ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efcllem Unicode version

Theorem efcllem 11379
Description: Lemma for efcl 11384. The series that defines the exponential function converges. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
efcllem.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
efcllem  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem efcllem
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 8804 . . . . 5  |-  2  e.  RR
21a1i 9 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  2  e.  RR )
3 abscl 10837 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
42, 3remulcld 7810 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( abs `  A ) )  e.  RR )
5 arch 8988 . . 3  |-  ( ( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  RR  ->  E. j  e.  NN  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  <  j
)
64, 5syl 14 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  E. j  e.  NN  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  <  j
)
7 efcllem.1 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
8 simpl 108 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( j  e.  NN  /\  ( 2  x.  ( abs `  A ) )  <  j ) )  ->  A  e.  CC )
9 simprl 520 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( j  e.  NN  /\  ( 2  x.  ( abs `  A ) )  <  j ) )  ->  j  e.  NN )
10 simprr 521 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( j  e.  NN  /\  ( 2  x.  ( abs `  A ) )  <  j ) )  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  <  j
)
117, 8, 9, 10efcllemp 11378 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( j  e.  NN  /\  ( 2  x.  ( abs `  A ) )  <  j ) )  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
126, 11rexlimddv 2554 1  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   E.wrex 2417   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   dom cdm 4539   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7632   RRcr 7633   0cc0 7634    + caddc 7637    x. cmul 7639    < clt 7814    / cdiv 8446   NNcn 8734   2c2 8785   NN0cn0 8991    seqcseq 10232   ^cexp 10306   !cfa 10485   abscabs 10783    ~~> cli 11061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753  ax-caucvg 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-2 8793  df-3 8794  df-4 8795  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-q 9426  df-rp 9456  df-ico 9691  df-fz 9805  df-fzo 9934  df-seqfrec 10233  df-exp 10307  df-fac 10486  df-ihash 10536  df-cj 10628  df-re 10629  df-im 10630  df-rsqrt 10784  df-abs 10785  df-clim 11062  df-sumdc 11137
This theorem is referenced by:  efval  11381  eff  11383  efcvg  11386  reefcl  11388  efaddlem  11394  eftlcvg  11407  effsumlt  11412  eflegeo  11421  eirraplem  11496
  Copyright terms: Public domain W3C validator