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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > expnbnd | Unicode version |
Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.) |
Ref | Expression |
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expnbnd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simp1 946 |
. . . 4
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2 | 1 | adantr 271 |
. . 3
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3 | simp2 947 |
. . . 4
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4 | 3 | adantr 271 |
. . 3
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5 | simpr 109 |
. . 3
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6 | simp3 948 |
. . . 4
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7 | 6 | adantr 271 |
. . 3
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8 | 1red 7600 |
. . . . . . . . 9
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9 | 1, 8 | resubcld 7956 |
. . . . . . . 8
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10 | 3, 8 | resubcld 7956 |
. . . . . . . 8
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11 | 8, 3 | posdifd 8106 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 6, 11 | mpbid 146 |
. . . . . . . . 9
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13 | 10, 12 | gt0ap0d 8202 |
. . . . . . . 8
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14 | 9, 10, 13 | redivclapd 8398 |
. . . . . . 7
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15 | arch 8768 |
. . . . . . 7
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16 | 14, 15 | syl 14 |
. . . . . 6
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17 | 16 | 3expa 1146 |
. . . . 5
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18 | 17 | adantrl 463 |
. . . 4
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19 | simplll 501 |
. . . . . . . 8
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20 | 19 | adantr 271 |
. . . . . . 7
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21 | simpllr 502 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 1red 7600 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 21, 22 | resubcld 7956 |
. . . . . . . . . 10
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24 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | 24 | nnred 8533 |
. . . . . . . . . 10
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26 | 23, 25 | remulcld 7615 |
. . . . . . . . 9
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27 | 26, 22 | readdcld 7614 |
. . . . . . . 8
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28 | 27 | adantr 271 |
. . . . . . 7
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29 | 24 | nnnn0d 8824 |
. . . . . . . . 9
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30 | reexpcl 10087 |
. . . . . . . . 9
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31 | 21, 29, 30 | syl2anc 404 |
. . . . . . . 8
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32 | 31 | adantr 271 |
. . . . . . 7
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33 | simpr 109 |
. . . . . . . . 9
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34 | 1red 7600 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 20, 34 | resubcld 7956 |
. . . . . . . . . 10
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36 | simplr 498 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 36 | nnred 8533 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 21 | adantr 271 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 38, 34 | resubcld 7956 |
. . . . . . . . . 10
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40 | simplrr 504 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 40 | adantr 271 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 34, 38 | posdifd 8106 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 41, 42 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . 10
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44 | ltdivmul 8434 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 35, 37, 39, 43, 44 | syl112anc 1185 |
. . . . . . . . 9
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46 | 33, 45 | mpbid 146 |
. . . . . . . 8
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47 | 39, 37 | remulcld 7615 |
. . . . . . . . 9
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48 | 20, 34, 47 | ltsubaddd 8115 |
. . . . . . . 8
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49 | 46, 48 | mpbid 146 |
. . . . . . 7
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50 | 36 | nnnn0d 8824 |
. . . . . . . 8
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51 | 0red 7586 |
. . . . . . . . . 10
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52 | 0lt1 7707 |
