Theorem alzdvds 12360

Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
alzdvds	|- ( N e. ZZ -> ( A. x e. ZZ x || N <-> N = 0 ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem alzdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9459	. . . . . . . 8 |- NN C_ ZZ
2		zcn 9447	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
3	2	abscld 11687	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. RR )
4		arch 9362	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` N ) e. RR -> E. x e. NN ( abs ` N ) < x )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> E. x e. NN ( abs ` N ) < x )
6		ssrexv 3289	. . . . . . . 8 |- ( NN C_ ZZ -> ( E. x e. NN ( abs ` N ) < x -> E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x ) )
7	1, 5, 6	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x )
8		zabscl 11592	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. ZZ )
9		zltnle 9488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` N ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) < x <-> -. x <_ ( abs ` N ) ) )
10	8, 9	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) < x <-> -. x <_ ( abs ` N ) ) )
11	10	rexbidva 2527	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x <-> E. x e. ZZ -. x <_ ( abs ` N ) ) )
12		rexnalim 2519	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. ZZ -. x <_ ( abs ` N ) -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) )
13	11, 12	biimtrdi 163	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
14	7, 13	mpd 13	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) )
16		ralim 2589	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ZZ ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) -> ( A. x e. ZZ x || N -> A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
17		dvdsleabs 12351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) )
18	17	3expb 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) )
19	18	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( x e. ZZ -> ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) ) )
20	19	ralrimiv 2602	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> A. x e. ZZ ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) )
21	16, 20	syl11 31	. . . . . 6 |- ( A. x e. ZZ x || N -> ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
22	21	expdimp 259	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> ( N =/= 0 -> A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
23	15, 22	mtod 667	. . . 4 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> -. N =/= 0 )
24		0z 9453	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
25		zdceq 9518	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
26	24, 25	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
27		nnedc 2405	. . . . . 6 |- (DECID N = 0 -> ( -. N =/= 0 <-> N = 0 ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -. N =/= 0 <-> N = 0 ) )
29	28	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> ( -. N =/= 0 <-> N = 0 ) )
30	23, 29	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> N = 0 )
31	30	expcom 116	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( A. x e. ZZ x || N -> N = 0 ) )
32		dvds0 12312	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> x || 0 )
33		breq2 4086	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( x || N <-> x || 0 ) )
34	32, 33	imbitrrid 156	. . 3 |- ( N = 0 -> ( x e. ZZ -> x || N ) )
35	34	ralrimiv 2602	. 2 |- ( N = 0 -> A. x e. ZZ x || N )
36	31, 35	impbid1 142	1 |- ( N e. ZZ -> ( A. x e. ZZ x || N <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   class class class wbr 4082   ` cfv 5317   RRcr 7994   0cc0 7995   < clt 8177   <_ cle 8178   NNcn 9106   ZZcz 9442   abscabs 11503   || cdvds 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-dvds 12294

This theorem is referenced by: (None)