Theorem arch 9510

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
arch	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem arch

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-arch 8262	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 <ℝ 𝑛)
2		dfnn2 9256	. . . 4 ⊢ ℕ = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
3	2	rexeqi 2748	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 <ℝ 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 <ℝ 𝑛)
4	1, 3	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 <ℝ 𝑛)
5		nnre 9261	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
6		ltxrlt 8355	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑛 ↔ 𝐴 <ℝ 𝑛))
7	5, 6	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑛 ↔ 𝐴 <ℝ 𝑛))
8	7	rexbidva 2541	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 <ℝ 𝑛))
9	4, 8	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205  {cab 2220  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  ∩ cint 3954   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  1c1 8144   + caddc 8146   <_ℝ cltrr 8147   < clt 8324  ℕcn 9254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255

This theorem is referenced by:  nnrecl  9511  bndndx  9512  btwnz  9715  expnbnd  11050  cvg1nlemres  11695  cvg1n  11696  resqrexlemga  11733  fsum3cvg3  12107  divcnv  12208  efcllem  12370  alzdvds  12565  dvdsbnd  12677