ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnntri GIF version

Theorem cnntri 13357
Description: Property of the preimage of an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncls2i.1 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnntri ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐹𝑆)))

Proof of Theorem cnntri
StepHypRef Expression
1 cntop1 13334 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
21adantr 276 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → 𝐽 ∈ Top)
3 cnvimass 4986 . . 3 (𝐹𝑆) ⊆ dom 𝐹
4 eqid 2177 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
5 cncls2i.1 . . . . . 6 𝑌 = 𝐾
64, 5cnf 13337 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽𝑌)
76fdmd 5367 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → dom 𝐹 = 𝐽)
87adantr 276 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → dom 𝐹 = 𝐽)
93, 8sseqtrid 3205 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → (𝐹𝑆) ⊆ 𝐽)
10 cntop2 13335 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
115ntropn 13250 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾)
1210, 11sylan 283 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾)
13 cnima 13353 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽)
1412, 13syldan 282 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽)
155ntrss2 13254 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
1610, 15sylan 283 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
17 imass2 4999 . . 3 (((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆 → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (𝐹𝑆))
1816, 17syl 14 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (𝐹𝑆))
194ssntr 13255 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹𝑆) ⊆ 𝐽) ∧ ((𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (𝐹𝑆))) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐹𝑆)))
202, 9, 14, 18, 19syl22anc 1239 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐹𝑆)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3129   cuni 3807  ccnv 4621  dom cdm 4622  cima 4625  cfv 5211  (class class class)co 5868  Topctop 13128  intcnt 13226   Cn ccn 13318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-map 6643  df-top 13129  df-topon 13142  df-ntr 13229  df-cn 13321
This theorem is referenced by:  cnntr  13358  hmeontr  13446
  Copyright terms: Public domain W3C validator