Theorem cncnp2m 13770

Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncnp.1	|- X = U. J
cncnp.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cncnp2m	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K   x, X   y, X   x, Y

Allowed substitution hints:   F( y)   J( y)   K( y)   Y( y)

Proof of Theorem cncnp2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 13740	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2		cncnp.1	. . . . . 6 |- X = U. J
3	2	toptopon 13557	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
4	1, 3	sylib 122	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5		cntop2 13741	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
6		cncnp.2	. . . . . 6 |- Y = U. K
7	6	toptopon 13557	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
8	5, 7	sylib 122	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
9	2, 6	cnf 13743	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y )
10	4, 8, 9	jca31 309	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
11	10	adantl 277	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
12	3	biimpi 120	. . . . 5 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
13	12	3ad2ant1 1018	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
15	7	biimpi 120	. . . . 5 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` Y ) )
16	15	3ad2ant2 1019	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
17	16	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
18		r19.2m 3511	. . . . . . 7 |- ( ( E. y y e. X /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
19	18	ex 115	. . . . . 6 |- ( E. y y e. X -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
20	19	3ad2ant3 1020	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
21		cnpf2 13746	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> F : X --> Y )
22	21	3expia 1205	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
23	22	rexlimdvw 2598	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
24	13, 16, 23	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
25	20, 24	syld 45	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
26	25	imp 124	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> F : X --> Y )
27	14, 17, 26	jca31 309	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
28		cncnp 13769	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
29	28	baibd 923	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
30	11, 27, 29	pm5.21nd 916	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   U.cuni 3811   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Topctop 13536  TopOnctopon 13549   Cn ccn 13724   CnP ccnp 13725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-topgen 12714  df-top 13537  df-topon 13550  df-cn 13727  df-cnp 13728

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