ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnntri GIF version
Theorem cnntri 13763
Description: Property of the preimage of an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncls2i.1 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnntri ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑆)))
Proof of Theorem cnntri
StepHypRef Expression
1 cntop1 13740 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
21adantr 276 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 cnvimass 4993 . . 3 (◑𝐹 β€œ 𝑆) βŠ† dom 𝐹
4 eqid 2177 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5 cncls2i.1 . . . . . 6 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
64, 5cnf 13743 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
76fdmd 5374 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ dom 𝐹 = βˆͺ 𝐽)
87adantr 276 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ dom 𝐹 = βˆͺ 𝐽)
93, 8sseqtrid 3207 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑆) βŠ† βˆͺ 𝐽)
10 cntop2 13741 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
115ntropn 13656 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ 𝐾)
1210, 11sylan 283 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ 𝐾)
13 cnima 13759 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) ∈ 𝐽)
1412, 13syldan 282 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) ∈ 𝐽)
155ntrss2 13660 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆)
1610, 15sylan 283 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆)
17 imass2 5006 . . 3 (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆 β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑆))
1816, 17syl 14 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑆))
194ssntr 13661 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑆) βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ ((◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) ∈ 𝐽 ∧ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑆))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑆)))
202, 9, 14, 18, 19syl22anc 1239 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑆)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   βŠ† wss 3131  βˆͺ cuni 3811  β—‘ccnv 4627  dom cdm 4628   β€œ cima 4631  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Topctop 13536  intcnt 13632   Cn ccn 13724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-top 13537  df-topon 13550  df-ntr 13635  df-cn 13727
This theorem is referenced by:  cnntr  13764  hmeontr  13852
  Copyright terms: Public domain W3C validator