Theorem arch 9292

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
arch	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem arch

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-arch 8044	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 <ℝ 𝑛)
2		dfnn2 9038	. . . 4 ⊢ ℕ = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
3	2	rexeqi 2707	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 <ℝ 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 <ℝ 𝑛)
4	1, 3	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 <ℝ 𝑛)
5		nnre 9043	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
6		ltxrlt 8138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑛 ↔ 𝐴 <ℝ 𝑛))
7	5, 6	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑛 ↔ 𝐴 <ℝ 𝑛))
8	7	rexbidva 2503	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 <ℝ 𝑛))
9	4, 8	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2176  {cab 2191  ∀wral 2484  ∃wrex 2485  ∩ cint 3885   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944  ℝcr 7924  1c1 7926   + caddc 7928   <_ℝ cltrr 7929   < clt 8107  ℕcn 9036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037

This theorem is referenced by:  nnrecl  9293  bndndx  9294  btwnz  9492  expnbnd  10808  cvg1nlemres  11296  cvg1n  11297  resqrexlemga  11334  fsum3cvg3  11707  divcnv  11808  efcllem  11970  alzdvds  12165  dvdsbnd  12277