Theorem mulg1 13202

Description: Group multiple (exponentiation) operation at one. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	|- B = ( Base ` G )
mulg1.m	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulg1	|- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )

Proof of Theorem mulg1

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8995	. . 3 |- 1 e. NN
2		mulg1.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2193	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		mulg1.m	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
5		eqid 2193	. . . 4 |- seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) )
6	2, 3, 4, 5	mulgnn 13199	. . 3 |- ( ( 1 e. NN /\ X e. B ) -> ( 1 .x. X ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 1 ) )
7	1, 6	mpan 424	. 2 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 1 ) )
8		1zzd 9347	. . 3 |- ( X e. B -> 1 e. ZZ )
9		elnnuz 9632	. . . 4 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
10		fvconst2g 5773	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) = X )
11		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> X e. B )
12	10, 11	eqeltrd 2270	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. B )
13	12	elexd 2773	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
14	9, 13	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( X e. B /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
15		simprl 529	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> u e. _V )
16	2	basmex 12680	. . . . . 6 |- ( X e. B -> G e. _V )
17		plusgslid 12733	. . . . . . 7 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
18	17	slotex 12648	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> ( +g ` G ) e. _V )
19	16, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( X e. B -> ( +g ` G ) e. _V )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( +g ` G ) e. _V )
21		simprr 531	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
22		ovexg 5953	. . . 4 |- ( ( u e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ v e. _V ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
23	15, 20, 21, 22	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
24	8, 14, 23	seq3-1 10536	. 2 |- ( X e. B -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 1 ) = ( ( NN X. { X } ) ` 1 ) )
25		fvconst2g 5773	. . 3 |- ( ( X e. B /\ 1 e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` 1 ) = X )
26	1, 25	mpan2 425	. 2 |- ( X e. B -> ( ( NN X. { X } ) ` 1 ) = X )
27	7, 24, 26	3eqtrd 2230	1 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {csn 3619   X. cxp 4658   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   1c1 7875   NNcn 8984   ZZ>=cuz 9595   seqcseq 10521   Basecbs 12621   +g cplusg 12698  ._gcmg 13192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-minusg 13079  df-mulg 13193

This theorem is referenced by:  mulg2  13204  mulgnn0p1  13206  mulgm1  13215  mulgp1  13228  mulgnnass  13230  gsumfzconst  13414  gsumfzsnfd  13418  mulgrhm  14108