ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncnp2m GIF version

Theorem cncnp2m 13734
Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cncnp.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
cncnp.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
cncnp2m ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑋   𝑦,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝐽(𝑦)   𝐾(𝑦)   π‘Œ(𝑦)

Proof of Theorem cncnp2m
StepHypRef Expression
1 cntop1 13704 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 cncnp.1 . . . . . 6 𝑋 = βˆͺ 𝐽
32toptopon 13521 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
41, 3sylib 122 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 cntop2 13705 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
6 cncnp.2 . . . . . 6 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
76toptopon 13521 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
85, 7sylib 122 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
92, 6cnf 13707 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
104, 8, 9jca31 309 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
1110adantl 277 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
123biimpi 120 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
13123ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1413adantr 276 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
157biimpi 120 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
16153ad2ant2 1019 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
1716adantr 276 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
18 r19.2m 3510 . . . . . . 7 ((βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯))
1918ex 115 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯)))
20193ad2ant3 1020 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯)))
21 cnpf2 13710 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
22213expia 1205 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
2322rexlimdvw 2598 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
2413, 16, 23syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
2520, 24syld 45 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
2625imp 124 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
2714, 17, 26jca31 309 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯)) β†’ ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
28 cncnp 13733 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯))))
2928baibd 923 . 2 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯)))
3011, 27, 29pm5.21nd 916 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  βˆͺ cuni 3810  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  Topctop 13500  TopOnctopon 13513   Cn ccn 13688   CnP ccnp 13689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-map 6650  df-topgen 12709  df-top 13501  df-topon 13514  df-cn 13691  df-cnp 13692
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator