Theorem gausslemma2dlem1a 15857

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 15860. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1a	|- ( ph -> ran R = ( 1 ... H ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x

Allowed substitution hint:   R( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1a

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . . . 5 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
2	1	elrnmpt 4987	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. ran R <-> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) ) )
3	2	elv 2807	. . 3 |- ( y e. ran R <-> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
4		iftrue 3614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = ( x x. 2 ) )
5	4	eqeq2d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = ( x x. 2 ) ) )
6	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = ( x x. 2 ) ) )
7		elfz1b 10368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 ... H ) <-> ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) )
8		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. NN -> x e. NN )
9		2nn 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. NN
10	9	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. NN -> 2 e. NN )
11	8, 10	nnmulcld 9235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. NN -> ( x x. 2 ) e. NN )
12	11	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) -> ( x x. 2 ) e. NN )
13	12	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) /\ ph /\ ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) -> ( x x. 2 ) e. NN )
14		gausslemma2d.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
15	14	eleq1i 2297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( H e. NN <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
16	15	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( H e. NN -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
17	16	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
18	17	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) /\ ph /\ ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
19		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
20		nnoddn2prm 12894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. NN /\ -. 2 || P ) )
21		nnz 9541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
22	21	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) )
23	20, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) )
24		nnz 9541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
25		2z 9550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 2 e. ZZ
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. NN -> 2 e. ZZ )
27	24, 26	zmulcld 9651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. NN -> ( x x. 2 ) e. ZZ )
28	27	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) -> ( x x. 2 ) e. ZZ )
29	23, 28	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) ) -> ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) )
30		df-3an 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) <-> ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) )
31	29, 30	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) )
32	31	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) ) )
33	19, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) ) )
34	33	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) /\ ph ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) )
35		ltoddhalfle 12515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) /\ ph ) -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
37	36	biimp3a 1382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) /\ ph /\ ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) -> ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
38	13, 18, 37	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) /\ ph /\ ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) -> ( ( x x. 2 ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
39	38	3exp 1229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) -> ( ph -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( ( x x. 2 ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
40	7, 39	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 ... H ) -> ( ph -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( ( x x. 2 ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
41	40	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( ( x x. 2 ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
42	41	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( ( x x. 2 ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
43	14	oveq2i 6039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... H ) = ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) )
44	43	eleq2i 2298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x x. 2 ) e. ( 1 ... H ) <-> ( x x. 2 ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
45		elfz1b 10368	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x x. 2 ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( x x. 2 ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
46	44, 45	bitri 184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x x. 2 ) e. ( 1 ... H ) <-> ( ( x x. 2 ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
47	42, 46	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( x x. 2 ) e. ( 1 ... H ) )
48		eleq1 2294	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x x. 2 ) -> ( y e. ( 1 ... H ) <-> ( x x. 2 ) e. ( 1 ... H ) ) )
49	47, 48	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( y = ( x x. 2 ) -> y e. ( 1 ... H ) ) )
50	6, 49	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) -> y e. ( 1 ... H ) ) )
51	50	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) -> y e. ( 1 ... H ) ) )
52		iffalse 3617	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = ( P - ( x x. 2 ) ) )
53	52	eqeq2d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
55		eldifi 3331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
56		prmz 12744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
57	19, 55, 56	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. ZZ )
58	57	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> P e. ZZ )
59		elfzelz 10303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 1 ... H ) -> x e. ZZ )
60	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 1 ... H ) -> 2 e. ZZ )
61	59, 60	zmulcld 9651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 ... H ) -> ( x x. 2 ) e. ZZ )
62	61	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( x x. 2 ) e. ZZ )
63	58, 62	zsubcld 9650	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) e. ZZ )
64	56	zred 9645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. RR )
65	14	breq2i 4101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x <_ H <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
