Theorem cnnei 14552

Description: Continuity in terms of neighborhoods. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnnei.x	|- X = U. J
cnnei.y	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnnei	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )

Distinct variable groups:   v, p, w, F   J, p, v, w   K, p, v, w   X, p, v, w   Y, p, v, w

Proof of Theorem cnnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnei.x	. . . . . 6 |- X = U. J
2	1	toptopon 14338	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
3		cnnei.y	. . . . . 6 |- Y = U. K
4	3	toptopon 14338	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
5	2, 4	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) <-> ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) )
6		cncnp 14550	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) ) ) )
7	6	baibd 924	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) ) )
8	5, 7	sylanb 284	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) ) )
9	5	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) <-> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
10		iscnp4 14538	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> ( F : X --> Y /\ A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) ) )
11	10	3expa 1205	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> ( F : X --> Y /\ A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) ) )
12	11	baibd 924	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ p e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
13	12	an32s 568	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
14	9, 13	sylanb 284	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
15	14	ralbidva 2493	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
16	8, 15	bitrd 188	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
17	16	3impa 1196	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   {csn 3623   U.cuni 3840   "cima 4667   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Topctop 14317  TopOnctopon 14330   neicnei 14458   Cn ccn 14505   CnP ccnp 14506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-topgen 12962  df-top 14318  df-topon 14331  df-ntr 14416  df-nei 14459  df-cn 14508  df-cnp 14509

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