Theorem arch 9263

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
arch	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem arch

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-arch 8015	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 <ℝ 𝑛)
2		dfnn2 9009	. . . 4 ⊢ ℕ = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
3	2	rexeqi 2698	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 <ℝ 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 <ℝ 𝑛)
4	1, 3	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 <ℝ 𝑛)
5		nnre 9014	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
6		ltxrlt 8109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑛 ↔ 𝐴 <ℝ 𝑛))
7	5, 6	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑛 ↔ 𝐴 <ℝ 𝑛))
8	7	rexbidva 2494	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 <ℝ 𝑛))
9	4, 8	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167  {cab 2182  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  ∩ cint 3875   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  1c1 7897   + caddc 7899   <_ℝ cltrr 7900   < clt 8078  ℕcn 9007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008

This theorem is referenced by:  nnrecl  9264  bndndx  9265  btwnz  9462  expnbnd  10772  cvg1nlemres  11167  cvg1n  11168  resqrexlemga  11205  fsum3cvg3  11578  divcnv  11679  efcllem  11841  alzdvds  12036  dvdsbnd  12148