66		nnre 9193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. NN -> x e. RR )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> x e. RR )
68		peano2rem 8489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. RR -> ( P - 1 ) e. RR )
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( P - 1 ) e. RR )
70		2re 9256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. RR
71		2pos 9277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 < 2
72	70, 71	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
73	72	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
74		lemuldiv 9104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. RR /\ ( P - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( x x. 2 ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
75	67, 69, 73, 74	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( ( x x. 2 ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
76	65, 75	bitr4id 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( x <_ H <-> ( x x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
77	11	nnred 9199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. NN -> ( x x. 2 ) e. RR )
78	77	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( x x. 2 ) e. RR )
79		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> P e. RR )
80	78, 69, 79	lesub2d 8776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( ( x x. 2 ) <_ ( P - 1 ) <-> ( P - ( P - 1 ) ) <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
81		recn 8208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. RR -> P e. CC )
82		1cnd 8238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. RR -> 1 e. CC )
83	81, 82	nncand 8538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. RR -> ( P - ( P - 1 ) ) = 1 )
84	83	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( P - ( P - 1 ) ) = 1 )
85	84	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( ( P - ( P - 1 ) ) <_ ( P - ( x x. 2 ) ) <-> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
86	85	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( ( P - ( P - 1 ) ) <_ ( P - ( x x. 2 ) ) -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
87	80, 86	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( ( x x. 2 ) <_ ( P - 1 ) -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
88	76, 87	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( x <_ H -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
89	88	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. NN /\ x <_ H ) -> ( P e. RR -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
90	89	3adant2 1043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) -> ( P e. RR -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
91	7, 90	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... H ) -> ( P e. RR -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
92	91	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. RR -> ( x e. ( 1 ... H ) -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
93	19, 55, 64, 92	4syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... H ) -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
94	93	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) )
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) )
96		elnnz1 9545	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P - ( x x. 2 ) ) e. NN <-> ( ( P - ( x x. 2 ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
97	63, 95, 96	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) e. NN )
98	7	simp2bi 1040	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... H ) -> H e. NN )
99	98	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> H e. NN )
100		nnre 9193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. NN -> P e. RR )
101	100	rehalfcld 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. NN -> ( P / 2 ) e. RR )
102	101	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( P / 2 ) e. RR )
103	61	zred 9645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... H ) -> ( x x. 2 ) e. RR )
104		lenlt 8298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P / 2 ) e. RR /\ ( x x. 2 ) e. RR ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) <-> -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
105	102, 103, 104	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) <-> -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
106	22, 61	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) )
107	106, 30	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) )
108		halfleoddlt 12516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) <-> ( P / 2 ) < ( x x. 2 ) ) )
109	107, 108	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) <-> ( P / 2 ) < ( x x. 2 ) ) )
110	109	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( P / 2 ) < ( x x. 2 ) )
111		nncn 9194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> P e. CC )
112		subhalfhalf 9422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. CC -> ( P - ( P / 2 ) ) = ( P / 2 ) )
113	111, 112	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( P - ( P / 2 ) ) = ( P / 2 ) )
114	113	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. NN -> ( ( P - ( P / 2 ) ) < ( x x. 2 ) <-> ( P / 2 ) < ( x x. 2 ) ) )
115	114	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( ( P - ( P / 2 ) ) < ( x x. 2 ) <-> ( P / 2 ) < ( x x. 2 ) ) )
116	110, 115	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( P - ( P / 2 ) ) < ( x x. 2 ) )
117	100	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> P e. RR )
118	101	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( P / 2 ) e. RR )
119	103	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( x x. 2 ) e. RR )
120	117, 118, 119	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( P e. RR /\ ( P / 2 ) e. RR /\ ( x x. 2 ) e. RR ) )
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( P e. RR /\ ( P / 2 ) e. RR /\ ( x x. 2 ) e. RR ) )
122		ltsub23 8665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. RR /\ ( P / 2 ) e. RR /\ ( x x. 2 ) e. RR ) -> ( ( P - ( P / 2 ) ) < ( x x. 2 ) <-> ( P - ( x x. 2 ) ) < ( P / 2 ) ) )
123	121, 122	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( ( P - ( P / 2 ) ) < ( x x. 2 ) <-> ( P - ( x x. 2 ) ) < ( P / 2 ) ) )
124	116, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) < ( P / 2 ) )
125	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> P e. ZZ )
126		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> -. 2 || P )
127	61	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( x x. 2 ) e. ZZ )
128	125, 127	zsubcld 9650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) e. ZZ )
129	125, 126, 128	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( P - ( x x. 2 ) ) e. ZZ ) )
130	129	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( P - ( x x. 2 ) ) e. ZZ ) )
