Theorem basmex 12762

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
basmex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
basmex	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem basmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 12761	. . . 4 ⊢ Base Fn V
2		fnrel 5357	. . . 4 ⊢ (Base Fn V → Rel Base)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel Base
4		basmex.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	eleq2i 2263	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
6	5	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
7		relelfvdm 5593	. . 3 ⊢ ((Rel Base ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐺 ∈ dom Base)
8	3, 6, 7	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ dom Base)
9	8	elexd 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  dom cdm 4664  Rel wrel 4669   Fn wfn 5254  ‘cfv 5259  Basecbs 12703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-inn 9008  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709

This theorem is referenced by:  basm  12764  ismgmid  13079  ismnd  13121  dfgrp2e  13230  grpinvval  13245  grplactfval  13303  mulgval  13328  mulgnngsum  13333  mulgnn0gsum  13334  mulg1  13335  mulgnnp1  13336  rrgval  13894  islssm  13989  islidlm  14111