Theorem cnnei 15223

Description: Continuity in terms of neighborhoods. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnnei.x	|- X = U. J
cnnei.y	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnnei	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )

Distinct variable groups:   v, p, w, F   J, p, v, w   K, p, v, w   X, p, v, w   Y, p, v, w

Proof of Theorem cnnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnei.x	. . . . . 6 |- X = U. J
2	1	toptopon 15009	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
3		cnnei.y	. . . . . 6 |- Y = U. K
4	3	toptopon 15009	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
5	2, 4	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) <-> ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) )
6		cncnp 15221	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) ) ) )
7	6	baibd 931	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) ) )
8	5, 7	sylanb 284	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) ) )
9	5	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) <-> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
10		iscnp4 15209	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> ( F : X --> Y /\ A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) ) )
11	10	3expa 1230	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> ( F : X --> Y /\ A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) ) )
12	11	baibd 931	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ p e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
13	12	an32s 570	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
14	9, 13	sylanb 284	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
15	14	ralbidva 2540	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
16	8, 15	bitrd 188	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
17	16	3impa 1221	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   {csn 3694   U.cuni 3919   "cima 4757   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Topctop 14988  TopOnctopon 15001   neicnei 15129   Cn ccn 15176   CnP ccnp 15177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-topgen 13557  df-top 14989  df-topon 15002  df-ntr 15087  df-nei 15130  df-cn 15179  df-cnp 15180

This theorem is referenced by: (None)