Theorem mulg1 13199

Description: Group multiple (exponentiation) operation at one. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	|- B = ( Base ` G )
mulg1.m	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulg1	|- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )

Proof of Theorem mulg1

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8993	. . 3 |- 1 e. NN
2		mulg1.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2193	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		mulg1.m	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
5		eqid 2193	. . . 4 |- seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) )
6	2, 3, 4, 5	mulgnn 13196	. . 3 |- ( ( 1 e. NN /\ X e. B ) -> ( 1 .x. X ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 1 ) )
7	1, 6	mpan 424	. 2 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 1 ) )
8		1zzd 9344	. . 3 |- ( X e. B -> 1 e. ZZ )
9		elnnuz 9629	. . . 4 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
10		fvconst2g 5772	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) = X )
11		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> X e. B )
12	10, 11	eqeltrd 2270	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. B )
13	12	elexd 2773	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
14	9, 13	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( X e. B /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` u ) e. _V )
15		simprl 529	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> u e. _V )
16	2	basmex 12677	. . . . . 6 |- ( X e. B -> G e. _V )
17		plusgslid 12730	. . . . . . 7 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
18	17	slotex 12645	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> ( +g ` G ) e. _V )
19	16, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( X e. B -> ( +g ` G ) e. _V )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( +g ` G ) e. _V )
21		simprr 531	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
22		ovexg 5952	. . . 4 |- ( ( u e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ v e. _V ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
23	15, 20, 21, 22	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( X e. B /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
24	8, 14, 23	seq3-1 10533	. 2 |- ( X e. B -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 1 ) = ( ( NN X. { X } ) ` 1 ) )
25		fvconst2g 5772	. . 3 |- ( ( X e. B /\ 1 e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` 1 ) = X )
26	1, 25	mpan2 425	. 2 |- ( X e. B -> ( ( NN X. { X } ) ` 1 ) = X )
27	7, 24, 26	3eqtrd 2230	1 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {csn 3618   X. cxp 4657   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   1c1 7873   NNcn 8982   ZZ>=cuz 9592   seqcseq 10518   Basecbs 12618   +g cplusg 12695  ._gcmg 13189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-minusg 13076  df-mulg 13190

This theorem is referenced by:  mulg2  13201  mulgnn0p1  13203  mulgm1  13212  mulgp1  13225  mulgnnass  13227  gsumfzconst  13411  gsumfzsnfd  13415  mulgrhm  14097