Theorem alzdvds 11541

Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
alzdvds	|- ( N e. ZZ -> ( A. x e. ZZ x || N <-> N = 0 ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem alzdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9064	. . . . . . . 8 |- NN C_ ZZ
2		zcn 9052	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
3	2	abscld 10946	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. RR )
4		arch 8967	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` N ) e. RR -> E. x e. NN ( abs ` N ) < x )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> E. x e. NN ( abs ` N ) < x )
6		ssrexv 3157	. . . . . . . 8 |- ( NN C_ ZZ -> ( E. x e. NN ( abs ` N ) < x -> E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x ) )
7	1, 5, 6	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x )
8		zabscl 10851	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. ZZ )
9		zltnle 9093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` N ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) < x <-> -. x <_ ( abs ` N ) ) )
10	8, 9	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) < x <-> -. x <_ ( abs ` N ) ) )
11	10	rexbidva 2432	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x <-> E. x e. ZZ -. x <_ ( abs ` N ) ) )
12		rexnalim 2425	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. ZZ -. x <_ ( abs ` N ) -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) )
13	11, 12	syl6bi 162	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
14	7, 13	mpd 13	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) )
15	14	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) )
16		ralim 2489	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ZZ ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) -> ( A. x e. ZZ x || N -> A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
17		dvdsleabs 11532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) )
18	17	3expb 1182	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) )
19	18	expcom 115	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( x e. ZZ -> ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) ) )
20	19	ralrimiv 2502	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> A. x e. ZZ ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) )
21	16, 20	syl11 31	. . . . . 6 |- ( A. x e. ZZ x || N -> ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
22	21	expdimp 257	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> ( N =/= 0 -> A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
23	15, 22	mtod 652	. . . 4 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> -. N =/= 0 )
24		0z 9058	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
25		zdceq 9119	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
26	24, 25	mpan2 421	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
27		nnedc 2311	. . . . . 6 |- (DECID N = 0 -> ( -. N =/= 0 <-> N = 0 ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -. N =/= 0 <-> N = 0 ) )
29	28	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> ( -. N =/= 0 <-> N = 0 ) )
30	23, 29	mpbid 146	. . 3 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> N = 0 )
31	30	expcom 115	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( A. x e. ZZ x || N -> N = 0 ) )
32		dvds0 11497	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> x || 0 )
33		breq2 3928	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( x || N <-> x || 0 ) )
34	32, 33	syl5ibr 155	. . 3 |- ( N = 0 -> ( x e. ZZ -> x || N ) )
35	34	ralrimiv 2502	. 2 |- ( N = 0 -> A. x e. ZZ x || N )
36	31, 35	impbid1 141	1 |- ( N e. ZZ -> ( A. x e. ZZ x || N <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2306   A.wral 2414   E.wrex 2415   C_ wss 3066   class class class wbr 3924   ` cfv 5118   RRcr 7612   0cc0 7613   < clt 7793   <_ cle 7794   NNcn 8713   ZZcz 9047   abscabs 10762   || cdvds 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-dvds 11483

This theorem is referenced by: (None)