Theorem mulg1 13882

Description: Group multiple (exponentiation) operation at one. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	|- B = ( Base ` G )
mulg1.m	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulg1	|- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )

Proof of Theorem mulg1

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9265	. . 3 |- 1 e. NN
2		mulg1.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2234	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		mulg1.m	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
5		eqid 2234	. . . 4 |- seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) )
6	2, 3, 4, 5	mulgnn 13879	. . 3 |- ( ( 1 e. NN /\ X e. B ) -> ( 1 .x. X ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 1 ) )
7	1, 6	mpan 424	. 2 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 1 ) )
8		1zzd 9621	. . 3 |- ( X e. B -> 1 e. ZZ )
9		elnnuz 9909	. . . 4 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
10		fvconst2g 5903	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) = X )
11		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> X e. B )
12	10, 11	eqeltrd 2311	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. B )
13	12	elexd 2829	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
14	9, 13	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( X e. B /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
15		simprl 531	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> u e. _V )
16	2	basmex 13356	. . . . . 6 |- ( X e. B -> G e. _V )
17		plusgslid 13409	. . . . . . 7 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
18	17	slotex 13323	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> ( +g ` G ) e. _V )
19	16, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( X e. B -> ( +g ` G ) e. _V )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( +g ` G ) e. _V )
21		simprr 533	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
22		ovexg 6092	. . . 4 |- ( ( u e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ v e. _V ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
23	15, 20, 21, 22	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
24	8, 14, 23	seq3-1 10848	. 2 |- ( X e. B -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 1 ) = ( ( NN X. { X } ) ` 1 ) )
25		fvconst2g 5903	. . 3 |- ( ( X e. B /\ 1 e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` 1 ) = X )
26	1, 25	mpan2 425	. 2 |- ( X e. B -> ( ( NN X. { X } ) ` 1 ) = X )
27	7, 24, 26	3eqtrd 2271	1 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3694   X. cxp 4752   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1c1 8144   NNcn 9254   ZZ>=cuz 9871   seqcseq 10833   Basecbs 13296   +g cplusg 13374  ._gcmg 13872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-seqfrec 10834  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-minusg 13759  df-mulg 13873

This theorem is referenced by:  mulg2  13884  mulgnn0p1  13886  mulgm1  13895  mulgp1  13908  mulgnnass  13910  gsumfzconst  14094  gsumfzsnfd  14098  mulgrhm  14883