Theorem cnnei 14209

Description: Continuity in terms of neighborhoods. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnnei.x	|- X = U. J
cnnei.y	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnnei	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )

Distinct variable groups:   v, p, w, F   J, p, v, w   K, p, v, w   X, p, v, w   Y, p, v, w

Proof of Theorem cnnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnei.x	. . . . . 6 |- X = U. J
2	1	toptopon 13995	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
3		cnnei.y	. . . . . 6 |- Y = U. K
4	3	toptopon 13995	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
5	2, 4	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) <-> ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) )
6		cncnp 14207	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) ) ) )
7	6	baibd 924	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) ) )
8	5, 7	sylanb 284	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) ) )
9	5	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) <-> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
10		iscnp4 14195	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> ( F : X --> Y /\ A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) ) )
11	10	3expa 1205	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> ( F : X --> Y /\ A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) ) )
12	11	baibd 924	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ p e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
13	12	an32s 568	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
14	9, 13	sylanb 284	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) /\ p e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
15	14	ralbidva 2486	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. p e. X F e. ( ( J CnP K ) ` p ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
16	8, 15	bitrd 188	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )
17	16	3impa 1196	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. p e. X A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` p ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { p } ) ( F " v ) C_ w ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   C_ wss 3144   {csn 3607   U.cuni 3824   "cima 4647   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Topctop 13974  TopOnctopon 13987   neicnei 14115   Cn ccn 14162   CnP ccnp 14163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-topgen 12768  df-top 13975  df-topon 13988  df-ntr 14073  df-nei 14116  df-cn 14165  df-cnp 14166

This theorem is referenced by: (None)