Theorem basmex 13144

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
basmex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
basmex	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem basmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13143	. . . 4 ⊢ Base Fn V
2		fnrel 5428	. . . 4 ⊢ (Base Fn V → Rel Base)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel Base
4		basmex.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	eleq2i 2298	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
6	5	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
7		relelfvdm 5671	. . 3 ⊢ ((Rel Base ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐺 ∈ dom Base)
8	3, 6, 7	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ dom Base)
9	8	elexd 2816	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  dom cdm 4725  Rel wrel 4730   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  Basecbs 13084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-inn 9144  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090

This theorem is referenced by:  basm  13146  ismgmid  13462  ismnd  13504  dfgrp2e  13613  grpinvval  13628  grplactfval  13686  mulgval  13711  mulgnngsum  13716  mulgnn0gsum  13717  mulg1  13718  mulgnnp1  13719  rrgval  14279  islssm  14374  islidlm  14496