ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  alzdvds Unicode version

Theorem alzdvds 11840
Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
alzdvds  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem alzdvds
StepHypRef Expression
1 nnssz 9256 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  ZZ
2 zcn 9244 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
32abscld 11171 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e.  RR )
4 arch 9159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  N )  e.  RR  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  x )
53, 4syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  x )
6 ssrexv 3220 . . . . . . . 8  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( E. x  e.  NN  ( abs `  N )  < 
x  ->  E. x  e.  ZZ  ( abs `  N
)  <  x )
)
71, 5, 6mpsyl 65 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( abs `  N
)  <  x )
8 zabscl 11076 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e.  ZZ )
9 zltnle 9285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  N
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  N
)  <  x  <->  -.  x  <_  ( abs `  N
) ) )
108, 9sylan 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  N
)  <  x  <->  -.  x  <_  ( abs `  N
) ) )
1110rexbidva 2474 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( abs `  N )  <  x  <->  E. x  e.  ZZ  -.  x  <_ 
( abs `  N
) ) )
12 rexnalim 2466 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  ZZ  -.  x  <_  ( abs `  N
)  ->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) )
1311, 12syl6bi 163 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( abs `  N )  <  x  ->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N
) ) )
147, 13mpd 13 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N
) )
1514adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N
) )
16 ralim 2536 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ZZ  (
x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N
) )  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
17 dvdsleabs 11831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N
) ) )
18173expb 1204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N ) ) )
1918expcom 116 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( x  e.  ZZ  ->  ( x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N ) ) ) )
2019ralrimiv 2549 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N
) ) )
2116, 20syl11 31 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
2221expdimp 259 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  =/=  0  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
2315, 22mtod 663 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  -.  N  =/=  0 )
24 0z 9250 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
25 zdceq 9314 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
2624, 25mpan2 425 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  -> DECID  N  =  0
)
27 nnedc 2352 . . . . . 6  |-  (DECID  N  =  0  ->  ( -.  N  =/=  0  <->  N  = 
0 ) )
2826, 27syl 14 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  N  =/=  0  <->  N  =  0 ) )
2928adantl 277 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  N  =/=  0  <->  N  =  0 ) )
3023, 29mpbid 147 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  =  0 )
3130expcom 116 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  N  =  0 ) )
32 dvds0 11794 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  ||  0 )
33 breq2 4004 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
x  ||  N  <->  x  ||  0
) )
3432, 33syl5ibr 156 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  (
x  e.  ZZ  ->  x 
||  N ) )
3534ralrimiv 2549 . 2  |-  ( N  =  0  ->  A. x  e.  ZZ  x  ||  N
)
3631, 35impbid1 142 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3129   class class class wbr 4000   ` cfv 5212   RRcr 7798   0cc0 7799    < clt 7979    <_ cle 7980   NNcn 8905   ZZcz 9239   abscabs 10987    || cdvds 11775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917  ax-arch 7918  ax-caucvg 7919
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-q 9606  df-rp 9638  df-seqfrec 10429  df-exp 10503  df-cj 10832  df-re 10833  df-im 10834  df-rsqrt 10988  df-abs 10989  df-dvds 11776
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator