Theorem cncnp2m 15222

Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncnp.1	|- X = U. J
cncnp.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cncnp2m	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K   x, X   y, X   x, Y

Allowed substitution hints:   F( y)   J( y)   K( y)   Y( y)

Proof of Theorem cncnp2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 15192	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2		cncnp.1	. . . . . 6 |- X = U. J
3	2	toptopon 15009	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
4	1, 3	sylib 122	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5		cntop2 15193	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
6		cncnp.2	. . . . . 6 |- Y = U. K
7	6	toptopon 15009	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
8	5, 7	sylib 122	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
9	2, 6	cnf 15195	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y )
10	4, 8, 9	jca31 309	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
11	10	adantl 277	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
12	3	biimpi 120	. . . . 5 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
13	12	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
15	7	biimpi 120	. . . . 5 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` Y ) )
16	15	3ad2ant2 1046	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
17	16	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
18		r19.2m 3600	. . . . . . 7 |- ( ( E. y y e. X /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
19	18	ex 115	. . . . . 6 |- ( E. y y e. X -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
20	19	3ad2ant3 1047	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
21		cnpf2 15198	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> F : X --> Y )
22	21	3expia 1232	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
23	22	rexlimdvw 2666	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
24	13, 16, 23	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
25	20, 24	syld 45	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
26	25	imp 124	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> F : X --> Y )
27	14, 17, 26	jca31 309	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
28		cncnp 15221	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
29	28	baibd 931	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
30	11, 27, 29	pm5.21nd 924	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   U.cuni 3919   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Topctop 14988  TopOnctopon 15001   Cn ccn 15176   CnP ccnp 15177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-topgen 13557  df-top 14989  df-topon 15002  df-cn 15179  df-cnp 15180

This theorem is referenced by: (None)