Theorem cnnei 14400

Description: Continuity in terms of neighborhoods. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnnei.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cnnei.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnnei	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑝)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑝,𝑤,𝐹   𝐽,𝑝,𝑣,𝑤   𝐾,𝑝,𝑣,𝑤   𝑋,𝑝,𝑣,𝑤   𝑌,𝑝,𝑣,𝑤

Proof of Theorem cnnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnei.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 14186	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		cnnei.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
4	3	toptopon 14186	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
5	2, 4	anbi12i 460	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ↔ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)))
6		cncnp 14398	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑝))))
7	6	baibd 924	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑝)))
8	5, 7	sylanb 284	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑝)))
9	5	anbi1i 458	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ↔ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌))
10		iscnp4 14386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑝) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑝)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)))
11	10	3expa 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑝) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑝)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)))
12	11	baibd 924	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑝) ↔ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑝)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
13	12	an32s 568	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑝) ↔ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑝)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
14	9, 13	sylanb 284	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑝) ↔ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑝)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
15	14	ralbidva 2490	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑝 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑝) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑝)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
16	8, 15	bitrd 188	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑝)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
17	16	3impa 1196	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑝)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ⊆ wss 3153  {csn 3618  ∪ cuni 3835   “ cima 4662  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Topctop 14165  TopOnctopon 14178  neicnei 14306   Cn ccn 14353   CnP ccnp 14354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-topgen 12871  df-top 14166  df-topon 14179  df-ntr 14264  df-nei 14307  df-cn 14356  df-cnp 14357

This theorem is referenced by: (None)