Theorem basmex 13395

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
basmex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
basmex	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem basmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13394	. . . 4 ⊢ Base Fn V
2		fnrel 5477	. . . 4 ⊢ (Base Fn V → Rel Base)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel Base
4		basmex.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	eleq2i 2305	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
6	5	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
7		relelfvdm 5725	. . 3 ⊢ ((Rel Base ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐺 ∈ dom Base)
8	3, 6, 7	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ dom Base)
9	8	elexd 2835	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  dom cdm 4772  Rel wrel 4777   Fn wfn 5370  ‘cfv 5375  Basecbs 13335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-inn 9288  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341

This theorem is referenced by:  basm  13397  ismgmid  13680  ismnd  13715  dfgrp2e  13816  grpinvval  13831  grplactfval  13889  mulgval  13908  mulgnngzsum  13913  mulgnn0gzsum  13914  mulg1  13915  mulgnnp1  13916  mgpbas  14208  rrgval  14553  islssm  14677  islidlm  14799