Theorem cncnp2m 12239

Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncnp.1	|- X = U. J
cncnp.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cncnp2m	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K   x, X   y, X   x, Y

Allowed substitution hints:   F( y)   J( y)   K( y)   Y( y)

Proof of Theorem cncnp2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 12209	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2		cncnp.1	. . . . . 6 |- X = U. J
3	2	toptopon 12025	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
4	1, 3	sylib 121	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5		cntop2 12210	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
6		cncnp.2	. . . . . 6 |- Y = U. K
7	6	toptopon 12025	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
8	5, 7	sylib 121	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
9	2, 6	cnf 12212	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y )
10	4, 8, 9	jca31 305	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
11	10	adantl 273	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
12	3	biimpi 119	. . . . 5 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
13	12	3ad2ant1 985	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14	13	adantr 272	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
15	7	biimpi 119	. . . . 5 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` Y ) )
16	15	3ad2ant2 986	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
17	16	adantr 272	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
18		r19.2m 3415	. . . . . . 7 |- ( ( E. y y e. X /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
19	18	ex 114	. . . . . 6 |- ( E. y y e. X -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
20	19	3ad2ant3 987	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
21		cnpf2 12215	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> F : X --> Y )
22	21	3expia 1166	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
23	22	rexlimdvw 2527	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
24	13, 16, 23	syl2anc 406	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
25	20, 24	syld 45	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
26	25	imp 123	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> F : X --> Y )
27	14, 17, 26	jca31 305	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
28		cncnp 12238	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
29	28	baibd 891	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
30	11, 27, 29	pm5.21nd 884	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 945   = wceq 1314   E.wex 1451   e. wcel 1463   A.wral 2390   E.wrex 2391   U.cuni 3702   -->wf 5077   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   Topctop 12004  TopOnctopon 12017   Cn ccn 12194   CnP ccnp 12195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-map 6498  df-topgen 11981  df-top 12005  df-topon 12018  df-cn 12197  df-cnp 12198

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