. RR )
12	4	nnred 8921	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. RR )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> B e. RR )
14	11, 13	resubcld 8328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( C - B ) e. RR )
15		pythagtriplem10 12252	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 < ( C - B ) )
16	14, 15	elrpd 9680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( C - B ) e. RR+ )
17	16	rpsqrtcld 11151	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( sqr ` ( C - B ) ) e. RR+ )
18	17	3adant3 1017	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( C - B ) ) e. RR+ )
19	18	rpcnd 9685	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( C - B ) ) e. CC )
20	9, 19	addcld 7967	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC )
21		2cn 8979	. . . . . 6 |- 2 e. CC
22		2ap0 9001	. . . . . 6 |- 2 # 0
23		sqdivap 10570	. . . . . 6 |- ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
24	21, 22, 23	mp3an23 1329	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
25	21	sqvali 10585	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 )
26	25	oveq2i 5880	. . . . 5 |- ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) )
27	24, 26	eqtrdi 2226	. . . 4 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
28	20, 27	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
29		binom2 10617	. . . . . . 7 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) e. CC /\ ( sqr ` ( C - B ) ) e. CC ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) ) )
30	9, 19, 29	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) ) )
31		nnre 8915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. NN -> C e. RR )
32		nnre 8915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. NN -> B e. RR )
33		readdcl 7928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C + B ) e. RR )
34	31, 32, 33	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. RR )
35	34	3adant1 1015	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. RR )
36	35	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C + B ) e. RR )
37	31	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. RR )
38	32	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. RR )
39		nngt0 8933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. NN -> 0 < C )
40	39	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < C )
41		nngt0 8933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. NN -> 0 < B )
42	41	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < B )
43	37, 38, 40, 42	addgt0d 8468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < ( C + B ) )
44	43	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 < ( C + B ) )
45		0re 7948	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
46		ltle 8035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ ( C + B ) e. RR ) -> ( 0 < ( C + B ) -> 0 <_ ( C + B ) ) )
47	45, 46	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C + B ) e. RR -> ( 0 < ( C + B ) -> 0 <_ ( C + B ) ) )
48	36, 44, 47	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 <_ ( C + B ) )
49		resqrtth 11024	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C + B ) e. RR /\ 0 <_ ( C + B ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) = ( C + B ) )
50	36, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) = ( C + B ) )
51	50	oveq1d 5884	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) = ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) )
52		resubcl 8211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C - B ) e. RR )
53	31, 32, 52	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. RR )
54	53	3adant1 1015	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. RR )
55	54	3ad2ant1 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C - B ) e. RR )
56	15	3adant3 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 < ( C - B ) )
57		ltle 8035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( C - B ) e. RR ) -> ( 0 < ( C - B ) -> 0 <_ ( C - B ) ) )
58	45, 57	mpan 424	. . . . . . . . 9 |- ( ( C - B ) e. RR -> ( 0 < ( C - B ) -> 0 <_ ( C - B ) ) )
59	55, 56, 58	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 <_ ( C - B ) )
60		resqrtth 11024	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C - B ) e. RR /\ 0 <_ ( C - B ) ) -> ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) = ( C - B ) )
61	55, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) = ( C - B ) )
62	51, 61	oveq12d 5887	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( C - B ) ) )
63		nncn 8916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. NN -> C e. CC )
64	63	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. CC )
65	64	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> C e. CC )
66		nncn 8916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. NN -> B e. CC )
67	66	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. CC )
68	67	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> B e. CC )
69	65, 68, 65	ppncand 8298	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C + B ) + ( C - B ) ) = ( C + C ) )
70	65	2timesd 9150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. C ) = ( C + C ) )
71	69, 70	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C + B ) + ( C - B ) ) = ( 2 x. C ) )
72		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )
73	72	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )
74		nncn 8916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. NN -> A e. CC )
75	74	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. CC )
76	75	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> A e. CC )
77	76	sqcld 10637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
78	68	sqcld 10637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
79	77, 78	pncand 8259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( B ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
80		subsq 10612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) )
81	65, 68, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) )
82	73, 79, 81	3eqtr3rd 2219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) = ( A ^ 2 ) )
83	82	fveq2d 5515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) ) = ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) )
84	36, 48, 55, 59	sqrtmuld 11162	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) ) = ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) )
85		nnre 8915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> A e. RR )
86	85	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. RR )
87	86	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> A e. RR )
88		nnnn0 9172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. NN -> A e. NN0 )
89	88	nn0ge0d 9221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> 0 <_ A )
90	89	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 <_ A )
91	90	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 <_ A )
92	87, 91	sqrtsqd 11158	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) = A )
93	83, 84, 92	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) = A )
94	93	oveq2d 5885	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) = ( 2 x. A ) )
95	71, 94	oveq12d 5887	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( C + B ) + ( C - B ) ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. C ) + ( 2 x. A ) ) )
96		addcl 7927	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( C + B ) e. CC )
97	63, 66, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. CC )
98	97	3adant1 1015	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. CC )
99	98	3ad2ant1 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C + B ) e. CC )
100	9, 19	mulcld 7968	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC )
101		mulcl 7929	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) e. CC )
102	21, 100, 101	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) e. CC )
103		subcl 8146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( C - B ) e. CC )
104	63, 66, 103	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. CC )
105	104	3adant1 1015	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. CC )
106	105	3ad2ant1 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C - B ) e. CC )
107	99, 102, 106	add32d 8115	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( C - B ) ) = ( ( ( C + B ) + ( C - B ) ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) )
108		adddi 7934	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ C e. CC /\ A e. CC ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) = ( ( 2 x. C ) + ( 2 x. A ) ) )
109	21, 65, 76, 108	mp3an2i 1342	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) = ( ( 2 x. C ) + ( 2 x. A ) ) )
110	95, 107, 109	3eqtr4d 2220	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( C - B ) ) = ( 2 x. ( C + A ) ) )
111	30, 62, 110	3eqtrd 2214	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) = ( 2 x. ( C + A ) ) )
112	111	oveq1d 5884	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( 2 x. ( C + A ) ) / ( 2 x. 2 ) ) )
113		addcl 7927	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. CC /\ A e. CC ) -> ( C + A ) e. CC )
114	63, 74, 113	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + A ) e. CC )
115	114	3adant2 1016	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + A ) e. CC )
116	115	3ad2ant1 1018	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C + A ) e. CC )
117		mulcl 7929	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( C + A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) e. CC )
118	21, 116, 117	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) e. CC )
119	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 2 e. CC )
120	22	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 2 # 0 )
121	118, 119, 119, 120, 120	divdivap1d 8768	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) / 2 ) = ( ( 2 x. ( C + A ) ) / ( 2 x. 2 ) ) )
122	112, 121	eqtr4d 2213	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) / 2 ) )
123	116, 119, 120	divcanap3d 8741	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) = ( C + A ) )
124	123	oveq1d 5884	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) / 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )
125	28, 122, 124	3eqtrd 2214	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )
126	2, 125	eqtrid 2222	1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( M ^ 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   x. cmul 7807   < clt 7982   <_ cle 7983   - cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618   NNcn 8908   2c2 8959   RR+crp 9640   ^cexp 10505   sqrcsqrt 10989   || cdvds 11778   gcd cgcd 11926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-rsqrt 10991

This theorem is referenced by:  pythagtriplem15  12261  pythagtriplem17  12263