Theorem cnpf2 13710

Description: A continuous function at point P is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnpf2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )

Proof of Theorem cnpf2

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 999	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
2		topontop 13517	. . . . 5 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
3		cnprcl2k 13709	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
4	2, 3	syl3an2 1272	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
5		iscnp 13702	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. a e. K ( ( F ` P ) e. a -> E. b e. J ( P e. b /\ ( F " b ) C_ a ) ) ) ) )
6	4, 5	syld3an3 1283	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. a e. K ( ( F ` P ) e. a -> E. b e. J ( P e. b /\ ( F " b ) C_ a ) ) ) ) )
7	1, 6	mpbid 147	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. a e. K ( ( F ` P ) e. a -> E. b e. J ( P e. b /\ ( F " b ) C_ a ) ) ) )
8	7	simpld 112	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3130   "cima 4630   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   Topctop 13500  TopOnctopon 13513   CnP ccnp 13689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-map 6650  df-top 13501  df-topon 13514  df-cnp 13692

This theorem is referenced by:  iscnp4  13721  cnptopco  13725  cncnp2m  13734  cnptopresti  13741  lmtopcnp  13753  txcnp  13774  metcnpi3  14020  cnplimcim  14139  limccnpcntop  14147  limccnp2lem  14148  limccnp2cntop  14149