. . . . . . . . . . . 12
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53 | 0re 7585 |
. . . . . . . . . . . . 13
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54 | 1re 7584 |
. . . . . . . . . . . . 13
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55 | lttr 7656 |
. . . . . . . . . . . . 13
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56 | 53, 54, 55 | mp3an12 1270 |
. . . . . . . . . . . 12
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57 | 52, 56 | mpani 422 |
. . . . . . . . . . 11
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58 | 21, 40, 57 | sylc 62 |
. . . . . . . . . 10
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59 | 51, 21, 58 | ltled 7699 |
. . . . . . . . 9
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60 | 59 | adantr 271 |
. . . . . . . 8
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61 | bernneq2 10190 |
. . . . . . . 8
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62 | 38, 50, 60, 61 | syl3anc 1181 |
. . . . . . 7
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63 | 20, 28, 32, 49, 62 | ltletrd 7998 |
. . . . . 6
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64 | 63 | ex 114 |
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65 | 64 | reximdva 2487 |
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66 | 18, 65 | mpd 13 |
. . 3
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67 | 2, 4, 5, 7, 66 | syl22anc 1182 |
. 2
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68 | 1nn 8531 |
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69 | simpr 109 |
. . . 4
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70 | simpl2 950 |
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71 | 70 | recnd 7613 |
. . . . 5
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72 | exp1 10076 |
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73 | 71, 72 | syl 14 |
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74 | 69, 73 | breqtrrd 3893 |
. . 3
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75 | oveq2 5698 |
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76 | 75 | breq2d 3879 |
. . . 4
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77 | 76 | rspcev 2736 |
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78 | 68, 74, 77 | sylancr 406 |
. 2
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79 | axltwlin 7651 |
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80 | 54, 79 | mp3an1 1267 |
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81 | 80 | ancoms 265 |
. . 3
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82 | 81 | 3impia 1143 |
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83 | 67, 78, 82 | mpjaodan 750 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 582 ax-in2 583 ax-io 668 ax-5 1388 ax-7 1389 ax-gen 1390 ax-ie1 1434 ax-ie2 1435 ax-8 1447 ax-10 1448 ax-11 1449 ax-i12 1450 ax-bndl 1451 ax-4 1452 ax-13 1456 ax-14 1457 ax-17 1471 ax-i9 1475 ax-ial 1479 ax-i5r 1480 ax-ext 2077 ax-coll 3975 ax-sep 3978 ax-nul 3986 ax-pow 4030 ax-pr 4060 ax-un 4284 ax-setind 4381 ax-iinf 4431 ax-cnex 7533 ax-resscn 7534 ax-1cn 7535 ax-1re 7536 ax-icn 7537 ax-addcl 7538 ax-addrcl 7539 ax-mulcl 7540 ax-mulrcl 7541 ax-addcom 7542 ax-mulcom 7543 ax-addass 7544 ax-mulass 7545 ax-distr 7546 ax-i2m1 7547 ax-0lt1 7548 ax-1rid 7549 ax-0id 7550 ax-rnegex 7551 ax-precex 7552 ax-cnre 7553 ax-pre-ltirr 7554 ax-pre-ltwlin 7555 ax-pre-lttrn 7556 ax-pre-apti 7557 ax-pre-ltadd 7558 ax-pre-mulgt0 7559 ax-pre-mulext 7560 ax-arch 7561 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 784 df-3or 928 df-3an 929 df-tru 1299 df-fal 1302 df-nf 1402 df-sb 1700 df-eu 1958 df-mo 1959 df-clab 2082 df-cleq 2088 df-clel 2091 df-nfc 2224 df-ne 2263 df-nel 2358 df-ral 2375 df-rex 2376 df-reu 2377 df-rmo 2378 df-rab 2379 df-v 2635 df-sbc 2855 df-csb 2948 df-dif 3015 df-un 3017 df-in 3019 df-ss 3026 df-nul 3303 df-if 3414 df-pw 3451 df-sn 3472 df-pr 3473 df-op 3475 df-uni 3676 df-int 3711 df-iun 3754 df-br 3868 df-opab 3922 df-mpt 3923 df-tr 3959 df-id 4144 df-po 4147 df-iso 4148 df-iord 4217 df-on 4219 df-ilim 4220 df-suc 4222 df-iom 4434 df-xp 4473 df-rel 4474 df-cnv 4475 df-co 4476 df-dm 4477 df-rn 4478 df-res 4479 df-ima 4480 df-iota 5014 df-fun 5051 df-fn 5052 df-f 5053 df-f1 5054 df-fo 5055 df-f1o 5056 df-fv 5057 df-riota 5646 df-ov 5693 df-oprab 5694 df-mpt2 5695 df-1st 5949 df-2nd 5950 df-recs 6108 df-frec 6194 df-pnf 7621 df-mnf 7622 df-xr 7623 df-ltxr 7624 df-le 7625 df-sub 7752 df-neg 7753 df-reap 8149 df-ap 8156 df-div 8237 df-inn 8521 df-n0 8772 df-z 8849 df-uz 9119 df-seqfrec 10001 df-exp 10070 |
This theorem is referenced by: expnlbnd 10193 |
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