Theorem divcnv 11640

Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor A, converges to zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
divcnv	|- ( A e. CC -> ( n e. NN |-> ( A / n ) ) ~~> 0 )

Distinct variable group:   A, n

Proof of Theorem divcnv

Dummy variables j k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> A e. CC )
2	1	abscld 11325	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` A ) e. RR )
3		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
4	2, 3	rerpdivcld 9794	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> ( ( abs ` A ) / x ) e. RR )
5		arch 9237	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) / x ) e. RR -> E. j e. NN ( ( abs ` A ) / x ) < j )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> E. j e. NN ( ( abs ` A ) / x ) < j )
7	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A e. CC )
8		eluzelz 9601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. ZZ )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ZZ )
10	9	zcnd 9440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. CC )
11	9	zred 9439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. RR )
12		0red 8020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 e. RR )
13		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. NN )
14	13	nnred 8995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR )
15	13	nngt0d 9026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < j )
16		eluzle 9604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ k )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j <_ k )
18	12, 14, 11, 15, 17	ltletrd 8442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < k )
19	11, 18	gt0ap0d 8648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k # 0 )
20	7, 10, 19	absdivapd 11339	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( A / k ) ) = ( ( abs ` A ) / ( abs ` k ) ) )
21	12, 11, 18	ltled 8138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ k )
22	11, 21	absidd 11311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` k ) = k )
23	22	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( abs ` k ) ) = ( ( abs ` A ) / k ) )
24	20, 23	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( A / k ) ) = ( ( abs ` A ) / k ) )
25	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
26	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x e. RR+ )
27	11, 18	elrpd 9759	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. RR+ )
28	4	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` A ) / x ) e. RR )
29		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` A ) / x ) < j )
30	28, 14, 11, 29, 17	ltletrd 8442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` A ) / x ) < k )
31	25, 26, 27, 30	ltdiv23d 9823	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` A ) / k ) < x )
32	24, 31	eqbrtrd 4051	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( A / k ) ) < x )
33	32	ralrimiva 2567	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( abs ` A ) / x ) < j ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A / k ) ) < x )
34	33	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( abs ` A ) / x ) < j -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A / k ) ) < x ) )
35	34	reximdva 2596	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. NN ( ( abs ` A ) / x ) < j -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A / k ) ) < x ) )
36	6, 35	mpd 13	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A / k ) ) < x )
37	36	ralrimiva 2567	. 2 |- ( A e. CC -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A / k ) ) < x )
38		nnuz 9628	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
39		1zzd 9344	. . 3 |- ( A e. CC -> 1 e. ZZ )
40		nnex 8988	. . . . 5 |- NN e. _V
41	40	mptex 5784	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( A / n ) ) e. _V
42	41	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> ( n e. NN |-> ( A / n ) ) e. _V )
43		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN ) -> k e. NN )
44		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN ) -> A e. CC )
45	43	nncnd 8996	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN ) -> k e. CC )
46	43	nnap0d 9028	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN ) -> k # 0 )
47	44, 45, 46	divclapd 8809	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN ) -> ( A / k ) e. CC )
48		oveq2 5926	. . . . 5 |- ( n = k -> ( A / n ) = ( A / k ) )
49		eqid 2193	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( A / n ) ) = ( n e. NN |-> ( A / n ) )
50	48, 49	fvmptg 5633	. . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( A / k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( A / n ) ) ` k ) = ( A / k ) )
51	43, 47, 50	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( A / n ) ) ` k ) = ( A / k ) )
52	38, 39, 42, 51, 47	clim0c 11429	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( n e. NN |-> ( A / n ) ) ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( A / k ) ) < x ) )
53	37, 52	mpbird 167	1 |- ( A e. CC -> ( n e. NN |-> ( A / n ) ) ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   < clt 8054   <_ cle 8055   / cdiv 8691   NNcn 8982   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   RR+crp 9719   abscabs 11141   ~~> cli 11421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422

This theorem is referenced by:  trireciplem  11643  expcnvap0  11645