131		ltoddhalfle 12515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( P - ( x x. 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( P - ( x x. 2 ) ) < ( P / 2 ) <-> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
132	130, 131	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( ( P - ( x x. 2 ) ) < ( P / 2 ) <-> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
133	124, 132	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
134	133	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
135	14	breq2i 4101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H <-> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
136	134, 135	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H ) )
137	105, 136	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H ) )
138	137	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( x e. ( 1 ... H ) -> ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H ) ) )
139	19, 20, 138	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... H ) -> ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H ) ) )
140	139	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H ) )
141	140	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H )
142		elfz1b 10368	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P - ( x x. 2 ) ) e. ( 1 ... H ) <-> ( ( P - ( x x. 2 ) ) e. NN /\ H e. NN /\ ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H ) )
143	97, 99, 141, 142	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) e. ( 1 ... H ) )
144		eleq1 2294	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( P - ( x x. 2 ) ) -> ( y e. ( 1 ... H ) <-> ( P - ( x x. 2 ) ) e. ( 1 ... H ) ) )
145	143, 144	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( y = ( P - ( x x. 2 ) ) -> y e. ( 1 ... H ) ) )
146	54, 145	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) -> y e. ( 1 ... H ) ) )
147	146	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) -> y e. ( 1 ... H ) ) )
148	61	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( x x. 2 ) e. ZZ )
149		zq 9903	. . . . . . . . 9 |- ( ( x x. 2 ) e. ZZ -> ( x x. 2 ) e. QQ )
150	148, 149	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( x x. 2 ) e. QQ )
151	57	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> P e. ZZ )
152		znq 9901	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
153	151, 9, 152	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
154		qdclt 10549	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x x. 2 ) e. QQ /\ ( P / 2 ) e. QQ ) -> DECID ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) )
155	150, 153, 154	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> DECID ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) )
156		exmiddc 844	. . . . . . 7 |- (DECID ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) \/ -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
157	155, 156	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) \/ -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
158	51, 147, 157	mpjaodan 806	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) -> y e. ( 1 ... H ) ) )
159	158	rexlimdva 2651	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) -> y e. ( 1 ... H ) ) )
160		elfz1b 10368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 1 ... H ) <-> ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) )
161		simp1 1024	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> y e. NN )
162		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 || y /\ ph ) -> 2 || y )
163		nnehalf 12526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN /\ 2 || y ) -> ( y / 2 ) e. NN )
164	161, 162, 163	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 || y /\ ph ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( y / 2 ) e. NN )
165		simpr2 1031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 || y /\ ph ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> H e. NN )
166		nnre 9193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. NN -> y e. RR )
167	166	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( 2 || y /\ ph ) ) -> y e. RR )
168		nnrp 9941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( H e. NN -> H e. RR+ )
169	168	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> H e. RR+ )
170	169	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( 2 || y /\ ph ) ) -> H e. RR+ )
171		2rp 9936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. RR+
172		1le2 9395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 <_ 2
173	171, 172	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 2 e. RR+ /\ 1 <_ 2 )
174	173	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( 2 || y /\ ph ) ) -> ( 2 e. RR+ /\ 1 <_ 2 ) )
175		ledivge1le 10004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR /\ H e. RR+ /\ ( 2 e. RR+ /\ 1 <_ 2 ) ) -> ( y <_ H -> ( y / 2 ) <_ H ) )
176	167, 170, 174, 175	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( 2 || y /\ ph ) ) -> ( y <_ H -> ( y / 2 ) <_ H ) )
177	176	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( y <_ H -> ( y / 2 ) <_ H ) ) )
178	177	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( y <_ H -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( y / 2 ) <_ H ) ) )
179	178	3impia 1227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( y / 2 ) <_ H ) )
180	179	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 || y /\ ph ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( y / 2 ) <_ H )
181	164, 165, 180	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 || y /\ ph ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( ( y / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( y / 2 ) <_ H ) )
182	181	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> ( ( y / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( y / 2 ) <_ H ) ) )
183	160, 182	biimtrid 152	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( y e. ( 1 ... H ) -> ( ( y / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( y / 2 ) <_ H ) ) )
184	183	3impia 1227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( y / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( y / 2 ) <_ H ) )
185		elfz1b 10368	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y / 2 ) e. ( 1 ... H ) <-> ( ( y / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( y / 2 ) <_ H ) )
186	184, 185	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( y / 2 ) e. ( 1 ... H ) )
187		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( y / 2 ) -> ( x x. 2 ) = ( ( y / 2 ) x. 2 ) )
188	187	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y / 2 ) -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( ( y / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
189	187	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y / 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( ( y / 2 ) x. 2 ) ) )
