Theorem alzdvds 12478

Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
alzdvds	|- ( N e. ZZ -> ( A. x e. ZZ x || N <-> N = 0 ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem alzdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9540	. . . . . . . 8 |- NN C_ ZZ
2		zcn 9528	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
3	2	abscld 11804	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. RR )
4		arch 9441	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` N ) e. RR -> E. x e. NN ( abs ` N ) < x )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> E. x e. NN ( abs ` N ) < x )
6		ssrexv 3293	. . . . . . . 8 |- ( NN C_ ZZ -> ( E. x e. NN ( abs ` N ) < x -> E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x ) )
7	1, 5, 6	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x )
8		zabscl 11709	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. ZZ )
9		zltnle 9569	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` N ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) < x <-> -. x <_ ( abs ` N ) ) )
10	8, 9	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) < x <-> -. x <_ ( abs ` N ) ) )
11	10	rexbidva 2530	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x <-> E. x e. ZZ -. x <_ ( abs ` N ) ) )
12		rexnalim 2522	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. ZZ -. x <_ ( abs ` N ) -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) )
13	11, 12	biimtrdi 163	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
14	7, 13	mpd 13	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) )
16		ralim 2592	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ZZ ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) -> ( A. x e. ZZ x || N -> A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
17		dvdsleabs 12469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) )
18	17	3expb 1231	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) )
19	18	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( x e. ZZ -> ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) ) )
20	19	ralrimiv 2605	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> A. x e. ZZ ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) )
21	16, 20	syl11 31	. . . . . 6 |- ( A. x e. ZZ x || N -> ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
22	21	expdimp 259	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> ( N =/= 0 -> A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
23	15, 22	mtod 669	. . . 4 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> -. N =/= 0 )
24		0z 9534	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
25		zdceq 9599	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
26	24, 25	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
27		nnedc 2408	. . . . . 6 |- (DECID N = 0 -> ( -. N =/= 0 <-> N = 0 ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -. N =/= 0 <-> N = 0 ) )
29	28	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> ( -. N =/= 0 <-> N = 0 ) )
30	23, 29	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> N = 0 )
31	30	expcom 116	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( A. x e. ZZ x || N -> N = 0 ) )
32		dvds0 12430	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> x || 0 )
33		breq2 4097	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( x || N <-> x || 0 ) )
34	32, 33	imbitrrid 156	. . 3 |- ( N = 0 -> ( x e. ZZ -> x || N ) )
35	34	ralrimiv 2605	. 2 |- ( N = 0 -> A. x e. ZZ x || N )
36	31, 35	impbid1 142	1 |- ( N e. ZZ -> ( A. x e. ZZ x || N <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   A.wral 2511   E.wrex 2512   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   ` cfv 5333   RRcr 8074   0cc0 8075   < clt 8256   <_ cle 8257   NNcn 9185   ZZcz 9523   abscabs 11620   || cdvds 12411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-dvds 12412

This theorem is referenced by: (None)