Theorem cncnp2m 12570

Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncnp.1	|- X = U. J
cncnp.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cncnp2m	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K   x, X   y, X   x, Y

Allowed substitution hints:   F( y)   J( y)   K( y)   Y( y)

Proof of Theorem cncnp2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 12540	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2		cncnp.1	. . . . . 6 |- X = U. J
3	2	toptopon 12355	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
4	1, 3	sylib 121	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5		cntop2 12541	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
6		cncnp.2	. . . . . 6 |- Y = U. K
7	6	toptopon 12355	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
8	5, 7	sylib 121	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
9	2, 6	cnf 12543	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y )
10	4, 8, 9	jca31 307	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
11	10	adantl 275	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
12	3	biimpi 119	. . . . 5 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
13	12	3ad2ant1 1003	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14	13	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
15	7	biimpi 119	. . . . 5 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` Y ) )
16	15	3ad2ant2 1004	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
17	16	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
18		r19.2m 3476	. . . . . . 7 |- ( ( E. y y e. X /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
19	18	ex 114	. . . . . 6 |- ( E. y y e. X -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
20	19	3ad2ant3 1005	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
21		cnpf2 12546	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> F : X --> Y )
22	21	3expia 1184	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
23	22	rexlimdvw 2575	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
24	13, 16, 23	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
25	20, 24	syld 45	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
26	25	imp 123	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> F : X --> Y )
27	14, 17, 26	jca31 307	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
28		cncnp 12569	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
29	28	baibd 909	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
30	11, 27, 29	pm5.21nd 902	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 2125   A.wral 2432   E.wrex 2433   U.cuni 3768   -->wf 5159   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   Topctop 12334  TopOnctopon 12347   Cn ccn 12524   CnP ccnp 12525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-map 6584  df-topgen 12311  df-top 12335  df-topon 12348  df-cn 12527  df-cnp 12528

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