Theorem arch 9387

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
arch	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem arch

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-arch 8139	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 <ℝ 𝑛)
2		dfnn2 9133	. . . 4 ⊢ ℕ = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
3	2	rexeqi 2733	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 <ℝ 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 <ℝ 𝑛)
4	1, 3	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 <ℝ 𝑛)
5		nnre 9138	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
6		ltxrlt 8233	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑛 ↔ 𝐴 <ℝ 𝑛))
7	5, 6	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑛 ↔ 𝐴 <ℝ 𝑛))
8	7	rexbidva 2527	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 <ℝ 𝑛))
9	4, 8	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  ∩ cint 3924   class class class wbr 4084  (class class class)co 6011  ℝcr 8019  1c1 8021   + caddc 8023   <_ℝ cltrr 8024   < clt 8202  ℕcn 9131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1re 8114  ax-addrcl 8117  ax-arch 8139

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-br 4085  df-opab 4147  df-xp 4727  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-ltxr 8207  df-inn 9132

This theorem is referenced by:  nnrecl  9388  bndndx  9389  btwnz  9587  expnbnd  10913  cvg1nlemres  11533  cvg1n  11534  resqrexlemga  11571  fsum3cvg3  11944  divcnv  12045  efcllem  12207  alzdvds  12402  dvdsbnd  12514