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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > expnbnd | Unicode version |
Description: Exponentiation with a base greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.) |
Ref | Expression |
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expnbnd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simp1 998 |
. . . 4
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2 | 1 | adantr 276 |
. . 3
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3 | simp2 999 |
. . . 4
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4 | 3 | adantr 276 |
. . 3
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5 | simpr 110 |
. . 3
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6 | simp3 1000 |
. . . 4
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7 | 6 | adantr 276 |
. . 3
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8 | 1red 7986 |
. . . . . . . . 9
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9 | 1, 8 | resubcld 8352 |
. . . . . . . 8
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10 | 3, 8 | resubcld 8352 |
. . . . . . . 8
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11 | 8, 3 | posdifd 8503 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 6, 11 | mpbid 147 |
. . . . . . . . 9
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13 | 10, 12 | gt0ap0d 8600 |
. . . . . . . 8
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14 | 9, 10, 13 | redivclapd 8806 |
. . . . . . 7
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15 | arch 9187 |
. . . . . . 7
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16 | 14, 15 | syl 14 |
. . . . . 6
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17 | 16 | 3expa 1204 |
. . . . 5
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18 | 17 | adantrl 478 |
. . . 4
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19 | simplll 533 |
. . . . . . . 8
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20 | 19 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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21 | simpllr 534 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 1red 7986 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 21, 22 | resubcld 8352 |
. . . . . . . . . 10
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24 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | 24 | nnred 8946 |
. . . . . . . . . 10
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26 | 23, 25 | remulcld 8002 |
. . . . . . . . 9
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27 | 26, 22 | readdcld 8001 |
. . . . . . . 8
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28 | 27 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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29 | 24 | nnnn0d 9243 |
. . . . . . . . 9
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30 | reexpcl 10551 |
. . . . . . . . 9
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31 | 21, 29, 30 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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32 | 31 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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33 | simpr 110 |
. . . . . . . . 9
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34 | 1red 7986 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 20, 34 | resubcld 8352 |
. . . . . . . . . 10
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36 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 36 | nnred 8946 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 21 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 38, 34 | resubcld 8352 |
. . . . . . . . . 10
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40 | simplrr 536 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 40 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 34, 38 | posdifd 8503 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 41, 42 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . 10
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44 | ltdivmul 8847 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 35, 37, 39, 43, 44 | syl112anc 1252 |
. . . . . . . . 9
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46 | 33, 45 | mpbid 147 |
. . . . . . . 8
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47 | 39, 37 | remulcld 8002 |
. . . . . . . . 9
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48 | 20, 34, 47 | ltsubaddd 8512 |
. . . . . . . 8
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49 | 46, 48 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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50 | 36 | nnnn0d 9243 |
. . . . . . . 8
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51 | 0red 7972 |
. . . . . . . . . 10
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52 | 0lt1 8098 |
. . . . . . . . . . . 12
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53 | 0re 7971 |
. . . . . . . . . . . . 13
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54 | 1re 7970 |
. . . . . . . . . . . . 13
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55 | lttr 8045 |
. . . . . . . . . . . . 13
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56 | 53, 54, 55 | mp3an12 1337 |
. . . . . . . . . . . 12
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57 | 52, 56 | mpani 430 |
. . . . . . . . . . 11
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58 | 21, 40, 57 | sylc 62 |
. . . . . . . . . 10
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59 | 51, 21, 58 | ltled 8090 |
. . . . . . . . 9
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60 | 59 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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61 | bernneq2 10656 |
. . . . . . . 8
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62 | 38, 50, 60, 61 | syl3anc 1248 |
. . . . . . 7
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63 | 20, 28, 32, 49, 62 | ltletrd 8394 |
. . . . . 6
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64 | 63 | ex 115 |
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65 | 64 | reximdva 2589 |
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66 | 18, 65 | mpd 13 |
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67 | 2, 4, 5, 7, 66 | syl22anc 1249 |
. 2
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68 | 1nn 8944 |
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69 | simpr 110 |
. . . 4
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70 | simpl2 1002 |
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71 | 70 | recnd 8000 |
. . . . 5
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72 | exp1 10540 |
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73 | 71, 72 | syl 14 |
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74 | 69, 73 | breqtrrd 4043 |
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75 | oveq2 5896 |
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76 | 75 | breq2d 4027 |
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77 | 76 | rspcev 2853 |
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78 | 68, 74, 77 | sylancr 414 |
. 2
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79 | axltwlin 8039 |
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80 | 54, 79 | mp3an1 1334 |
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81 | 80 | ancoms 268 |
. . 3
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82 | 81 | 3impia 1201 |
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83 | 67, 78, 82 | mpjaodan 799 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7916 ax-resscn 7917 ax-1cn 7918 ax-1re 7919 ax-icn 7920 ax-addcl 7921 ax-addrcl 7922 ax-mulcl 7923 ax-mulrcl 7924 ax-addcom 7925 ax-mulcom 7926 ax-addass 7927 ax-mulass 7928 ax-distr 7929 ax-i2m1 7930 ax-0lt1 7931 ax-1rid 7932 ax-0id 7933 ax-rnegex 7934 ax-precex 7935 ax-cnre 7936 ax-pre-ltirr 7937 ax-pre-ltwlin 7938 ax-pre-lttrn 7939 ax-pre-apti 7940 ax-pre-ltadd 7941 ax-pre-mulgt0 7942 ax-pre-mulext 7943 ax-arch 7944 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6155 df-2nd 6156 df-recs 6320 df-frec 6406 df-pnf 8008 df-mnf 8009 df-xr 8010 df-ltxr 8011 df-le 8012 df-sub 8144 df-neg 8145 df-reap 8546 df-ap 8553 df-div 8644 df-inn 8934 df-n0 9191 df-z 9268 df-uz 9543 df-seqfrec 10460 df-exp 10534 |
This theorem is referenced by: expnlbnd 10659 pclemub 12301 |
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