Theorem mulg1 13796

Description: Group multiple (exponentiation) operation at one. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	|- B = ( Base ` G )
mulg1.m	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulg1	|- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )

Proof of Theorem mulg1

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9213	. . 3 |- 1 e. NN
2		mulg1.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		mulg1.m	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
5		eqid 2231	. . . 4 |- seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) )
6	2, 3, 4, 5	mulgnn 13793	. . 3 |- ( ( 1 e. NN /\ X e. B ) -> ( 1 .x. X ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 1 ) )
7	1, 6	mpan 424	. 2 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 1 ) )
8		1zzd 9567	. . 3 |- ( X e. B -> 1 e. ZZ )
9		elnnuz 9854	. . . 4 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
10		fvconst2g 5876	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) = X )
11		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> X e. B )
12	10, 11	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. B )
13	12	elexd 2817	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
14	9, 13	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( X e. B /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
15		simprl 531	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> u e. _V )
16	2	basmex 13222	. . . . . 6 |- ( X e. B -> G e. _V )
17		plusgslid 13275	. . . . . . 7 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
18	17	slotex 13189	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> ( +g ` G ) e. _V )
19	16, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( X e. B -> ( +g ` G ) e. _V )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( +g ` G ) e. _V )
21		simprr 533	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
22		ovexg 6062	. . . 4 |- ( ( u e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ v e. _V ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
23	15, 20, 21, 22	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
24	8, 14, 23	seq3-1 10787	. 2 |- ( X e. B -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 1 ) = ( ( NN X. { X } ) ` 1 ) )
25		fvconst2g 5876	. . 3 |- ( ( X e. B /\ 1 e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` 1 ) = X )
26	1, 25	mpan2 425	. 2 |- ( X e. B -> ( ( NN X. { X } ) ` 1 ) = X )
27	7, 24, 26	3eqtrd 2268	1 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   {csn 3673   X. cxp 4729   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1c1 8093   NNcn 9202   ZZ>=cuz 9816   seqcseq 10772   Basecbs 13162   +g cplusg 13240  ._gcmg 13786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-2 9261  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-seqfrec 10773  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-0g 13421  df-minusg 13667  df-mulg 13787

This theorem is referenced by:  mulg2  13798  mulgnn0p1  13800  mulgm1  13809  mulgp1  13822  mulgnnass  13824  gsumfzconst  14008  gsumfzsnfd  14012  mulgrhm  14705