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Theorem cnnei 12415
Description: Continuity in terms of neighborhoods. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnnei.x  |-  X  = 
U. J
cnnei.y  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnnei  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
Distinct variable groups:    v, p, w, F    J, p, v, w    K, p, v, w    X, p, v, w    Y, p, v, w

Proof of Theorem cnnei
StepHypRef Expression
1 cnnei.x . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
21toptopon 12199 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 cnnei.y . . . . . 6  |-  Y  = 
U. K
43toptopon 12199 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
52, 4anbi12i 455 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  <->  ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
) )
6 cncnp 12413 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p ) ) ) )
76baibd 908 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p ) ) )
85, 7sylanb 282 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p ) ) )
95anbi1i 453 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  <-> 
( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y ) )
10 iscnp4 12401 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  p  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) ) )
11103expa 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  p  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. w  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) ) )
1211baibd 908 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  p  e.  X )  /\  F : X --> Y )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
1312an32s 557 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  p  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
149, 13sylanb 282 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X
--> Y )  /\  p  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
1514ralbidva 2433 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. p  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  p )  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
168, 15bitrd 187 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  F : X --> Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
17163impa 1176 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. p  e.  X  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  p ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ( F
" v )  C_  w ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417    C_ wss 3071   {csn 3527   U.cuni 3736   "cima 4542   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Topctop 12178  TopOnctopon 12191   neicnei 12321    Cn ccn 12368    CnP ccnp 12369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-topgen 12155  df-top 12179  df-topon 12192  df-ntr 12279  df-nei 12322  df-cn 12371  df-cnp 12372
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