190	188, 187, 189	ifbieq12d 3636	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y / 2 ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( ( y / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( y / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( y / 2 ) x. 2 ) ) ) )
191	190	eqeq2d 2243	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y / 2 ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = if ( ( ( y / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( y / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( y / 2 ) x. 2 ) ) ) ) )
192	191	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) /\ x = ( y / 2 ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = if ( ( ( y / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( y / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( y / 2 ) x. 2 ) ) ) ) )
193		elfzelz 10303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( 1 ... H ) -> y e. ZZ )
194	193	zcnd 9646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 1 ... H ) -> y e. CC )
195	194	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> y e. CC )
196		2cnd 9259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> 2 e. CC )
197		2ap0 9279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 # 0
198	197	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> 2 # 0 )
199	195, 196, 198	divcanap1d 9014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( y / 2 ) x. 2 ) = y )
200	14	breq2i 4101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y <_ H <-> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
201		nnz 9541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
202	19, 20, 22	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) )
203	202	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) )
204	201, 203	anim12ci 339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. NN /\ ( 2 || y /\ ph ) ) -> ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) /\ y e. ZZ ) )
205		df-3an 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ y e. ZZ ) <-> ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) /\ y e. ZZ ) )
206	204, 205	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. NN /\ ( 2 || y /\ ph ) ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ y e. ZZ ) )
207		ltoddhalfle 12515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ y e. ZZ ) -> ( y < ( P / 2 ) <-> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
208	206, 207	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN /\ ( 2 || y /\ ph ) ) -> ( y < ( P / 2 ) <-> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
209	208	exbiri 382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. NN -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> y < ( P / 2 ) ) ) )
210	209	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. NN -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> y < ( P / 2 ) ) ) )
211	200, 210	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN -> ( y <_ H -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> y < ( P / 2 ) ) ) )
212	211	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN -> ( H e. NN -> ( y <_ H -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> y < ( P / 2 ) ) ) ) )
213	212	3imp 1220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> y < ( P / 2 ) ) )
214	160, 213	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 1 ... H ) -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> y < ( P / 2 ) ) )
215	214	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( y e. ( 1 ... H ) -> y < ( P / 2 ) ) )
216	215	3impia 1227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> y < ( P / 2 ) )
217	199, 216	eqbrtrd 4115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( y / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) )
218	217	iftrued 3616	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> if ( ( ( y / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( y / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( y / 2 ) x. 2 ) ) ) = ( ( y / 2 ) x. 2 ) )
219	218, 199	eqtr2d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> y = if ( ( ( y / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( y / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( y / 2 ) x. 2 ) ) ) )
220	186, 192, 219	rspcedvd 2917	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
221	220	3expb 1231	. . . . . . 7 |- ( ( 2 || y /\ ( ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) ) -> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
222	221	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) /\ 2 || y ) -> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
223	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ZZ )
224	223	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> P e. ZZ )
225	201	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> y e. ZZ )
226	225	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> y e. ZZ )
227	224, 226	zsubcld 9650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( P - y ) e. ZZ )
228	166	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( P e. RR /\ ( y e. NN /\ H e. NN ) ) -> y e. RR )
229	68	rehalfcld 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. RR -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
230	229	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( P e. RR /\ ( y e. NN /\ H e. NN ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
231		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( P e. RR /\ ( y e. NN /\ H e. NN ) ) -> P e. RR )
232	228, 230, 231	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( P e. RR /\ ( y e. NN /\ H e. NN ) ) -> ( y e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ P e. RR ) )
233	232	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. RR -> ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( y e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ P e. RR ) ) )
234	55, 64, 233	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( y e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ P e. RR ) ) )
235	234	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( y e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ P e. RR ) ) )
236	235	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( y e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ P e. RR ) )
237		lesub2 8680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ P e. RR ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <_ ( P - y ) ) )
238	236, 237	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <_ ( P - y ) ) )
239	56	zcnd 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. Prime -> P e. CC )
240		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. CC -> P e. CC )
241		1cnd 8238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. CC -> 1 e. CC )
