ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulg1 Unicode version

Theorem mulg1 12876
Description: Group multiple (exponentiation) operation at one. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulg1.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulg1  |-  ( X  e.  B  ->  (
1  .x.  X )  =  X )

Proof of Theorem mulg1
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 8916 . . 3  |-  1  e.  NN
2 mulg1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2177 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 mulg1.m . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
5 eqid 2177 . . . 4  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
62, 3, 4, 5mulgnn 12875 . . 3  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( 1  .x.  X
)  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) ` 
1 ) )
71, 6mpan 424 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  (
1  .x.  X )  =  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  1
) )
8 1zzd 9266 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  1  e.  ZZ )
9 elnnuz 9550 . . . 4  |-  ( u  e.  NN  <->  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
10 fvconst2g 5726 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  u )  =  X )
11 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  X  e.  B )
1210, 11eqeltrd 2254 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  u )  e.  B
)
1312elexd 2750 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  u )  e.  _V )
149, 13sylan2br 288 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  u  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( NN  X.  { X } ) `  u )  e.  _V )
15 simprl 529 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  u  e.  _V )
162basmex 12500 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  G  e.  _V )
17 plusgslid 12548 . . . . . . 7  |-  ( +g  = Slot  ( +g  `  ndx )  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
1817slotex 12469 . . . . . 6  |-  ( G  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  e. 
_V )
1916, 18syl 14 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  ( +g  `  G )  e. 
_V )
2019adantr 276 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  ( +g  `  G )  e.  _V )
21 simprr 531 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  v  e.  _V )
22 ovexg 5903 . . . 4  |-  ( ( u  e.  _V  /\  ( +g  `  G )  e.  _V  /\  v  e.  _V )  ->  (
u ( +g  `  G
) v )  e. 
_V )
2315, 20, 21, 22syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  ( u
( +g  `  G ) v )  e.  _V )
248, 14, 23seq3-1 10443 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) ` 
1 )  =  ( ( NN  X.  { X } ) `  1
) )
25 fvconst2g 5726 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) ` 
1 )  =  X )
261, 25mpan2 425 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  (
( NN  X.  { X } ) `  1
)  =  X )
277, 24, 263eqtrd 2214 1  |-  ( X  e.  B  ->  (
1  .x.  X )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   {csn 3591    X. cxp 4621   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   1c1 7800   NNcn 8905   ZZ>=cuz 9514    seqcseq 10428   Basecbs 12442   +g cplusg 12515  .gcmg 12869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-2 8964  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-seqfrec 10429  df-ndx 12445  df-slot 12446  df-base 12448  df-plusg 12528  df-0g 12652  df-minusg 12768  df-mulg 12870
This theorem is referenced by:  mulg2  12878  mulgnn0p1  12880  mulgm1  12889  mulgp1  12901  mulgnnass  12903
  Copyright terms: Public domain W3C validator