Theorem mulgnn0gsum 13198

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a nonnegative integer expressed by a group sum. This corresponds to the definition in [Lang] p. 6, second formula. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnngsum.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnngsum.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnngsum.f	|- F = ( x e. ( 1 ... N ) |-> X )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0gsum	|- ( ( N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( G gsumg F ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, N   x, X

Allowed substitution hints:   .x. ( x)   F( x)   G( x)

Proof of Theorem mulgnn0gsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9242	. . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		mulgnngsum.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
3		mulgnngsum.t	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
4		mulgnngsum.f	. . . . . 6 |- F = ( x e. ( 1 ... N ) |-> X )
5	2, 3, 4	mulgnngsum 13197	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( G gsumg F ) )
6	5	ex 115	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( X e. B -> ( N .x. X ) = ( G gsumg F ) ) )
7	2	basmex 12677	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> G e. _V )
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( N = 0 /\ X e. B ) -> G e. _V )
9		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
10	9	gsum0g 12979	. . . . . . 7 |- ( G e. _V -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
11	8, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N = 0 /\ X e. B ) -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
12		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 0 -> ( 1 ... N ) = ( 1 ... 0 ) )
13		fz10 10112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
14	12, 13	eqtrdi 2242	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = 0 -> ( 1 ... N ) = (/) )
15	14	mpteq1d 4114	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 0 -> ( x e. ( 1 ... N ) |-> X ) = ( x e. (/) |-> X ) )
16		mpt0 5381	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. (/) |-> X ) = (/)
17	15, 16	eqtrdi 2242	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( x e. ( 1 ... N ) |-> X ) = (/) )
18	4, 17	eqtrid 2238	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> F = (/) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N = 0 /\ X e. B ) -> F = (/) )
20	19	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( ( N = 0 /\ X e. B ) -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg (/) ) )
21		oveq1 5925	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( N .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
22	2, 9, 3	mulg0 13195	. . . . . . 7 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
23	21, 22	sylan9eq 2246	. . . . . 6 |- ( ( N = 0 /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( 0g ` G ) )
24	11, 20, 23	3eqtr4rd 2237	. . . . 5 |- ( ( N = 0 /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( G gsumg F ) )
25	24	ex 115	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( X e. B -> ( N .x. X ) = ( G gsumg F ) ) )
26	6, 25	jaoi 717	. . 3 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( X e. B -> ( N .x. X ) = ( G gsumg F ) ) )
27	1, 26	sylbi 121	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( X e. B -> ( N .x. X ) = ( G gsumg F ) ) )
28	27	imp 124	1 |- ( ( N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( G gsumg F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   (/)c0 3446   |-> cmpt 4090   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   0cc0 7872   1c1 7873   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ...cfz 10074   Basecbs 12618   0gc0g 12867   gsum_g cgsu 12868  ._gcmg 13189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-igsum 12870  df-minusg 13076  df-mulg 13190

This theorem is referenced by: (None)