242		2cnd 9259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. CC -> 2 e. CC )
243	197	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. CC -> 2 # 0 )
244	240, 241, 242, 243	divsubdirapd 9053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( P e. CC -> ( ( P - 1 ) / 2 ) = ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) )
245	244	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( P e. CC -> ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( P - ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) ) )
246		halfcl 9413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( P e. CC -> ( P / 2 ) e. CC )
247		halfcn 9401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( 1 / 2 ) e. CC
248	247	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( P e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
249	240, 246, 248	subsubd 8561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( P e. CC -> ( P - ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( P - ( P / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
250	112	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( P e. CC -> ( ( P - ( P / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
251	245, 249, 250	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. CC -> ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
252	55, 239, 251	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
253	252	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
254	253	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <_ ( P - y ) <-> ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) <_ ( P - y ) ) )
255		prmnn 12743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
256		halfre 9400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( 1 / 2 ) e. RR
257	256	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( P e. NN -> ( 1 / 2 ) e. RR )
258		nngt0 9211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( P e. NN -> 0 < P )
259	72	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( P e. NN -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
260		divgt0 9095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( P e. RR /\ 0 < P ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 < ( P / 2 ) )
261	100, 258, 259, 260	syl21anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( P e. NN -> 0 < ( P / 2 ) )
262		halfgt0 9402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 0 < ( 1 / 2 )
263	262	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( P e. NN -> 0 < ( 1 / 2 ) )
264	101, 257, 261, 263	addgt0d 8744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. NN -> 0 < ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
265	55, 255, 264	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 0 < ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
266	265	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> 0 < ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
267		0red 8223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> 0 e. RR )
268		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> P e. RR )
269	268	rehalfcld 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( P / 2 ) e. RR )
270	256	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
271	269, 270	readdcld 8252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
272		resubcl 8486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( P e. RR /\ y e. RR ) -> ( P - y ) e. RR )
273	272	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( P - y ) e. RR )
274	267, 271, 273	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) )
275	274	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( y e. RR -> ( P e. RR -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) ) )
276	166, 275	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( y e. NN -> ( P e. RR -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) ) )
277	276	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( P e. RR -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) ) )
278	277	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( P e. RR -> ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) ) )
279	55, 64, 278	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) ) )
280	279	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) ) )
281	280	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) )
282		ltletr 8312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) -> ( ( 0 < ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) <_ ( P - y ) ) -> 0 < ( P - y ) ) )
283	281, 282	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( ( 0 < ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) <_ ( P - y ) ) -> 0 < ( P - y ) ) )
284	266, 283	mpand 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) <_ ( P - y ) -> 0 < ( P - y ) ) )
285	254, 284	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <_ ( P - y ) -> 0 < ( P - y ) ) )
286	238, 285	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> 0 < ( P - y ) ) )
287	286	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> 0 < ( P - y ) ) ) )
288	287	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> 0 < ( P - y ) ) ) )
289	200, 288	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( y <_ H -> ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> 0 < ( P - y ) ) ) )
290	289	3impia 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> 0 < ( P - y ) ) )
291	290	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> 0 < ( P - y ) )
292		elnnz 9532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P - y ) e. NN <-> ( ( P - y ) e. ZZ /\ 0 < ( P - y ) ) )
293	227, 291, 292	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( P - y ) e. NN )
294	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) )
295		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> -. 2 || y )
296	295, 225	anim12ci 339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( y e. ZZ /\ -. 2 || y ) )
297		omoe 12518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) /\ ( y e. ZZ /\ -. 2 || y ) ) -> 2 || ( P - y ) )
298	294, 296, 297	syl2an2r 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> 2 || ( P - y ) )
299		nnehalf 12526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P - y ) e. NN /\ 2 || ( P - y ) ) -> ( ( P - y ) / 2 ) e. NN )
300	293, 298, 299	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( ( P - y ) / 2 ) e. NN )
301		simpr2 1031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> H e. NN )
302		1red 8237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> 1 e. RR )
303	166	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> y e. RR )
304	303	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> y e. RR )
305	55, 64	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR )
306	305	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> P e. RR )
