Theorem cnntri 14392

Description: Property of the preimage of an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncls2i.1	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnntri	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(◡𝐹 “ 𝑆)))

Proof of Theorem cnntri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 14369	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → 𝐽 ∈ Top)
3		cnvimass 5028	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ 𝑆) ⊆ dom 𝐹
4		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
5		cncls2i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
6	4, 5	cnf 14372	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶𝑌)
7	6	fdmd 5410	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → dom 𝐹 = ∪ 𝐽)
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → dom 𝐹 = ∪ 𝐽)
9	3, 8	sseqtrid 3229	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ 𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
10		cntop2 14370	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
11	5	ntropn 14285	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾)
12	10, 11	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾)
13		cnima 14388	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽)
14	12, 13	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽)
15	5	ntrss2 14289	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
16	10, 15	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
17		imass2 5041	. . 3 ⊢ (((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆 → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑆))
18	16, 17	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑆))
19	4	ssntr 14290	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (◡𝐹 “ 𝑆) ⊆ ∪ 𝐽) ∧ ((◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑆))) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(◡𝐹 “ 𝑆)))
20	2, 9, 14, 18, 19	syl22anc 1250	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(◡𝐹 “ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3153  ∪ cuni 3835  ^◡ccnv 4658  dom cdm 4659   “ cima 4662  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Topctop 14165  intcnt 14261   Cn ccn 14353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-top 14166  df-topon 14179  df-ntr 14264  df-cn 14356

This theorem is referenced by:  cnntr  14393  hmeontr  14481