pythagtriplem12 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem12 13056

Description: Lemma for pythagtrip 13064. Calculate the square of

. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pythagtriplem11.1

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem12	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pythagtriplem12**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem11.1	. . 3
2	1	oveq1i 6095	. 2
3		simp3 1030	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
4		simp2 1029	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
5	3, 4	nnaddcld 9353	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	5	nnrpd 10097	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
7	6	rpsqrtcld 11926	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8	7	rpcnd 10101	. . . . . 6 $/\$ $/\$
9	8	3ad2ant1 1049	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	3	nnred 9318	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
12	4	nnred 9318	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
14	11, 13	resubcld 8708	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
15		pythagtriplem10 13050	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
16	14, 15	elrpd 10096	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
17	16	rpsqrtcld 11926	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
18	17	3adant3 1048	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	18	rpcnd 10101	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20	9, 19	addcld 8345	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		2cn 9376	. . . . . 6
22		2ap0 9398	. . . . . 6 #
23		sqdivap 11042	. . . . . 6 $/\$ $/\$ #
24	21, 22, 23	mp3an23 1370	. . . . 5
25	21	sqvali 11058	. . . . . 6
26	25	oveq2i 6096	. . . . 5
27	24, 26	eqtrdi 2287	. . . 4
28	20, 27	syl 14	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		binom2 11090	. . . . . . 7 $/\$
30	9, 19, 29	syl2anc 415	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		nnre 9312	. . . . . . . . . . . 12
32		nnre 9312	. . . . . . . . . . . 12
33		readdcl 8305	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
34	31, 32, 33	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	34	3adant1 1046	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
36	35	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	31	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
38	32	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
39		nngt0 9330	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
41		nngt0 9330	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
43	37, 38, 40, 42	addgt0d 8849	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		0re 8326	. . . . . . . . . . 11
46		ltle 8413	. . . . . . . . . . 11 $/\$
47	45, 46	mpan 428	. . . . . . . . . 10
48	36, 44, 47	sylc 62	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		resqrtth 11799	. . . . . . . . 9 $/\$
50	36, 48, 49	syl2anc 415	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	oveq1d 6100	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		resubcl 8590	. . . . . . . . . . 11 $/\$
53	31, 32, 52	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
54	53	3adant1 1046	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
55	54	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	15	3adant3 1048	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		ltle 8413	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	45, 57	mpan 428	. . . . . . . . 9
59	55, 56, 58	sylc 62	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		resqrtth 11799	. . . . . . . 8 $/\$
61	55, 59, 60	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	51, 61	oveq12d 6103	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		nncn 9313	. . . . . . . . . . . 12
64	63	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
65	64	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		nncn 9313	. . . . . . . . . . . 12
67	66	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
68	67	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	65, 68, 65	ppncand 8677	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	65	2timesd 9550	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 70	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . 13
73	72	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74		nncn 9313	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
76	75	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	76	sqcld 11111	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	68	sqcld 11111	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	77, 78	pncand 8638	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		subsq 11085	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
81	65, 68, 80	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	73, 79, 81	3eqtr3rd 2280	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	82	fveq2d 5699	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	36, 48, 55, 59	sqrtmuld 11937	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		nnre 9312	. . . . . . . . . . . . 13
86	85	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
87	86	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		nnnn0 9572	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	nn0ge0d 9625	. . . . . . . . . . . . 13
90	89	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	90	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	87, 91	sqrtsqd 11933	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	83, 84, 92	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	93	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	71, 94	oveq12d 6103	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96		addcl 8304	. . . . . . . . . . 11 $/\$
97	63, 66, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
98	97	3adant1 1046	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
99	98	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	9, 19	mulcld 8346	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101		mulcl 8306	. . . . . . . . 9 $/\$
102	21, 100, 101	sylancr 418	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		subcl 8525	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	63, 66, 103	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
105	104	3adant1 1046	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	99, 102, 106	add32d 8494	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		adddi 8311	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
109	21, 65, 76, 108	mp3an2i 1383	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	95, 107, 109	3eqtr4d 2281	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	30, 62, 110	3eqtrd 2275	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	oveq1d 6100	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		addcl 8304	. . . . . . . . 9 $/\$
114	63, 74, 113	syl2anr 290	. . . . . . . 8 $/\$
115	114	3adant2 1047	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
116	115	3ad2ant1 1049	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117		mulcl 8306	. . . . . 6 $/\$
118	21, 116, 117	sylancr 418	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	21	a1i 9	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	22	a1i 9	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
121	118, 119, 119, 120, 120	divdivap1d 9153	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	112, 121	eqtr4d 2274	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	116, 119, 120	divcanap3d 9126	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	oveq1d 6100	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	28, 122, 124	3eqtrd 2275	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	2, 125	eqtrid 2283	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209 class class class wbr 4130

cfv 5377 (class class class)co 6085

cc 8177

cr 8178

cc0 8179

c1 8180

caddc 8182

cmul 8184

clt 8360

cle 8361

cmin 8497 # cap 8910

cdiv 9003

cn 9305

c2 9356

crp 10056

cexp 10977

csqrt 11764

cdvds 12556

cgcd 12732

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297 ax-arch 8298 ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-frec 6662 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-reap 8904 df-ap 8911 df-div 9004 df-inn 9306 df-2 9364 df-3 9365 df-4 9366 df-n0 9566 df-z 9647 df-uz 9924 df-rp 10057 df-seqfrec 10887 df-exp 10978 df-rsqrt 11766

This theorem is used by: pythagtriplem15 13059 pythagtriplem17 13061

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