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Theorem cncnp2m 12239
Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cncnp.1  |-  X  = 
U. J
cncnp.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cncnp2m  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  E. y  y  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, K    x, X    y, X    x, Y
Allowed substitution hints:    F( y)    J( y)    K( y)    Y( y)

Proof of Theorem cncnp2m
StepHypRef Expression
1 cntop1 12209 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
2 cncnp.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
32toptopon 12025 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
41, 3sylib 121 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
5 cntop2 12210 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
6 cncnp.2 . . . . . 6  |-  Y  = 
U. K
76toptopon 12025 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
85, 7sylib 121 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
92, 6cnf 12212 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> Y )
104, 8, 9jca31 305 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  (
( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y ) )
1110adantl 273 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  E. y  y  e.  X
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y ) )
123biimpi 119 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
13123ad2ant1 985 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  E. y  y  e.  X
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1413adantr 272 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  E. y  y  e.  X
)  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
157biimpi 119 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
16153ad2ant2 986 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  E. y  y  e.  X
)  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
1716adantr 272 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  E. y  y  e.  X
)  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
18 r19.2m 3415 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y  y  e.  X  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )  ->  E. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
1918ex 114 . . . . . 6  |-  ( E. y  y  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  ->  E. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
20193ad2ant3 987 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  E. y  y  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  E. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
21 cnpf2 12215 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  x )
)  ->  F : X
--> Y )
22213expia 1166 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  F : X --> Y ) )
2322rexlimdvw 2527 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( E. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  F : X --> Y ) )
2413, 16, 23syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  E. y  y  e.  X
)  ->  ( E. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  F : X --> Y ) )
2520, 24syld 45 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  E. y  y  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  F : X --> Y ) )
2625imp 123 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  E. y  y  e.  X
)  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )  ->  F : X
--> Y )
2714, 17, 26jca31 305 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  E. y  y  e.  X
)  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )  ->  ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y ) )
28 cncnp 12238 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
2928baibd 891 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
3011, 27, 29pm5.21nd 884 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  E. y  y  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   A.wral 2390   E.wrex 2391   U.cuni 3702   -->wf 5077   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   Topctop 12004  TopOnctopon 12017    Cn ccn 12194    CnP ccnp 12195
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-map 6498  df-topgen 11981  df-top 12005  df-topon 12018  df-cn 12197  df-cnp 12198
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