Theorem basmex 13293

Description: A structure whose base is inhabited is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
basmex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
basmex	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem basmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13292	. . . 4 ⊢ Base Fn V
2		fnrel 5456	. . . 4 ⊢ (Base Fn V → Rel Base)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel Base
4		basmex.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	eleq2i 2301	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
6	5	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
7		relelfvdm 5704	. . 3 ⊢ ((Rel Base ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐺 ∈ dom Base)
8	3, 6, 7	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ dom Base)
9	8	elexd 2829	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  dom cdm 4751  Rel wrel 4756   Fn wfn 5349  ‘cfv 5354  Basecbs 13233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-inn 9243  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239

This theorem is referenced by:  basm  13295  ismgmid  13611  ismnd  13653  dfgrp2e  13762  grpinvval  13777  grplactfval  13835  mulgval  13860  mulgnngsum  13865  mulgnn0gsum  13866  mulg1  13867  mulgnnp1  13868  rrgval  14430  islssm  14554  islidlm  14676