Theorem pythagtriplem12 12203

Description: Lemma for pythagtrip 12211. Calculate the square of M. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
pythagtriplem11.1	|- M = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 )

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem12	|- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( M ^ 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )

Proof of Theorem pythagtriplem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem11.1	. . 3 |- M = ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 )
2	1	oveq1i 5851	. 2 |- ( M ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 )
3		simp3 989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. NN )
4		simp2 988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. NN )
5	3, 4	nnaddcld 8901	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. NN )
6	5	nnrpd 9626	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. RR+ )
7	6	rpsqrtcld 11096	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( sqr ` ( C + B ) ) e. RR+ )
8	7	rpcnd 9630	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( sqr ` ( C + B ) ) e. CC )
9	8	3ad2ant1 1008	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( C + B ) ) e. CC )
10	3	nnred 8866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. RR )
11	10	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> C e. RR )
12	4	nnred 8866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. RR )
13	12	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> B e. RR )
14	11, 13	resubcld 8275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( C - B ) e. RR )
15		pythagtriplem10 12197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 < ( C - B ) )
16	14, 15	elrpd 9625	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( C - B ) e. RR+ )
17	16	rpsqrtcld 11096	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( sqr ` ( C - B ) ) e. RR+ )
18	17	3adant3 1007	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( C - B ) ) e. RR+ )
19	18	rpcnd 9630	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( C - B ) ) e. CC )
20	9, 19	addcld 7914	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC )
21		2cn 8924	. . . . . 6 |- 2 e. CC
22		2ap0 8946	. . . . . 6 |- 2 # 0
23		sqdivap 10515	. . . . . 6 |- ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
24	21, 22, 23	mp3an23 1319	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
25	21	sqvali 10530	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 )
26	25	oveq2i 5852	. . . . 5 |- ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) )
27	24, 26	eqtrdi 2214	. . . 4 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
28	20, 27	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
29		binom2 10562	. . . . . . 7 |- ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) e. CC /\ ( sqr ` ( C - B ) ) e. CC ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) ) )
30	9, 19, 29	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) ) )
31		nnre 8860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. NN -> C e. RR )
32		nnre 8860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. NN -> B e. RR )
33		readdcl 7875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C + B ) e. RR )
34	31, 32, 33	syl2anr 288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. RR )
35	34	3adant1 1005	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. RR )
36	35	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C + B ) e. RR )
37	31	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. RR )
38	32	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. RR )
39		nngt0 8878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. NN -> 0 < C )
40	39	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < C )
41		nngt0 8878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. NN -> 0 < B )
42	41	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < B )
43	37, 38, 40, 42	addgt0d 8415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < ( C + B ) )
44	43	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 < ( C + B ) )
45		0re 7895	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
46		ltle 7982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ ( C + B ) e. RR ) -> ( 0 < ( C + B ) -> 0 <_ ( C + B ) ) )
47	45, 46	mpan 421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C + B ) e. RR -> ( 0 < ( C + B ) -> 0 <_ ( C + B ) ) )
48	36, 44, 47	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 <_ ( C + B ) )
49		resqrtth 10969	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C + B ) e. RR /\ 0 <_ ( C + B ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) = ( C + B ) )
50	36, 48, 49	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) = ( C + B ) )
51	50	oveq1d 5856	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) = ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) )
52		resubcl 8158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C - B ) e. RR )
53	31, 32, 52	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. RR )
54	53	3adant1 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. RR )
55	54	3ad2ant1 1008	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C - B ) e. RR )
56	15	3adant3 1007	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 < ( C - B ) )
57		ltle 7982	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( C - B ) e. RR ) -> ( 0 < ( C - B ) -> 0 <_ ( C - B ) ) )
58	45, 57	mpan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( C - B ) e. RR -> ( 0 < ( C - B ) -> 0 <_ ( C - B ) ) )
59	55, 56, 58	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 <_ ( C - B ) )
60		resqrtth 10969	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C - B ) e. RR /\ 0 <_ ( C - B ) ) -> ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) = ( C - B ) )
61	55, 59, 60	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) = ( C - B ) )
62	51, 61	oveq12d 5859	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( C - B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( C - B ) ) )
63		nncn 8861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. NN -> C e. CC )
64	63	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. CC )
65	64	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> C e. CC )
66		nncn 8861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. NN -> B e. CC )
67	66	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. CC )
