Theorem alzdvds 12019

Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
alzdvds	|- ( N e. ZZ -> ( A. x e. ZZ x || N <-> N = 0 ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem alzdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9343	. . . . . . . 8 |- NN C_ ZZ
2		zcn 9331	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
3	2	abscld 11346	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. RR )
4		arch 9246	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` N ) e. RR -> E. x e. NN ( abs ` N ) < x )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> E. x e. NN ( abs ` N ) < x )
6		ssrexv 3248	. . . . . . . 8 |- ( NN C_ ZZ -> ( E. x e. NN ( abs ` N ) < x -> E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x ) )
7	1, 5, 6	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x )
8		zabscl 11251	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. ZZ )
9		zltnle 9372	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` N ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) < x <-> -. x <_ ( abs ` N ) ) )
10	8, 9	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) < x <-> -. x <_ ( abs ` N ) ) )
11	10	rexbidva 2494	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x <-> E. x e. ZZ -. x <_ ( abs ` N ) ) )
12		rexnalim 2486	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. ZZ -. x <_ ( abs ` N ) -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) )
13	11, 12	biimtrdi 163	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( E. x e. ZZ ( abs ` N ) < x -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
14	7, 13	mpd 13	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> -. A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) )
16		ralim 2556	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ZZ ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) -> ( A. x e. ZZ x || N -> A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
17		dvdsleabs 12010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) )
18	17	3expb 1206	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) )
19	18	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( x e. ZZ -> ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) ) )
20	19	ralrimiv 2569	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> A. x e. ZZ ( x || N -> x <_ ( abs ` N ) ) )
21	16, 20	syl11 31	. . . . . 6 |- ( A. x e. ZZ x || N -> ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
22	21	expdimp 259	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> ( N =/= 0 -> A. x e. ZZ x <_ ( abs ` N ) ) )
23	15, 22	mtod 664	. . . 4 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> -. N =/= 0 )
24		0z 9337	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
25		zdceq 9401	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
26	24, 25	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
27		nnedc 2372	. . . . . 6 |- (DECID N = 0 -> ( -. N =/= 0 <-> N = 0 ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -. N =/= 0 <-> N = 0 ) )
29	28	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> ( -. N =/= 0 <-> N = 0 ) )
30	23, 29	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A. x e. ZZ x || N /\ N e. ZZ ) -> N = 0 )
31	30	expcom 116	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( A. x e. ZZ x || N -> N = 0 ) )
32		dvds0 11971	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> x || 0 )
33		breq2 4037	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( x || N <-> x || 0 ) )
34	32, 33	imbitrrid 156	. . 3 |- ( N = 0 -> ( x e. ZZ -> x || N ) )
35	34	ralrimiv 2569	. 2 |- ( N = 0 -> A. x e. ZZ x || N )
36	31, 35	impbid1 142	1 |- ( N e. ZZ -> ( A. x e. ZZ x || N <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   ` cfv 5258   RRcr 7878   0cc0 7879   < clt 8061   <_ cle 8062   NNcn 8990   ZZcz 9326   abscabs 11162   || cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953

This theorem is referenced by: (None)