Theorem cnnei 13026

Description: Continuity in terms of neighborhoods. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnnei.x	|- X = U. J
cnnei.y	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnnei	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )

Distinct variable groups:   v, p, w, F   J, p, v, w   K, p, v, w   X, p, v, w   Y, p, v, w

Proof of Theorem cnnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnei.x	. . . . . 6 |- X = U. J
2	1	toptopon 12810	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
3		cnnei.y	. . . . . 6 |- Y = U. K
4	3	toptopon 12810	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
5	2, 4	anbi12i 457	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) <-> ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) )
6		cncnp 13024	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) ) ) )
7	6	baibd 918	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) ) )
8	5, 7	sylanb 282	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) ) )
9	5	anbi1i 455	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) <-> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
10		iscnp4 13012	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> ( F : X --> Y /\ A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) ) )
11	10	3expa 1198	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> ( F : X --> Y /\ A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) ) )
12	11	baibd 918	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ p e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
13	12	an32s 563	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
14	9, 13	sylanb 282	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
15	14	ralbidva 2466	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
16	8, 15	bitrd 187	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
17	16	3impa 1189	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   {csn 3583   U.cuni 3796   "cima 4614   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Topctop 12789  TopOnctopon 12802   neicnei 12932   Cn ccn 12979   CnP ccnp 12980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-topgen 12600  df-top 12790  df-topon 12803  df-ntr 12890  df-nei 12933  df-cn 12982  df-cnp 12983

This theorem is referenced by: (None)