307		nnge1 9209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. NN -> 1 <_ y )
308	307	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> 1 <_ y )
309	308	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> 1 <_ y )
310	302, 304, 306, 309	lesub2dd 8785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( P - y ) <_ ( P - 1 ) )
311	306, 304	resubcld 8603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( P - y ) e. RR )
312	55, 64, 68	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. RR )
313	312	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( P - 1 ) e. RR )
314	72	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
315		lediv1 9092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P - y ) e. RR /\ ( P - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( P - y ) <_ ( P - 1 ) <-> ( ( P - y ) / 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
316	311, 313, 314, 315	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( ( P - y ) <_ ( P - 1 ) <-> ( ( P - y ) / 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
317	310, 316	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( ( P - y ) / 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
318	14	breq2i 4101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P - y ) / 2 ) <_ H <-> ( ( P - y ) / 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
319	317, 318	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( ( P - y ) / 2 ) <_ H )
320	300, 301, 319	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( ( ( P - y ) / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( ( P - y ) / 2 ) <_ H ) )
321	320	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> ( ( ( P - y ) / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( ( P - y ) / 2 ) <_ H ) ) )
322		elfz1b 10368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P - y ) / 2 ) e. ( 1 ... H ) <-> ( ( ( P - y ) / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( ( P - y ) / 2 ) <_ H ) )
323	321, 160, 322	3imtr4g 205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> ( y e. ( 1 ... H ) -> ( ( P - y ) / 2 ) e. ( 1 ... H ) ) )
324	323	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -. 2 || y -> ( y e. ( 1 ... H ) -> ( ( P - y ) / 2 ) e. ( 1 ... H ) ) ) )
325	19, 324	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. 2 || y -> ( y e. ( 1 ... H ) -> ( ( P - y ) / 2 ) e. ( 1 ... H ) ) ) )
326	325	3imp21 1225	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( P - y ) / 2 ) e. ( 1 ... H ) )
327		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( ( P - y ) / 2 ) -> ( x x. 2 ) = ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) )
328	327	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( P - y ) / 2 ) -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
329	327	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( P - y ) / 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) )
330	328, 327, 329	ifbieq12d 3636	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( P - y ) / 2 ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) ) )
331	330	eqeq2d 2243	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( P - y ) / 2 ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = if ( ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) ) ) )
332	331	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) /\ x = ( ( P - y ) / 2 ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = if ( ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) ) ) )
333	19, 55, 239	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. CC )
334	333	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> P e. CC )
335	194	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> y e. CC )
336	334, 335	subcld 8533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( P - y ) e. CC )
337		2cnd 9259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> 2 e. CC )
338	197	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> 2 # 0 )
339	336, 337, 338	divcanap1d 9014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - y ) )
340		zre 9526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. ZZ -> P e. RR )
341		halfge0 9403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
342		rehalfcl 9414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. RR -> ( P / 2 ) e. RR )
343	342	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( P / 2 ) e. RR )
344	343, 270	subge02d 8760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 / 2 ) <-> ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) <_ ( P / 2 ) ) )
345	341, 344	mpbii 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) <_ ( P / 2 ) )
346		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> y e. RR )
347	256	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. RR -> ( 1 / 2 ) e. RR )
348	342, 347	resubcld 8603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( P e. RR -> ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR )
349	348	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR )
350		letr 8305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( y e. RR /\ ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P / 2 ) e. RR ) -> ( ( y <_ ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) /\ ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) <_ ( P / 2 ) ) -> y <_ ( P / 2 ) ) )
351	346, 349, 343, 350	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( y <_ ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) /\ ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) <_ ( P / 2 ) ) -> y <_ ( P / 2 ) ) )
352	345, 351	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( y <_ ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) -> y <_ ( P / 2 ) ) )
353	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> P e. CC )
354	353, 244	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) = ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) )
355	354	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> y <_ ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) ) )
356		lesub 8664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( P / 2 ) e. RR /\ P e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( P - y ) <-> y <_ ( P - ( P / 2 ) ) ) )
357	343, 268, 346, 356	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( P - y ) <-> y <_ ( P - ( P / 2 ) ) ) )
358	269, 273	lenltd 8340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( P - y ) <-> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) )
359		2cnd 9259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( P e. RR -> 2 e. CC )
360	197	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( P e. RR -> 2 # 0 )
361	81, 359, 360	divcanap1d 9014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( P e. RR -> ( ( P / 2 ) x. 2 ) = P )
362	361	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( P e. RR -> P = ( ( P / 2 ) x. 2 ) )
363	362	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. RR -> ( P - ( P / 2 ) ) = ( ( ( P / 2 ) x. 2 ) - ( P / 2 ) ) )
364	342	recnd 8251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( P e. RR -> ( P / 2 ) e. CC )
365	364, 359	mulcomd 8244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( P e. RR -> ( ( P / 2 ) x. 2 ) = ( 2 x. ( P / 2 ) ) )
366	365	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. RR -> ( ( ( P / 2 ) x. 2 ) - ( P / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( P / 2 ) ) - ( P / 2 ) ) )
367	359, 364	mulsubfacd 8641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( P e. RR -> ( ( 2 x. ( P / 2 ) ) - ( P / 2 ) ) = ( ( 2 - 1 ) x. ( P / 2 ) ) )
368		2m1e1 9304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( 2 - 1 ) = 1
369	368	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( P e. RR -> ( 2 - 1 ) = 1 )
370	369	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( P e. RR -> ( ( 2 - 1 ) x. ( P / 2 ) ) = ( 1 x. ( P / 2 ) ) )
371	364	mullidd 8240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( P e. RR -> ( 1 x. ( P / 2 ) ) = ( P / 2 ) )
372	367, 370, 371	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. RR -> ( ( 2 x. ( P / 2 ) ) - ( P / 2 ) ) = ( P / 2 ) )
373	363, 366, 372	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( P e. RR -> ( P - ( P / 2 ) ) = ( P / 2 ) )
374	373	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( P - ( P / 2 ) ) = ( P / 2 ) )
375	374	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( y <_ ( P - ( P / 2 ) ) <-> y <_ ( P / 2 ) ) )
376	357, 358, 375	3bitr3d 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( -. ( P - y ) < ( P / 2 ) <-> y <_ ( P / 2 ) ) )
377	352, 355, 376	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) )
378	377	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. RR -> ( P e. RR -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
379	166, 378	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. NN -> ( P e. RR -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
380	379	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. RR -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( y e. NN -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
381	340, 380	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. ZZ -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( y e. NN -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
382	19, 55, 56, 381	4syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( y e. NN -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
383	382	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -. 2 || y /\ ph ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( y e. NN -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
384	383	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. NN -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( -. 2 || y /\ ph ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
385	200, 384	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN -> ( y <_ H -> ( ( -. 2 || y /\ ph ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
386	385	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN -> ( H e. NN -> ( y <_ H -> ( ( -. 2 || y /\ ph ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) ) )
387	386	3imp 1220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> ( ( -. 2 || y /\ ph ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) )
388	387	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. 2 || y /\ ph ) -> ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) )
389	160, 388	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. 2 || y /\ ph ) -> ( y e. ( 1 ... H ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) )
390	389	3impia 1227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) )
391	339, 390	eqnbrtrd 4111	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> -. ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) )
392	391	iffalsed 3619	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> if ( ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) ) = ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) )
393	339	oveq2d 6044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) = ( P - ( P - y ) ) )
394	333, 194	anim12i 338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( P e. CC /\ y e. CC ) )
395	394	3adant1 1042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( P e. CC /\ y e. CC ) )
396		nncan 8451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. CC /\ y e. CC ) -> ( P - ( P - y ) ) = y )
397	395, 396	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( P - ( P - y ) ) = y )
398	392, 393, 397	3eqtrrd 2269	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> y = if ( ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) ) )
399	326, 332, 398	rspcedvd 2917	. . . . . . . 8 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
400	399	3expb 1231	. . . . . . 7 |- ( ( -. 2 || y /\ ( ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) ) -> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
401	400	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) /\ -. 2 || y ) -> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
402	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> 2 e. NN )
403	193	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> y e. ZZ )
404		dvdsdc 12420	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ y e. ZZ ) -> DECID 2 || y )
405	402, 403, 404	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> DECID 2 || y )
406		exmiddc 844	. . . . . . 7 |- (DECID 2 || y -> ( 2 || y \/ -. 2 || y ) )
407	405, 406	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( 2 || y \/ -. 2 || y ) )
408	222, 401, 407	mpjaodan 806	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
409	408	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( 1 ... H ) -> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) ) )
410	159, 409	impbid 129	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y e. ( 1 ... H ) ) )
411	3, 410	bitrid 192	. 2 |- ( ph -> ( y e. ran R <-> y e. ( 1 ... H ) ) )
412	411	eqrdv 2229	1 |- ( ph -> ran R = ( 1 ... H ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   \ cdif 3198   ifcif 3607   {csn 3673   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   ran crn 4732  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   < clt 8257   <_ cle 8258   - cmin 8393   # cap 8804   / cdiv 8895   NNcn 9186   2c2 9237   ZZcz 9522   QQcq 9896   RR+crp 9931   ...cfz 10286   || cdvds 12409   Primecprime 12740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-ioo 10170  df-fz 10287  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-dvds 12410  df-prm 12741

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1f1o  15859