Theorem alzdvds 12565

Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
alzdvds	|- ( N e. ZZ -> ( A. x e. ZZ x || N <-> N = 0 ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem alzdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9611	. . . . . . . 8 |- NN C_ ZZ
2		zcn 9599	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
3	2	abscld 11891	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. RR )
4		arch 9510	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` N ) e. RR -> E. x e. NN ( abs ` N ) < x )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> E. x e. NN ( abs ` N ) < x )
6		ssrexv 3307	. . . . . . . 8 |- ( NN C_ ZZ -> ( E. x e. NN ( abs ` N ) < x -> E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x ) )
7	1, 5, 6	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x )
8		zabscl 11796	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. ZZ )
9		zltnle 9640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` N ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) < x <-> -. x <_ ( abs ` N ) ) )
10	8, 9	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) < x <-> -. x <_ ( abs ` N ) ) )
11	10	rexbidva 2541	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x <-> E. x e. ZZ -. x <_ ( abs ` N ) ) )
12		rexnalim 2533	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. ZZ -. x <_ ( abs ` N ) -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) )
13	11, 12	biimtrdi 163	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
14	7, 13	mpd 13	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) )
16		ralim 2603	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ZZ ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) -> ( A. x e. ZZ x || N -> A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
17		dvdsleabs 12556	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) )
18	17	3expb 1231	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) )
19	18	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( x e. ZZ -> ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) ) )
20	19	ralrimiv 2616	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> A. x e. ZZ ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) )
21	16, 20	syl11 31	. . . . . 6 |- ( A. x e. ZZ x || N -> ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
22	21	expdimp 259	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> ( N =/= 0 -> A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
23	15, 22	mtod 669	. . . 4 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> -. N =/= 0 )
24		0z 9605	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
25		zdceq 9670	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
26	24, 25	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
27		nnedc 2419	. . . . . 6 |- (DECID N = 0 -> ( -. N =/= 0 <-> N = 0 ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -. N =/= 0 <-> N = 0 ) )
29	28	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> ( -. N =/= 0 <-> N = 0 ) )
30	23, 29	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> N = 0 )
31	30	expcom 116	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( A. x e. ZZ x || N -> N = 0 ) )
32		dvds0 12517	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> x || 0 )
33		breq2 4118	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( x || N <-> x || 0 ) )
34	32, 33	imbitrrid 156	. . 3 |- ( N = 0 -> ( x e. ZZ -> x || N ) )
35	34	ralrimiv 2616	. 2 |- ( N = 0 -> A. x e. ZZ x || N )
36	31, 35	impbid1 142	1 |- ( N e. ZZ -> ( A. x e. ZZ x || N <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   ` cfv 5357   RRcr 8142   0cc0 8143   < clt 8324   <_ cle 8325   NNcn 9254   ZZcz 9594   abscabs 11707   || cdvds 12498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-dvds 12499

This theorem is referenced by: (None)