68	67	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> B e. CC )
69	65, 68, 65	ppncand 8245	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C + B ) + ( C - B ) ) = ( C + C ) )
70	65	2timesd 9095	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. C ) = ( C + C ) )
71	69, 70	eqtr4d 2201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C + B ) + ( C - B ) ) = ( 2 x. C ) )
72		oveq1 5848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )
73	72	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )
74		nncn 8861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. NN -> A e. CC )
75	74	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. CC )
76	75	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> A e. CC )
77	76	sqcld 10582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
78	68	sqcld 10582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
79	77, 78	pncand 8206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( B ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
80		subsq 10557	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) )
81	65, 68, 80	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) )
82	73, 79, 81	3eqtr3rd 2207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) = ( A ^ 2 ) )
83	82	fveq2d 5489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) ) = ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) )
84	36, 48, 55, 59	sqrtmuld 11107	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( ( C + B ) x. ( C - B ) ) ) = ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) )
85		nnre 8860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> A e. RR )
86	85	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. RR )
87	86	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> A e. RR )
88		nnnn0 9117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. NN -> A e. NN0 )
89	88	nn0ge0d 9166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> 0 <_ A )
90	89	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 <_ A )
91	90	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 0 <_ A )
92	87, 91	sqrtsqd 11103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) = A )
93	83, 84, 92	3eqtr3d 2206	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) = A )
94	93	oveq2d 5857	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) = ( 2 x. A ) )
95	71, 94	oveq12d 5859	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( C + B ) + ( C - B ) ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. C ) + ( 2 x. A ) ) )
96		addcl 7874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( C + B ) e. CC )
97	63, 66, 96	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. CC )
98	97	3adant1 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + B ) e. CC )
99	98	3ad2ant1 1008	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C + B ) e. CC )
100	9, 19	mulcld 7915	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC )
101		mulcl 7876	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) e. CC )
102	21, 100, 101	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) e. CC )
103		subcl 8093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( C - B ) e. CC )
104	63, 66, 103	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. CC )
105	104	3adant1 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C - B ) e. CC )
106	105	3ad2ant1 1008	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C - B ) e. CC )
107	99, 102, 106	add32d 8062	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( C - B ) ) = ( ( ( C + B ) + ( C - B ) ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) )
108		adddi 7881	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ C e. CC /\ A e. CC ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) = ( ( 2 x. C ) + ( 2 x. A ) ) )
109	21, 65, 76, 108	mp3an2i 1332	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) = ( ( 2 x. C ) + ( 2 x. A ) ) )
110	95, 107, 109	3eqtr4d 2208	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( C + B ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( C + B ) ) x. ( sqr ` ( C - B ) ) ) ) ) + ( C - B ) ) = ( 2 x. ( C + A ) ) )
111	30, 62, 110	3eqtrd 2202	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) = ( 2 x. ( C + A ) ) )
112	111	oveq1d 5856	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( 2 x. ( C + A ) ) / ( 2 x. 2 ) ) )
113		addcl 7874	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. CC /\ A e. CC ) -> ( C + A ) e. CC )
114	63, 74, 113	syl2anr 288	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + A ) e. CC )
115	114	3adant2 1006	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C + A ) e. CC )
116	115	3ad2ant1 1008	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( C + A ) e. CC )
117		mulcl 7876	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( C + A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) e. CC )
118	21, 116, 117	sylancr 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( 2 x. ( C + A ) ) e. CC )
119	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 2 e. CC )
120	22	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> 2 # 0 )
121	118, 119, 119, 120, 120	divdivap1d 8714	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) / 2 ) = ( ( 2 x. ( C + A ) ) / ( 2 x. 2 ) ) )
122	112, 121	eqtr4d 2201	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) / 2 ) )
123	116, 119, 120	divcanap3d 8687	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) = ( C + A ) )
124	123	oveq1d 5856	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( 2 x. ( C + A ) ) / 2 ) / 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )
125	28, 122, 124	3eqtrd 2202	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` ( C + B ) ) + ( sqr ` ( C - B ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )
126	2, 125	syl5eq 2210	1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) = 1 /\ -. 2 || A ) ) -> ( M ^ 2 ) = ( ( C + A ) / 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3981   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   CCcc 7747   RRcr 7748   0cc0 7749   1c1 7750   + caddc 7752   x. cmul 7754   < clt 7929   <_ cle 7930   - cmin 8065   # cap 8475   / cdiv 8564   NNcn 8853   2c2 8904   RR+crp 9585   ^cexp 10450   sqrcsqrt 10934   || cdvds 11723   gcd cgcd 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-rp 9586  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-rsqrt 10936

This theorem is referenced by:  pythagtriplem15  12206  pythagtriplem17  12208